1、一运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。顶点坐标法对于典型的一元二次函数 ,cbxay2若 ,则当 时,y 有极小值，为 ；0aabx242min若 ,则当 时,y 有极大值，为 ； abcy2ax例 1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s2 的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间 t 后，自行车做匀速运动，其位移为 ，VtS1汽车做匀加速运动，其位移为：221atS两车相距为：221 36ttVS
2、这是一个关于 t 的二次函数，因二次项系数为负值，故 S 有最大值。当有 最 大 值时 S，sabt )(2/3(62)(/(40mcSm二利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ”的形式，则 y= Asin2，在 =45cos21时，y 有极值 。2A对于复杂的三角函数，例如 y=asin+bcos，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin 和 cos，变成同名的三角函数，比如 sin(+)例 2如图一(1)所示,底边 AB 恒定为 b,当斜面与底边成夹角 为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间
3、才最短?设夹角为 时，斜面长为 S，物体质量为m，沿斜面方向的加速度为 a，所用时间为 t，受力分析如图一（2）所示，据题意有：cosbS由运动学和牛顿第二定律有： 21atSmgsin=ma联立式解得： 2sin4cosin2gbgbat 可见，在 900内，当 sin=1 时，即 2=90，=45时，有最短时间： gbt4min例 3如图 4 所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为 m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少 ?解析 ：设圆弧半径为 R，当小球运动到重力 mg 与半径夹角
4、为 时，速度为 V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定有： RVmgN22cos1baA BCmgFNA BCv图一(1)图一(2)OmgN图 4解得小球对小车的压力为：N=3mgcos，其水平分量为： Nx=3mgsincos=2sin3mg根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= N x= 2sin3mg可以看出：当 sin2=1,即 =45 时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max= 。mg23例 4如图 324 所示，一质量 m0.4 kg 的小物块，以 v02 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t2 s 的时间物块
5、由 A 点运动到 B 点，A、B 之间的距离 L10 m已知斜面倾角 30，物块与斜面之间的动摩擦因数 .重力加速度 g 取 10 m/s2.33(1)求物块加速度的大小及到达 B 点时速度的大小(2)拉力 F 与斜面夹角多大时，拉力 F 最小？拉力 F的最小值是多少？【解析】 (1)设物块加速度的大小为 a，到达 B 点时速度的大小为 v，由运动学公式得Lv 0t at212vv 0at联立式，代入数据得a3 m/s 2v8 m/s.(2)设物 块所受支持力为 FN，所受摩擦力为 Ff，拉力与斜面间的夹角为 ，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Fcos mg sin F fmaFsin F
6、Nmgcos 0又 Ff FN联立式得F mgsin cos macos sin 由数学知识得cos sin sin(60 )33 233由式可知对应 F 最小的夹角 3010 联立式，代入数据得 F 的最小值为Fmin N1335例 5：一轻绳一端固定在 O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图 6 所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 解：当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时，重力的功率为：P=mg cos=mgsin 小球从水平位置到图中 C 位置时，机械能守恒有：21cosmvgL解可得： 2sincogL
7、P令 y=cossin )sincos2(1ico2(1in42y2)cos(2i 又根据基本不等式 ，可知：abca3当且仅当 ，y 有最大值22sinco3co1s22 得由结论：当 时，y 及功率 P 有最大值。3co图 6v mgABCO LT三利用均值定理法求极值（适用于 的情况）xy1均值定理可表述为 ，式中 a、b 可以是单个变量，也可以是多项2ba式。当 ab 时， (a+b)min2 。ab例 6在倾角为 37 度的粗糙斜面上距离斜面底端 s=1 米处有一质量为 m=1kg的物体,受水平恒力 F 的作用下由静止开始沿斜面开始下滑，到达底部时即撤去水平恒力 F，然后在水平面上滑
8、动一段距离后静止，不计物块撞击水平面的能量损失，各接触面与物体的动摩擦因数为0.2,g=10,sin37=0.6,cos37=0.8求 1.若物块在运动过程中最大速度为 2ms,则水平恒力 F 大小为多少？2.若改变水平恒力 F 大小，可使物块总的运动时间最短，则最短时间为多少？四用动态分析法求极值例 7：物体 A 的质量为 2 kg，两根轻细绳 b 和 c 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体 A 上，在物体 A 上另施加一个方向与水平线成 角的拉力 F，相关几何关系如图 2329 所示，60.若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的取值范围(g 取 10 m/s2)【解析】 作出物体 A 的受力
9、分析图如图所示，由平衡条件得Fsin F1sin mg0Fcos F2F1cos 0由（1）式可知，当 F 增大时，F1 减小，所以当 F1 减小到 0 时 F 最大由（1）式可知，当 F 减小时，F1 增大，由（ 2）式可知，当 F 减小 F1 增大时，F2 减小，所以当 F2 减小到 0 时 F 最小五图解法求极值例 8：一条河宽 L=60m，水速 v 水 =4m/s，船在静水中的开行速度 v 开 =3m/s。小船渡河的最小位移是多少？与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小。把代表 v 开的有向线段移到代表 v 水的有向线段端点，如图五（2）所示，可见：改变船头的方向，有向线段 v 开v
10、水v 开sv合图五（2）的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变。只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时， 有最小值。由几何知识可得：cos=v 开/ v 水=3/4 ，又 cos=L/smin，即 smin =80m。例 9物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为，物体重为 G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力 F 为多大？解一：将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F，如图4，F与竖直方向的夹角为 （为一定值） 。这样木块可认ftan为受到三个力:重力 G,桌面对木块的作用力 F和拉力 F 的作用。尽管 F 大小方向均未确定，
11、F方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图 5 所示。只用当 F 与 F垂直时，即拉力与水平方向成 角时，拉力 F 最小为sinG而 221tan1si 故 2iGF解二：解：设拉力 F 与水平方向的夹角为 ，根据题意可列平衡方程式， 即 0cosfGNinf由联立式解得：,)sinco(sin1cosin2F )sin(12G其中 , 所以 taGF2mi 图 4 图 5 F/ N F f G FF GF FF FNFfmg图 3六极限分析法利用当某个物理量趋于 0 或无穷大时显现出的规律例 10质量为 m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为 30时恰能沿斜面匀速下滑对物体施加一大小为 F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角 0 时，不论水平恒力 F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2)临界角 0 的大小解：（1）匀速下滑 cossinmg解得 3ta（2）无论力 F 多大都不能推动，则 sincoFgFNNms解得 si2ic当力 F 趋于无穷大时达到临界值即 0sino0解得 31ta006
