1、12.3.1 圆的标准方程5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.圆心是 O(-3,4),半径长为 5的圆的方程为( )A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2.答案：D2.以点 A(-5，4)为圆心，且与 x轴相切的圆的标准方程为( )A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2=16C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=25解析：圆与 x轴相切，r=|
2、b|=4.圆的方程为(x+5) 2+(y-4)2=16.答案：A3.圆心在直线 y=x上且与 x轴相切于点(1，0)的圆的方程为_.解析：设其圆心为 P(a,a)，而切点为 A(1，0)，则 PAx 轴，由 PA所在直线 x=1与 y=x联立，得 a=1.故方程为(x-1) 2+(y-1)2=1.也可通过数形结合解决，若圆与 x轴相切于点(1，0),圆心在 y=x上,可推知与 y轴切于(0，1).答案：(x-1) 2+(y-1)2=110分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设实数 x、y 满足(x-2) 2+y2=3，那么 x的最大值是( )A. 21 B. 3 C. 23 D. 3解析：令
3、 xy=k,即 y=kx，直线 y=kx与圆相切时恰好 k取最值.答案：D2.过点 A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是( )A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4解：由题意得线段 AB的中点 C的坐标为( 1,),即(0,0)，直线 AB的斜率为 kAB=1)(=-1,则过点 C且垂直于 AB的直线方程为 y-0= (x-0),即 y=x.所以圆心坐标(x,y)满足 .02,yx得 y=x=1.圆的半径为 )1()1(2=2.因此，所求圆的方程为(x-1
4、) 2+(y-1)2=4.答案：C3.设点 P(2,-3)到圆(x+4) 2+(y-5)2=9上各点距离为 d,则 d的最大值为_.解析：由平面几何性质，所求最大值为 P(2，-3)到圆(x+4) 2+(y-5)2=9的圆心距离加上圆的半径，即 dmax= 22)53()4(+3=13.2答案：134.已知点 P是曲线 x2+y2=16上的一动点，点 A是 x轴上的定点，坐标为(12，0).当点 P在曲线上运动时，求线段 PA的中点 M的轨迹方程.解：设 M(x,y)、P(x 0,y0).由题意 yx2,10.x 0=2x-12,y0=2y.又 P(x0,y0)在圆 x2+y2=16上，x 0
5、2+y02=16.(2x-12) 2+(2y)2=16,即(x-6) 2+y2=4.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若半径为 1的圆分别与 y轴的正半轴和射线 y= x3(x0)相切，则这个圆的方程为_.解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的相切.由题意可设圆的圆心为(1,b)(b0).根据该圆与直线 y= x3相切,得 134|b32|3| b或 (舍),故所求圆的方程为(x-1) 2+(y- )2=1.答案：(x-1) 2+(y- )2=12.从点 P(3，b)向圆(x+2) 2+(y+2)2=1作切线，则切线长的最小值为( )A.5 B.4 C.5.5 D.26解析：切线长 d
6、= 24)(2841)3(222 bbb ,当 b=-2时，d 取最小值 6.答案：D3.若直线 x+y=m与圆 x2+y2=m(m0)相切，则 m为( )A. 21 B.2 C. 2 D. 2解析：利用圆心到直线的距离等于半径,即有 |,m=2.答案：B4.在圆(x-2) 2+(y+3)2=2上与点(0，-5)距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(4，1)3C.( 32,) D.(3，-2)解析：利用点(0，-5)到圆心(2，-3)的距离求得.答案：C5.三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为 x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三
7、个卫星所在位置确定的圆的方程为( )A.x2+y2=2R2 B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2 D.x2+y2=9R2解析：由题意知卫星距地面高度为 R,所以方程为 x2+y2=4R2.故选 B.答案：B6.圆(x-a) 2+(y-b)2=r2经过原点的条件是( )A.a=b=0 B.a2+b2=r2C.a=-b D.a2+b2+r2=2解析：考查对圆的标准方程及圆的性质的认识和把握.圆经过原点,说明点(0,0)适合圆的方程.由题意有(0-a) 2+(0-b)2=r2,即 a2+b2=r2.答案：B7.由 y=|x|和圆 x2+y2=4的图象所围成的较小区域的面积是( )A. 4 B
8、. C. 43 D. 23解析：如图，设 y=|x|与圆 x2+y2=4所围成的较小面积为 S 扇形 OAB，由题意知AOB=90.S 扇形 OAB= 41SO = r 2=.答案：B8.圆心在直线 2x-y-7=0上的圆 C与 y轴交于两点 A(0，-4)、B(0，-2),则圆 C的方程为_.解析：设圆心 C(a,b)，则 .)2()4(,0722baba ,32ba且|AC|=|BC|=r= 5.(x-2) 2+(y+3)2=5为所求.答案：(x-2) 2+(y+3)2=59.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在 x轴和 y轴上的圆的方程是_.解析：由圆心为 C(2,-3),一条
9、直径的两个端点分别落在 x轴和 y轴上,由直径所对的圆周角为直角,可知圆必过原点 O(0,0),从而有 r= 13)0()2(2,r2=13.4所求圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=13.答案：(x-2) 2+(y+3)2=1310.圆(x-3) 2+(y+1)2=1关于直线 x+2y-3=0对称的圆的方程是_.解：关于直线对称的两圆半径相等,圆心连线被直线 x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得 .03213,)(ba解得 .53,19b所求圆的方程为( 19x)2+( 53y)2=1.答案：( 5)2+( )2=111.已知点 A(0，2)和圆 C：(x-6) 2+(y-4)2= 6，一条光线从 A点出发射到 x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从 A点到切点所经过的路程.解：设反射光线与圆相切于 D点,点 A关于 x轴的对称点的坐标为 A1(0,-2)，则光线从 A点到切点所走的路程为|A 1D|.在 RtA 1CD中，|A 1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2 5346.|A 1D|= 58,即光线从 A 点到切点所经过的路程是 18.
