1、全国卷 13-17 高考真题分类汇编：函数、导数及其应用一.选择题1.（2015.理 5）设函数 , ( )21log()1(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D12【解析】选 C 由已知得 ，又 ，所以 ，2()log43f2log122log1log62(l)f故 ，故选 C2()log1ff2.【2017.理 5】函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足()fx,)(1)f的 的取值范围是（ ）21()1xfA B C D,1,0,4,3【答案】D【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若 在
2、 R 上为单调递增的奇函数，且 ，则 ，反之亦成立.()fx 12()0fxf120x3. (2014理 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】将函数 y=ax-ln（x+1）求导,将 x=0 代入,利用导数的几何意义求得 a.【解析】选 D.因为 f(x)=ax-ln(x+1),所以 f(x)=a- .所以 f(0)=0,且 f(0)=2.联立解得 a=3.故选 D.1x4 （2013文）已知函数 f(x)Error!若|f (x)|ax，则 a 的取值范围是 ( )A(，0 B(，1 C 2,1
3、 D2,0【解析】选 D 本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想，利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求y|f(x)|的图像如图所示，yax 为过原点的一条直线，当 a0 时，与 y|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意当 a0 时成立当 a1x.所以 k1,+),选 D1x11、 （2016.I 理 7）函数 y=2x2e|x|在2,2 的图像大致为（ ）（A） （B） （C ） （D）【答案】D【解析】，排除 A， ，排除 B228.80fe228.71fe时，0xxfe，当 时，4xf10,4014fxe因此 在 单调递减，排除 Cfx,故选 D12.（2015.理 10）
4、如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ，ABD21BCOAPBC与 运动，记 将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的CAOPxx()f()fx图像大致为（ ）D P CBOAx【解析】选 B 由已知得，当点 在 边上运动时，即 时， ；PBC04x2tan4tPABx当点 在 边上运动时，即 时， ，PCD3,42x2211()()tantx当 时， ；当点 在 边上运动时，即 时，2x2AAD34，从点 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且2tantBxP2x，且轨迹非线型，故选 B()4ff13.（2015.文 12）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，
5、且()yfx2xayyx，则 ( )(2)1ffa（A） （B） （C ） （D） 4【解析】选 C 设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为（ ） ，由已(,)xy()fxyx,yx知知（ ）在函数 的图像上， ，解得 ，即,2xa2ya2log()a， ，解得 ，故选 C.2()log()fxx 2()4logl41ff【解析】由 在区间 是单调减函数可知， ，又 ，故选 .0.6y,1.50.600.651C14 （2016.II.理 12）已知函数 ()fxR满足 ()2()fxf，若函数 xy与 ()fx图像的交点为 12(,),(),mxyy则 1()iiiy（ ）（A）0
6、 （B） （C） 2 （D） 4m【答案】B15.【2017.II 理 11】若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxae()fxA. B. C. D.113e35【答案】A【解析】【考点】 函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同。(2)若 f(x)在(a， b)内有极值，那么 f(x)在( a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。16.（2014 二理 12）设函数函数 f(x)= sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 + 2
7、.故选 C.2x3417.【2017.理 11】已知函数 有唯一零点，则 a=（ ）1()()xfxaeA B C D112132【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足 ，21xxae设 ，则 ，1xge2111xxxeg 当 时， ，当 时， ，函数 单调递减，0 0g当 时， ，函数 单调递增，1x0gxgx当 时，函数取得最小值 ，12设 ，当 时，函数取得最小值 ，2hxx1【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解 ，则将问题转化为构造两个函
8、数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 学科网18.（2015.理 12）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（ ）()0xff0A B,1(,)(1,),)C D(【答案】A19.（2015.理 12）设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得()fx21)ex0x0，则 的取值范围是（ ）()fxa(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）32e32e432e432e【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的()gx1)
9、yax0x0()gyax下方.因为 ，所以当 时， 0，当 时， 0，所以当1()gxx时， = ，当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜12xmax()g12-e0x()g(1)30eyax率且 ，故 ，且 ，解得 1，故选 D.a01()3ea2【答案】D二、 填空题20.（2015.文 14）已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .31fxa1,f2,7a【解析】试题分析： ， ，即切线斜率 ，2()31fxa()f 3ka又 ，切点为（1， ） ，切线过（2,7） ， ，解得 1.()f2711a【答案】121.（2015.理 13）若函数 f(x)= 为偶函数，则 a=
