1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准
2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000 的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两个 空 白 框 中 ， 可 以 分 别 填 入AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA 1 000 和 n=n+1 DA 1 000 和 n=n+2【考点】：程序框图。【思路】：此题的难点在于考察点的不同，考察判断框和循环系数。根据判断条件可得为当型结构，故而判断框中应该是 A
3、 1 000，又题目要求为最小偶数，故而循环系数当为 n=n+2。【解析】：选 D。9已知曲线 C1：y =cos x，C 2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，6得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，12得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，12 6得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
4、长度，12 12得到曲线 C2【考点】：三角函数的变换。【思路】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。先变周期： 2cosinsin2sinsin2 312yxyxyxx先变相位： sisisisi63y【解析】：选 D。10已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D10【考点】：抛物线与直线的位置关系。【思路】：由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为 0，分别假设为 和 ，故而可得k1，联立
5、 ， 假设 ，1:lykx22221404ykxkx 12,AxyB故而根据韦达定理可得 ，此时 ，同理可得122k1224Bpk，故而 ，当且仅当24DEk24886ABDE时取等号。2241kk【解析】：选 A。11设 xyz 为正数，且 ，则235xyzA2x100 且 该 数 列 的前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110【考点】：行列式（杨辉三角）求和问题，计算量较大。【思路】：将已知的数列列举成行列式的形式，第一行，1 个数，求和为02 12第二行，2 个数，求和为1第三行，3 个数，求和为0212
6、 321第四行，4 个数，求和为 4第五行，5 个数，求和为0123 5故而可得，第 n 行，n 个数，求和为 ，因此前 n 行，一共有 个数，求和为21n12n12n【解析】：根据上面的分析，我们可以类推得到，前 14 行，有 105 个数，求和为 ，当 时，求和为152610N155152627n前 20 行，有 210 个数，求和为 ，当 时，求和为121101032n前 25 行，有 225 个数，求和为 ，当 时，求和为26302652657前 29 行，有 435 个数，求和为 ，当 时，求和为 ，故而选 A。3014N30301二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
7、0 分。13已知向量 a，b 的夹角为 60，| a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【考点】：向量的模长。【思路】：牢记求解模长问题利用平方的思路，直接将所求的内容进行平方即可。【解析】： ，故而模长为 。22 1442abab 23ab14设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 .10xy3zxy【考点】：简单的线性规划。【思路】：根据约束条件，画出可行域即可。【解析】：如图所示，可行域为阴影部分，令 为初始直线，当 向上平移0332:2zxylyx0l时， 逐渐变小，故而在点 处取到最小值-5。32zxy1,F15已知双曲线 C： （a0，b0）的右顶点为 A，以 A
8、为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲21xy线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN=60 ，则 C 的离心率为_。【考点】：圆锥曲线离心率问题。【思路】：利用角度计算可得答案。【解析】：如图所示，过点 A 作渐近线的垂线 AB，由 ，又6030MANBA，故而2233,2AMbBbOaBb，解得 。22tan3ab221313eaa16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D 、E、F 为圆O 上的点，DBC，ECA， FAB 分别是以 BC，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起
9、 DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。【考点】：立体几何体积计算，函数与导数综合。【思路】：根据题意可得DBC ， ECA，FAB 分别全等，故而可得三棱锥是正三棱锥，斜高即为三个三角形的高，即为 ，高为 （右图） 。不妨设三角形 的边长为 ，此时在DGOABC053a左图中， ，故而正三棱锥的333,5, 2OaRa高，此时即可计算体积。2103 5ODGa【解析】：根据体积公式可得 ，利用函数性2 45 1031035234DABCVaa质可得，假设 ，故而当 时取最大值 453102faaf 1c
10、m3。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 ABC 的周长.【考点】：解三角形。【思路】：根据三角形面积公式可以求得第一问，第二问直接利用余弦定理求解即可。【解析】：（1）由题意可得 ，化简可得 ，根据正弦定理化21sin23iABCaSbcA223sinabcA简
11、可得： 。2sin3isnii（2）由 ，因此可得2sinC 123cossinCcos1 3co6BABBA，将之代入 中可得： ，化3B2sin3B 23sisisincsin032C简可得 ，利用正弦定理可得 ，同理可得tan,6C 1i3s2abBA，故而三角形的周长为 。3c3218.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且 .90BAPCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值.90APD【考点】：立体几何，空间向量。【思路】：（1）利用线面垂直的性质即可求得。 （2）建立空间直角坐标系即可【
