1、1圆周角与圆心角的关系一最新中考题精讲1（1 ）图中的圆心角_；圆周角_；（2）如图，已知AOB 50 度，则ACB_度； 2 圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF3 圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在
2、 中， 、 都是所对的圆周角OCD 例 1 （2016 浙江省绍兴市）如图，BD 是O 的直径，点 A、C 在O 上， = ，AOB=60，则BDC 的度数是（ ）A60 B45 C35 D30【考点】圆周角定理FEDC BAOCBAOD CBAOOACB2【分析】直接根据圆周角定理求解【解答】解：连结 OC，如图， = ，BDC= AOB= 60=30故选 D例 2 （2016 贵州毕节）如图，点 A，B，C 在 O 上，A=36，C=28，则B= （ ）A100 B72 C64 D36【考点】圆周角定理【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=28 ，根据等腰三角形的性质解答
3、即可【解答】解：连接 OA，OA=OC，OAC=C=28，OAB=64，OA=OB，B=OAB=64，故选：C例 3 （2015永州）如图，P 是O 外一点，PA、PB 分别交O 于 C、D 两点，已知 和所对的圆心角分别为 90和 50，则P=（ ）3A45 B40 C25 D20考点： 圆周角定理.分析： 先由圆周角定理求出A 与ADB 的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出P的度数解答： 解： 和 所对的圆心角分别为 90和 50，A=25，ADB=45，P+A=ADB，P=ADBP=4525=20故选 D点评： 此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆
4、周角定理及三角形外角的性质解题例 4 （2015天水）如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 在格点上，则AED 的正切值为 考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义专题： 网格型分析： 根据圆周角定理可得AED=ABC，然后求出 tanABC 的值即可解答： 解：由图可得，AED=ABC，O 在边长为 1 的网格格点上，AB=2，AC=1 ，4则 tanABC= = ，tanAED= 故答案为： 点评： 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等例 5 （2014 黔南州）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 G，点 F 是
5、CD 上一点，且满足 = ，连接 AF 并延长交O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF=2，AF=3（1 ）求证：ADFAED；（2 ）求 FG 的长；（3 ）求证：tan E= 考点： 相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形21 世纪教育网分析： 由 AB 是O 的直径，弦 CDAB，根据垂径定理可得：弧 AD=弧 AC，DG=CG ，继而证得ADFAED；由 = ，CF=2，可求得 DF 的长，继而求得 CG=DG=4，则可求得 FG=2；由勾股定理可求得 AG 的长，即可求得 tanADF 的值，继而求得 tanE= 5解：AB 是O 的直径，弦 CDAB，DG=C
6、G，弧 AD=弧 AC，ADF= AED，FAD=DAE（公共角） ，ADFAED； = ，CF=2，FD=6，CD=DF+CF=8，CG=DG=4，FG=CGCF=2；AF=3，FG=2，AF=3，FG=2，AG= ，tanE= 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用圆周角定理推论及运用例 6 （2013内江）如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD平分BAC ，则 AD 的长为（ ）A cm B cm C cm D 4cm考点： 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判
7、定与性质；勾股定理分析： 连接 OD，OC ，作 DEAB 于 E，OF AC 于 F，运用圆周角定理，可证得DOB=OAC ，即证AOF OED，所以 OE=AF=3cm，根据勾股定理，得 DE=4cm，在直角三角形ADE 中，根据勾股定理，可求 AD 的长解答： 解：连接 OD，OC ，作 DEAB 于 E，OF AC 于 F，6CAD=BAD（角平分线的性质） ， = ，DOB=OAC=2BAD，AOFOED，OE=AF=AC=3cm，在 RtDOE 中， DE= =4cm，在 RtADE 中，AD= =4 cm故选 A点评： 本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是
8、常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理例 7 （2012 随州）.如图，AB 是O 的直径，若BAC=35 0，则么ADC=( )A.350 B.550 C.700 D.1100例 8 （2015山东威海，第 9 题 3 分）如图，已知 AB=AC=AD， CBD=2BDC，BAC=44，则CAD 的度数为（ ）A 68 B 88 C 90 D 112考点： 圆周角定理.分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明CAD=2CBD， BAC=2BDC，结合已知条件CBD=2 BDC，得到 CAD=2BAC，即可解决问题解答： 解：如图，AB=AC =AD，点 B、C、D
9、 在以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径的圆上；7CBD=2BDC，CAD=2CBD， BAC=2BDC，CAD=2BAC，而BAC=44，CAD=88，故选 B点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答例 9 （2016四川攀枝花） 如图，点 D（0，3 ），O （0 ，0），C（4，0）在A 上，BD 是A 的一条弦，则 sinOBD=（ ）A B C D【考点】锐角三角函数的定义【分析】连接 CD，可得出OBD=OCD，根据点 D（0 ，3），C（4
10、，0 ），得OD=3， OC=4，由勾股定理得出 CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出 sinOBD即可【解答】解：D（0 ，3），C（4，0 ），OD=3， OC=4，COD=90，CD= =5，连接 CD，如图所示：OBD=OCD，8sinOBD=sinOCD= = 故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键例 14 （ 2016青海西宁） O 的半径为 1，弦 AB= ，弦 AC= ，则BAC 度数为 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形【分析】连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OF AC 于 F，根
11、据垂径定理求出 AE、FA 值，根据解直角三角形的知识求出OAB 和 OAC，然后分两种情况求出 BAC 即可【解答】解：有两种情况：如图 1 所示：连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OF AC 于 F，OEA=OFA=90，由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ，cosOAE= = ，cos OAF= = ，OAE=30，OAF=45，BAC=30+45 =75；如图 2 所示：连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OF AC 于 F，OEA=OFA=90，由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ，cosOAE = ，cosOAF= = ，OAE=30，OAF=45，B
12、AC=4530=15；故答案为：75或 159例 15 （ 2016黑龙江龙东3 分）如图，MN 是O 的直径，MN=4， AMN=40，点 B 为弧AN 的中点 ，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 2 【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理【分析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出A ON 的度数，再由勾股定理即可求解【解答】解：过 A 作关于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为PA+PB 的最小值，连接 OB，OA ，AA，AA关于直线 MN 对称， = ，AMN=40，AON=80， BON=40，AOB=120，过 O 作 OQAB 于 Q，在 RtAOQ 中，OA=2，10AB=2AQ=2 ，即 PA+PB 的最小值 2 故答案为：2
