1、25任意一个正整数 m 都可以表示为： m a b（a,b 均为正整数） ，在 m 的所有表示= | | 2结果中，当|a b|最小时，规定 例如 ，因 ()Q222210873163为 ，所以 1082731263()64（1） ；如果一个正整数 n 是另一个正整数 的立方，那么称正整数 n 是立(4)Q c方数，求证：对于任意立方数 n，总有 ；1()2Q（2）一个正整数 ， （ ， ， 是自然数） ，如果 与其各个t20xy9xy0xy， t数位上数字之和能被 19 整除，那么我们称这个数 为“希望数”求所有“希望数”中 的t ()Qt最小值25阅读下列材料，并解决问题：材料 1：对于一
2、个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如 122， ；2(1)材料 2：若一个数 M 能够写成 M p q p q（p、q 均为正整数，且 ） ，则我= | | 2| | 2+ + pq们称这样的数为“不完全平方差数” ，当 最大时，我们称此时的 p、q 为 M 的一组“最优分解数” ，并规定 .例如 ，因为：()Fq2234981717， ， ，所以 ；29852173215()F（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被 3 整除；（2）若一个小于 300 的三位数 （其中 ， ，且 a、b、c40Nabc14b09c均为整数）既是一个
3、“不完全平方差数” ，也是一个“倍差数” ，求所有 的最大值.()FN25材料 1：一个多位正整数，如果它既能被 13 整除，又能被 14 整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数(数字 1314 的谐音). 例如：正整数 364， ，364128，则 364 是“一生一世”数.3642材料 2：若一个正整数 ，它既能被 整除，又能被 整除，且 与 互素（即 与mababa的公约数只有 1） ，则 一定能被 整除. 例如：正整数 364， ，bb，因为 13 和 14 互素，则 ，即 364 一定能被 182364(1)364182整除.（1）6734 （填空：是或者不是） “一生一世”数.
4、并证明：任意一个位数大于三位的“一生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被 91 整除；（2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.25对于一个正整数，如果从左到右偶数数位上的数字之和与奇数数位上的数字之和的差是 11 的倍数，则称这个正整数为“新奇数” 。把一个多位正整数分解为末三位和末三位之前的数，如果末三位数减去末三位以前的数所得差能被 13 整除，则这个多位正整数“新异数” 。已知任意四位数 P 均可唯一分解为 的形式（其中 x,y,z 均为非负整210
5、Pxyz数，且 ） ，规定 21zy()xyGMz例如： ， 2340665(134)23（1）求证：任意四位“新奇数”都能被 11 整除；（2）已知一个四位自然数 ，个位数字00(1,26,17)nabcdabc比百位数字小 2； ，且 m 既是“新奇数” ，又是“新异数” ，求符合条件的正整31数 m 以及 最小值()GM25若整数 m 是 8 的倍数，那么称整数 m 为“发达数” 例如，因为 16 是 8 的倍数，所以16 是“发达数”（1）已知整数 m 等于某个奇数的平方减 1，求证：m 是 “发达数”（2）已知两位正整数 （ ，其中 x，y 为自然数） ，交换其个位上的数10txy9
6、xy字和十位上的数字得到新数 s，如果 s 加上 t 的和是“ 发达数”，求所有符合条件的两位正整数 t25若一个三位整数 （ 为整数，且 ， ， ）满足mxyz,19x0y9z，则称 为“喜欢数” ，例如 满足 ，则称 102 为“喜欢数” ；2yxz02m2将“喜欢数” 的百位数字与十位数字交换得到的新数 ，则称 为 的“欢喜数” ，nyxznm例如“喜欢数”102 交换其百位数字和十位数字得到的新数 ，则称 12 为 102 的“欢1喜数” 。（1）请说明任何一个“喜欢数”的“欢喜数”都能被 3 整除；（2）已知一个三位整数 （其中 为整数，且 ， ）是“喜欢数” ，Pabc,c15a0
7、c是 的“欢喜数” ，若 的两倍与 的差能被 13 整除，求 的值。QPQP25对于两个两位数 和 ，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别mn放置于另一个两位数十位上的数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与 11 的商记为 例如：当 ，(,)Fmn36时，将 十位上的 3 放置于 中 1 与 0 之间，将 个位上的 6 放置于 中 0 的右边，10nn n得到 1306，将 十位上的 1 放置于 中 3 与 6 之间，将 个位上的 0 放置于 中 6 的右边，n得到 3160，这两个新四位数的和为 ， ，所以414(36,)4
8、F（1）计算： ；(20,8)（2）若 ， （ ， ， 都是自然数） ，当ax1by09x1y,x时，求 的最大值50(,36)(,49)67F(5,)Fab25一个三位自然数是 ，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为 0 的新三位s自然数 s（s 可以与 s 相同） ，设 ，在 s所有的可能情况中，当 最大时，xyz3xyz我们称此时的 s是 s 的“梦想数” ，并规定 P(s) x2 3y2 z2例如 127 按上述方法可得到= +-新数有：217、172、721，因为 237，所以 172 是 127 的“梦想数” ，此时，1207610， ， ，2()34P（1）求 512 的
9、“梦想数”及 的值；(512)P（2）设三位自然数 ，交换其个位与十位上的数字得到新数 ，若 ，sab s29748s且 能被 7 整除，求 s 的值()Ps25一个数的后三位数加上前边的数之和能被 37 整除，那么这个数就能够被 37 整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被 37 整除，这个数就能被 37 整除例如：6549，549 6 555，555 37 15，所以 6549 能被 37 整除；+=12360146，146 360 12 518，518 37 14，所以 12360146 能被 37 整除（1）判断：333444 （能、不能）被 37 整除；证明：若四
