1、第二讲：分式的恒等变形 page 1 of 12第二讲 分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1.分式的运算规律（1）加减法： )(同 分 母cba异 分 母d（2）乘法： b（3）除法： cad（4）乘方： nb)(2.分式的基本性质（1） )0(,maba（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3.比例的重
2、要性质（1）如果 （传递性）efbafcdba那 么,（2）如果 （内项积等于外项积）那 么（3）如果 )(合 比 性 质那 么 cdd（4）如果 )()0(, 合 分 比 性 质那 么 babca（5）如果 ,0,ndnm 且那么 )(等 比 性 质bdbc第二讲：分式的恒等变形 page 2 of 124.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为 1。（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于 2。2、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形
3、中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 例 1.若 a、b、c 均为非零常数，且满足，acbcacb又 ，且 ,求 x 的值。ax)()(0 例 2.已知 的 值求 yxyx23,1第二讲：分式的恒等变形 page 3 of 12 例 3.已知三个正数 a、b、c 满足 abc=1,求 的值11ab 例 4.已知 0222cabcab求 的值。222 )()()(c 例 5.已知 ,0,1zcybxaczbyax求 的值。22第二讲：分式的恒等变形 page 4 of 12 例 6.已知 x+y+z=3a ( ,且 x、y、z 不全相等)，0a求 的值 。222)()()( (axya 例 7.已知
4、 ，n 是自然数，1222abccabc求 的值。1211 )()()( nnn 例 8. 。的 值求若 221,3xax第二讲：分式的恒等变形 page 5 of 12 例 9.已知 ，试求分式 的值。412x124x 例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 ，0634zyx。求 的值。072zyx227563 例 11.若 x、y、z 为有理数，且 222)()()(yx 222 )()()( zyxzxz求 的值)1()1(22zxyz第二讲：分式的恒等变形 page 6 of 12 例 12.已知 a、b、c 互不相等，且满足 a+b+c=0,求 的值。abc222 例 13
5、.已知 ，求 的值。baxbaba4,0,0, bxa2 例 14.若 ，求 的值。acbcacb abc)()(第二讲：分式的恒等变形 page 7 of 12 例 15.如果 。的 值求都 是 整 数 ， 且 qpppqp ,112,三、有关分式的化简问题 例 16.化简 。)()(acbacba 例 17.化简 。3211)1( 222 xxxx第二讲：分式的恒等变形 page 8 of 12 例 18.化简 )()()( 212132121321 nnxxxxxx 例 19.已知 ，并且 ，化简 。22)(cba0b22)(cba 例 20.若 ，化简 。02nmxmaxn2第二讲：分
6、式的恒等变形 page 9 of 12 例 21.化简：)2)()2)()2)(2( zyxzyxzyxzyxz 三、有关分式的证明问题 例 22.若 ，求证：00cbacba且 222 例 23.已知有理数 a、b、c 满足 a+b+c=0，abc=8.试判断是cba1正数、负数、还是零。第二讲：分式的恒等变形 page 10 of 12 例 24.已知有理数 a、b、c 满足 ，求证：cba11。a或或 例 25.若 n 为自然数，且 ，求证：cba11121212 nncba 例 26.证明：对于任意自然数 n，分数 不可约。3142第二讲：分式的恒等变形 page 11 of 12 例 27.已知 ,00都 不 等 于、， 且 cbacba求证： 。3)1()1()( 例 28.证明： )1()1()2()2(1)(1 dnadnadada 例 29.设 n 为正整数，求证： 。21)(2531n第二讲：分式的恒等变形 page 12 of 12 例 30.若 ,0,0, xzyxzyx，求证 。cba, 11cba 例 31.设 a、b、c 均为正数，且 ，证明： 。1cba91cba 例 32.求证 。acbacabcabc 22)()()( 例 33.能否找出 6 个奇数，使其倒数之和为 1.第二讲：分式的恒等变形 page 13 of 12
