1、线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；2 如图，在三棱锥 SABC 中，SA平面ABC，平面 SAB平面 SBC（1）求证：ABBC；3.如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面ABCD，E 为 AB 的中点，且 PA=AB（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求点 A 到平面 PCE 的距离4. 如图 2-4-2 所示，三棱锥 SABC 中，SB=AB，SC=AC，作ADBC 于 D，SHAD 于 H， 求证： SH平面 ABC.(第 1 题)5. 如图所示，已知 Rt
2、ABC 所在平面外一点 S，且 SA=SB=SC，点D 为斜边 AC 的中点.(1) 求证： SD平面 ABC；(2) 若 AB=BC，求证：BD 平面 SAC.6. 证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，A 1C平面 BC1DD1 C1 A1 B1 D C A B 7. 如图所示，直三棱柱 中，ACB=90，AC=1，侧棱 ，侧面 的两条对角线交点为 D， 的中点为 M.求证：CD 平面 BDM.8.在三棱锥 BCD中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE于 求证： AH平面 BCD9. 如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且
3、ASB=ASC=60， BSC=90 ，求证：平面ABC平面 BSC10.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB 1BC 1，E为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDB C 的正切值.11： 已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， A 为垂足，AB 为圆 O的直径，C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证：平面 PAC平面PBC。 12 如图 1-10-3 所示，过点 S 引三条不共面的直线，使BSC=90 ，ASB=ASC=60 ，若截取 SA=SB=SC.求证：平面 ABC平面 BSC13. 如图
4、1-10-5 所示，在四面体 ABCD 中，BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面 ABD平面 BCD. 214.如图所示，ABC 为正三角形，CE平面 ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M 是 AE 的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面DEA平面 ECA15.如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是AB、 PC 的中点 (1) 求证： MN平面 PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45，求证： MN平面 PCD16. 如图 1，在正方体 中， 为 的中点，AC 交1ABCDM1CBD 于点 O，求证
5、： 平面 MBD1答案与提示：1. 证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DOABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形， AO BC，DOBC，且 AODO O ，BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD 2. 【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为SB，BC SB，又 SASB=S，BC 平面 SABBCAB3. 【证明】PA 平面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CD AD ，CDPD，AD PD=D CD
6、 面 PAD，PDA为二面角 PCDB 的平面角，PA=PB=AD，PA ADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CDAF ，又 PDCD=DAF平面 PCD，取 PC 的中点 G，连GF、AG、 EG，则 GF 21CD 又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形 AF EG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD（2） 【解】由（1）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面 PECFH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距
7、离在PFH 与 PCD 中， P 为公共角，而FHP=CDP=90 ，PFH PCD PCFDH，设AD=2，PF= 2，PC= 32482CD，FH= 36A 到平面 PEC 的距离为64. 【 证明】取 SA 的中点 E， 连接 EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又CE BE=E,SA平面 BCE.BC 平面 BCE5. 证明：(1)因为 SA=SC，D 为 AC 的中点，所以 SDAC.连接 BD. 在 RtABC 中，有 AD=DC=DB，所以SDBSDA， 所以SDB=SDA， 所以 SDBD.又 ACBD=D， 所以 SD平面 ABC.(2)因为 AB=BC，
8、D 是 AC 的中点， 所以 BDAC.又由(1)知 SDBD， 所以 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD平面 SAC.6.证明：连结 ACBDACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影ABCD111同 理 可 证 平 面7. 证明：如右图，连接 、 、 ，则 . ， 为等腰三角形.又知 D 为其底边 的中点， . ， ， .又 ， . 为直角三角形，D 为的中点， ， .又 ， ， .即 CDDM. 、 为平面 BDM 内两条相交直线， CD 平面 BDM.8.证明：取 AB的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFAB ， D又 ， 平面 CDF 平面 CDF， CC
9、DAB又 ， ， CDBEAB 平面 ABE， CDH ， ， ，AHE 平面 BCD9.证明：如图，已知 PA=PB=PC=a，由APB=APC=60 ，PAC，PAB 为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取 BC 中点为 E直角BPC 中， ， ，由 AB=AC，AE BC ，直角ABE 中， ， ， ，在PEA 中， ， ， ，平面 ABC平面 BPC.10. 证明：(1)在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB2，BB 1BC1， E 为 D1C1的中点 DD 1E 为等腰直角三角形，D 1ED45同理C 1EC45 ，即90DE EC在长方体 ABCD 中，BC平
10、面 ，又 DE 平面1BA1DC，1DCBCDE又 ，DE平面 EBC平面 DEB 过CEDE， 平面 DEB平面 EBC(2)解：如图，过 E 在平面 中1D作 EODC 于 O在长方体 ABCD 中，面 ABCD面1DCBA，EO面 ABCD过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，1DC连结 EF， EFBDEFO 为二面角 E DBC 的平面角利用平面几何知识可得 OF ， (第 10 题)51又 OE1，所以，tan EFO 11.（1） 【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径BC AC；又 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BC PA，从
11、而 BC平面 PACBC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC. 12. 证明：如图 1-10-4 所示,取 BC 的中点 D，连接 AD，SD.由题意知ASB 与 ASC 是等边三角形，则 AB=AC，ADBC,SDBC.令 SA=a,在SBC 中，SD= a,又 AD= = a,AD2+SD2=SA2,即 ADSD.又ADBC，AD平面 SBC.AD 平面 ABC，平面 ABC平面 SBC.13. 证明：取 BD 的中点 E，连接 AE，CE.则 AEBD,BDCE.在ABD 中，AB=a,BE= BD= ,AE= ,同理,CE= .在AEC 中，AE=EC= ,AC=a, AC2=AE
12、2+EC2，即 AEEC.BD EC=E, AE 平面 BCD.又AE 平面 ABD，平面 ABD平面 BCD14. 证明： (1)取 EC 的中点 F，连接 DF CE平面 ABC， CEBC易知 DFBC，CEDF BDCE， BD平面 ABC在 RtEFD 和 RtDBA 中， ， ， RtEFDRt DBA 故 DE=AD(2)取 AC 的中点 N，连接 MN、 BN，MN CF BD CF， MN BD N 平面 BDM EC平面 ABC， EC BN又 ACBN， BN平面 ECA又 BN 平面 MNBD， 平面 BDM平面ECA(3) DMBN，BN 平面 ECA， DM 平面
13、ECA又 DM 平面 DEA， 平面 DEA平面 ECA15. 证明：(1)取 PD 的中点 E，连接 AE、EN，则 ，故 AMNE 为平行四边形， MNAE AE 平面 PAD，MN 平面 PAD， MN平面 PAD(2)要证 MNCD，可证 MNAB由(1)知，需证 AEAB PA平面 ABCD， PAAB又 ADAB， AB平面 PAD ABAE即 ABMN又 CDAB， MNCD(3)由(2) 知， MNCD，即 AE CD，再证AE PD 即可 PA平面 ABCD， PA AD又PDA=45 ，E 为 PD 的中点 AEPD，即 MNPD又 MNCD， MN平面 PCD16.证明：连结 MO， ，DB ，DB AC ， ， 1AM1A1ACDB 平面 ，而 平面 DB CO1CO设正方体棱长为 ，则 ， a213a234Ma在 Rt 中， ，1A94211A OMDB=O， 平面 MBD1AOM1