10、位数 （其中 ，abcd19a， ， ，a、b、c、d 为整数）能被 37 整除，求证：将 的个位9bc19截去，再用余下的数减去个位数的 11 倍也能被 37 整除（2）一个四位数 （其中 ， ， ， ，a、b、c 、d 为整19bc19d数） ，其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被 37 整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数25对任意一个四位数 n，将这个四位数 n 千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数 m，记 例如： ，对调千()9nF1423n位上数字与十位上数字及百位上数字与个位
11、上数字得到 2314，所以.如果四位数 n 满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位1423()9Fn数字的和，则称这个数为“平衡数” ，例如：1423，因为 ，所以 1423 是一个平1423衡数.（1）请计算 ，并证明：对于任意一个四位数 n，都有 为整数；(8062) ()F（2）若一个“平衡数”N 的十位数字比百位数字的 2 倍少 1，且这个“平衡数”能同时被3 和 11 整除，求 的最小值()F25一个三位正整数的各位数字均不为零，如果十位数字是个位数字与百位数字的平均数，我们把这个三位数叫作“阶梯数”。把阶梯数 的十位数字作个位，个位数字、百位数字分m别作十位得到两个两位数，再
12、把 的十位数字作十位，个位数字、百位数字分别作个位又得到两个两位数。用 减去这四个两位数，再减去 的十位数字得到的差除以 33，把这个m商记作 。例如，531 是一个阶梯数，得到的四个两位数分别为 53，13，35，31，差()G531 53 13 35 31 3 396，396 33 12，则 。-= = (531)2G（1）任写一个阶梯数 ，并求出 ；n()n（2）已知 都是阶梯数，其中 ， （ 都是一位,pq105pac10qxy,acxy正整数） ，如果 ，规定 ，求 的最大值。()4Gk25对于一个四位自然数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同且均不为 0，它的千位数字与个位
13、数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数 n 为“平衡数” ，对于一个“平衡数” ，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222 的商记为 ，例如： ，因为 1 6 2 5，所以 1526 是一个“平衡数” ，()F1526+ = +从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为 152、526、261、615，这四个三位数的和为：152 526 261 615 1554，1154 222 7，所以 + + + = = (1526)7F（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应 的值；()Fn（2）若 s、t 都是“平衡数” ，其中 s 10x y
14、 3201，t 1000m 10n 126（= + + = + +， ， ， ，x、y、m 、n 都是整数） ，规定：09x8y19m07n，当 是一个完全平方数时，求 k 的最大值。()Fstk()Fst25对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数 ，如果它的百位数字、十位数字、n个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数” ，记为 ，()Dn把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，可得另一个三位数，记为 。如E123，记为 ，交换 123 的百位数字与个位数字的位置后，得到 321，即 。(123)D (123)规定 ，如 。98EnF321()98F（1
15、）计算： ， ；(15)246（2）若 是百位数字为 1 的数， 是个位数字为 9 的数，且满足 ，记Ds()Dt ()5Fst，求 的最大值。()9tkk25阅读下列材料：材料 1：若五位整数去掉个位数字后剩下的数再加上去掉的个位数字的 4 倍，其结果能被13 整除，则这个数能被 13 整除。若数字太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：14443 去掉个位数字后得到 1444，加上 3 的 4 倍得到 1456，1456 去掉个位数字 6 得到145，再加上 6 的 4 倍得到 169，169 能被 13 整除，故 14443 能被 13 整除。材料 2：任意一个大于 3 的正整数 M
16、都有如下分解：M a b c (a,b,c 为正整数，且 a b，a b c).= 22 当 的值最小时，定义 . c2()3Fc例如： ， 22 222311814615310当 时， 的值最小，所以,46ababc()3F（1）请判断：32799_（能/不能）被 13 整除；请证明：任意四位整数去掉个位数字后剩下的数再加上去掉的个位数字的 4 倍，其结果能被 13 整除，这个数也能被 13 整除。（2）若整数 (1 m 9，1 n 9，且 m,n 为整数)， 。若一个10An 201Anm整数从左到右的数位上的数字和另一个整数从右到左的数位上的数字完全相同，则称这两个整数互为对称数。将 A
17、 作为数 P 的后两位数， 作为数 P 后两位以前的数。若 P 的对称数能被 39 整除，求 的值.()F25一个形如 的五位自然数（其中 c 表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十cba位上的数字，a 表示百位上的数字且 ） ，若有 ，则把该自然数叫做“巅峰数”0ca，例如，自然数 25752，因为 ，所以 25752 是一个“巅峰数” 。同时规定：将“巅5+2=7峰数”中的后三位 a，b，c 进行重新排列（新数可以与原数相同） ，得到新的三位数，并按 进行计算求值，将所得的最小值记为 P.()xyz3yxz（1）求证：任意“巅峰数”能被 111 整除；（2）若某“巅峰数”与其所有数位上的数字之和能被 17 整除，求该“巅峰数”及相应的P 的值。