12、解析】：（1） ,又 ,PA、PD 都在平面/,ABCDPABD,PADPAD 内，故而可得 。又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB平面 PAD。（2）不妨设 ，以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐2Pa标系。故而可得各点坐标： ，因此可得0,02,0,2,0aCa，假设平面 的法向量,02,AaBPCPAB，平面 的法向量 ，故而可得 ，1,nxyPC2,1nm1 1220nPAxxBayay即 ，同理可得 ，即 。因此法1,0n2202nPCamnamBn 20,1向量的夹角余弦值： 。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 。123cos,
13、n 319（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件(3,)数，求 及 的数学期望；()PX（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这(3,)一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.1
14、2 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 为抽169.7ix1616222()()0.1i iisxxix取的第 个零件的尺寸， i,2用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对xs当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到(3,)0.01）附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，Z2(,)N(33)0.97 4PZ， 160.97 4.59 20.8.9【考点】：统计与概率。【思路】：（1
15、）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。 （2）考察正态分布，代入运算即可。【解析】：（1） 1610.9740.952.408PX由题意可得，X 满足二项分布 ，因此可得,.XB16,.160256EX（2）由（1）可得 ，属于小概率事件，故而如果出现 的零件，需 1 10.485%P(3,)要进行检查。由题意可得 ，故而在 范围外 2 AAA9.7,.239.4,310.69.4,10.6存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时： ，972.5x。150.9ix20.（12 分）已知椭圆 C： （ ab0） ，四点 P1（1,1） ，P 2（0,1） ，P 3（1， ）
16、 ，P 4（1， ）中恰2=1xy 232有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：（1）根据椭圆的对称性可以排除 P1（1,1） 。 （2）联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种，假设直线 AB 的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2B。【解析】：（1）根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4（1， ）不可能同时在椭圆上，P 3（1， ） ，322P4（1， ）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1） ，P 3（1
17、， ） ，P 4（1， ） ，代入椭32 232圆方程可得： ，故而可得椭圆的标准方程为： 。213,24baaxy（2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在，不妨设直线 P2A 为： , P2B 为：1k.联立 ，假设 ， 此时可得：1ykx2214804ykxkxk 1,xy2,By， 此时可求得直线的斜率为：22228118,414kABkk，化简可得 ，此时满足 。222124188ABykkx21ABkk12k当 时，AB 两点重合，不合题意。 1 2k当 时，直线方程为： ，即 ， 2 22218144kkyxk2241kxy当 时， ，因此直线恒过定点 。 x1
18、y,21.（12 分）已知函数 ae2x+(a2) exx.)f（1）讨论 的单调性；(（2）若 有两个零点，求 a 的取值范围.)fx【考点】：导数综合问题。【思路】：（1）直接进行求导，分类讨论（2）函数有两个零点，故而函数不单调；根据函数单调性判断函数图像即可。【解析】：（1）对函数进行求导可得 。2 11xxxxfaeeae当 时， 恒成立，故而函数恒递减 1 0a10xxf 当 时， ，故而可得函数在 上单调递 2 1 lnxxfaexa1,lna减，在 上单调递增。1ln,a（2）函数有两个零点，故而可得 ，此时函数有极小值 ，要使得函数有两个0a1lnl1fa零点，亦即极小值小于
19、 0，故而可得 ，令 ，对函数进行求导即1ln0agl可得到 ，故而函数恒递增，又 ， ，因此可得21gagn10aa函数有两个零点的范围为 。,（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为3cos,inxy.4,1xaty（ 为 参 数 ）（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.17【考点】：参数方程。【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，
20、直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。【解析】：将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 ，直线化为直角方程为219xy14yxa（1）当 时，代入可得直线为 ，联立曲线方程可得：a134yx21349yx，解得 或 ，故而交点为 或2154xy30xy214,53,0（2）点 到直线 的距离为 ，即：3cos,inxy14xa3cos4in1717ad，化简可得 ，根据辅助角公s47a74i4式可得 ，又 ，解得 或者 。135si21a5sin58a1623选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数 f（x） =x2+ax+4，g( x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x ） g（x）的解集包含1，1 ，求 a 的取值范围 .【考点】：不等式选讲。【思路】：（1）将函数化简作图即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。【解析】：将函数 化简可得1gxx21xg（1） 当 时，作出函数图像可得 的范围在 F 和 G 点中间，联立 可1afxg 24yx得点 ，因此可得解集为 。7,12G17,2（2）即 在 内恒成立，故而可得 恒成立，根据图像fxg1,224xaxa可得：函数 必须在 之间，故而可得 。ya2l1
