1、南京市 2018 届高三数学二轮专题复习资料第 1 页 共 4 页专题 14: 不等式与三角、向量综合专项研究类型一:不等式与三角一高考回顾1(16 年江苏) 在锐角三角形 ，若 sinA2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是_C分析与解：由 sinA2sinBsinC ，可得 sin(BC)2sinBsinC，即 sinBcosCcosBsinC2sinBsin C，两边同时除以 cosBcosC 可得 tanBtanC 2tanBtanC，考虑消元，根据条件得到了 B，C 所满足的关系，因此可将 tanAtanBtanC 中的 A 消去，因此有 tanAtanBta
2、nCtan BtanCtan(BC ) ，(tanB tanC)tanBtanCtanBtanC 1再由 tanBtanC2tanBtan C 可得：tanAtanBtan C ，2(tanBtanC)2tanBtanC 1至此，消去了 A，继续利用 B，C 满足的关系 tanBtanC2tanBtanC，可以消去 B 或者 C 转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将 tanBtanC 看作一整体，这样求解就变得简单了，设 tanBtanCt (t1)，则 tanAtanBtanC 2( t1 2)82t2t 1 1t 1于是 tanAtanBtanC 最小值为 8，当然得到关于 t 的函数
3、后，也可以利用导数求最小值如果能注意到在锐角三角形 中有如下恒等式 tanAtanBtanCtanAtanBtanC，ABtanAtanBtanCtan AtanB tanCtan A2tanBtanC，考虑整体有：tanAtanBtanCtan A2tan BtanC2 ，2tanAtanBtanC解得 tanAtanBtanC8，可以检验等号能取到，故 tanAtanBtanC 的最小值是 8二方法联想三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形 “代入消元”是常见的处理方法， “整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程三归类研究1若ABC 的内角
4、满足 sinA sinB2sinC ，则 cosC 的最小值是_2答案： 2 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2，b 2c 21，则 cosA 的最小值是_3已知 ， 均为锐角，且 cos( ) ，则 tan的最大值是 _sinsin答案： 244在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2a 2ac，则 的最小值3tanA 4tanB_ 答案：2 25在ABC 中，3sin 2B7sin 2C2sinAsin BsinC2sin 2A，则 sin(A )的值是 4南京市 2018 届高三数学二轮专题复习资料第 2 页 共 4 页FE
5、D CBAyxFED CBA答案： 类型二:不等式与向量一高考回顾1(15 年天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABCD ，AB2，BC1，ABC 60点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 的最小值为_BE BC DF 19DC AE AF 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算方法 1：选择 ， 作为一组基底，易知 24， 21， 1，AB AD AB AD AB AD ( )AE AB BE AB BC AB AB AD 12AB (1 ) ，12 AB AD ，AF AD DF AD 19
6、DC 118AB AD 于是 (1 ) ( ) (1 ) 2( ) 2AE AF 12 AB AD 118AB AD 118 12 AB 1918 12 AB AD AD (当 时取等号)，12 29 1718 2918 23所以 的最小值为 AE AF 2918方法 2：建立如图所示的直角坐标系，则 A(0，0) ，B(2，0)，C( ， )，D( ， )，32 12根据 ， ，可以求得 E(2 ， )，F( ， )，BE BC DF 19DC 2 19 12于是 (2 )( ) AE AF 2 19 12 12 29 1718 2918二方法联想向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是
7、建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算三归类研究1已知 ，| | ，| |t，若 P 点ABC 所在平面内一点，AB AC AB 1t AC 且 ，则 的最大值是_AP PB PC 答案：132在ABC 中，D 为边 BC 的中点，记| |m ，| |n，若 1，则 的最大值是AD BC AB AC 1m2 1n2_南京市 2018 届高三数学二轮专题复习资料第 3 页 共 4 页NMyxO答案： 143以 C 为钝角的ABC 中，B
8、C3， 12，当角 A 最大时，ABC 面积为_BABC答案：34已知平面向量 a，b 不共线，且满足条件|a| 1，|a2b|1，则| b|ab| 的取值范围是_答案： (1， 25在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90 ，AB2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点（不包括端点） ，若 ，则 的最小值为 ，AC AM AN 1 3 ba yx答案： 274类型三:含多个变量的不等式问题一高考回顾1(12 江苏) 已知正数 a，b，c 满足：5c 3ab4ca，clnbaclnc，则 的取值范围是 ba分析与解：由 5c3ab4ca，c lnbaclnc 可得：53 4
9、 ，ln ，ac bc ac bc ac设 x， y，则有 53x y4x，ye x，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)，ac bc当直线 ykx 与 ye x相切于点 M 时， 最小，容易求得 M(1，e)，ba yx因此 的最小值是 e，,当 ykx 过点 N( ， )时， 最大，最大值为 7，ba 12 72 ba所以 的取值范围是1，eba二方法联想含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换） 二是减元，例如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握三归类研究1已知 x，y 为正实数，则 的最大值是_4x4x y yx y答
10、案： 提示：减元， ，其中 t 43 4x4x y yx y 44 t t1 t yx2设 a，b，c 是正实数，满足 bca，则 的最小值为_bc ca b答案： 提示：消元(不等替换)、减元，212 t ，其中 t bc ca b bc c(b c) b bc c2b c bc 12t 1 bc南京市 2018 届高三数学二轮专题复习资料第 4 页 共 4 页3若不等式 x2xya( x2y 2)对任意的正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值是_答案： 4已知实数 a、b、c 满足条件 0ac2b1，且 2a2 b2 1c ，则 的取值范围是_2a 2b2c答案： ， 145已知 a，b，c 为正数，且 a2b5c ， ，则 的取值范围是_3a 4b5c a 3bc答案： ，7275