10、2ln)ax【答案】122 （2013理）若函数 f(x)(1x 2)(x2axb)的图象关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_【解析】本题考查函数图象的对称性、函数图象的平移、偶函数及函数的极值与最值等知识，意在考查考生综合运用函数知识解答问题的能力、考查考生的运算能力；由函数图象的对称性得相应函数的奇偶性，利用图象平移知识确定函数解析式，再通过求导，研究函数的极值与最值因为函数 f(x)图象关于直线 x2 对称，所以函数 f(x2) 为偶函数，因为 f(x)(1x 2)(x2axb)，所以 f(x2)1(x 2) 2(x2) 2a( x2)bx 4(8a) x3(6ab23)x 2
11、 (11a4b28)x(6a3b12) 为偶函数，所以Error!所以 Error!f(x)(1x 2)(x28x15)，所以 f(x)2x( x28x15)(1 x 2)(2x8)4x 324x 228x 84(x 36x 27x2)4( x2)(x 24x1) 令 f( x)0，得 x2 或x2 或 x2 ，且当 x2 时，f ( x)0；当2 x2 时，f(x)0；当5 5 5 52x2 时，f( x)0；当 x2 时，f ( x)0，所以当 x2 时，f(x) 极大值 16；当5 5 5x2 时， f(x)极大值 16.所以函数 f(x)的最大值为 16.5【答案】1623 （2013
12、大纲卷文）设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x1,3)时，f(x)x 2，则 f(1)_.【解析】本题主要考查抽象函数的求值与周期性因为 f(x)是以 2 为周期的函数，所以 f(1)f(12)f(1)121.【答案】124.【2017.理 15】设函数 则满足 的 x 的取值范围是_.10()2xf， ， ， 1()2fx【答案】 1,4写成分段函数的形式： ，132,012,xxgxff 函数 在区间 三段区间内均单调递增，gx1,0,2且： ，0 011,4据此 x 的取值范围是： .1,425 （2016.II 理 16）若直线 ykxb是曲线 ln2yx的切线，也是曲线 ln
13、(1)yx的切线，则 b 【答案】 1ln225 （2016.III 理 15）已知 fx为偶函数，当 0x时， ()ln3fxx，则曲线 yfx在点(,3)处的切线方程是_。【答案】 21yx三、 解答题26.（2015.文 21） （本小题满分 12 分）设函数 .2lnxfea（I）讨论 的导函数 的零点的个数；fxfx（II）证明：当 时 .0a2lna【解析】试题解析：（I） 的定义域为 ， .()fx0+， 2()=0xafe当 时, ， 没有零点；0a()f当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,当 b 满2xeax-()fx+， ()0fa足 且 时， ,
14、故当 时， 存在唯一零点.4b（II）由（I） ，可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;()fx+， 00x， ()fx当 时， .0+x， 故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值()fx， 0x， 0x=()fx为 .0x由于 ，所以 .02=ae-002()=lnl2afxxa+故当 时， .()lnfx27.（2013文）已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求
15、极值(1)f(x) e x(axab)2x 4.由已知得 f(0)4，f(0) 4.故 b4，ab8.从而 a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4e x(x1) x 24x，f(x)4e x(x 2)2x 44(x2) .(ex 12)令 f(x )0 得，xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，) 时，f ( x)0；当 x( 2，ln 2)时，f ( x)0.解：考查利用导数研究函数的单调性以及运用导数方法证明不等式等知识意在考查考生综合运用知识的能力以及化归与转化的思想(1)f(x) e x .1x m由 x0 是 f(x)的极值点得 f (0)0，所以 m1.于是 f(x
16、)e xln(x1) ，定义域为( 1，)，f(x)e x .1x 1函数 f(x) e x 在(1，) ，上单调递增且 f(0)0，因此当 x( 1,0)时，f(x)0.所以 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，) 上单调递增(2) 证明：当 m2，x (m ，) 时，ln(x m)ln(x 2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.当 m2 时，函数 f(x)e x 在( 2，)上单调递增，又 f(1)0，故 f(x )0 在1x 2(2，) 上有唯一实根 x0，且 x0( 1,0)当 x( 2，x 0)时，f( x)0，从而当 xx 0 时，f(x) 取得最小值由 f(x 0)0 得
17、 ex0 ，ln(x 02)x 0，1x0 2故 f(x)f(x 0) x 0 0.1x0 2 x0 12x0 2综上，当 m2 时，f(x)0.35.【2017.II 理】已知函数 ，且 。2lnfax0fx(1)求 ；a(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。fx0220ef【答案】(1) ；1(2)证明略。【解析】（2）由（1）知 ， 。2lnfxx2lnfx设 ，则 。lnhx1h当 时， ；当 时， ，0,20x,2x0hx所以 在 单调递减，在 单调递增。hx1,1,【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效
18、的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值) ，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。学科 网36.（2016.I 理 21）已知函数 有两个零点.()=(2)+(1)2（I）求 a 的取值范围；（II）设 x1，x 2 是 的两个零点，证明： +x20 时,g(x)0, 求 b 的最大
19、值.(3)已知 1.41420,h(x)递增; 且 h(0)2 时,h(x)0,g(x)0,g(x) 在(0,+) 上递增;所以当 x(0,2)(0,+ ) 时,g(x)g(2)=1,当 x(-,0) 时 ,单调递减,且 g(x)(-,+).所以当 k0，f (x)在(， 1)是增函数；2 2当 x( 1， 1) 时，f( x)0，f (x)在( 1，)是增函数2 2(2)由 f(2)0 得 a .54当 a ，x(2 ，)时，54f(x)3(x 22ax1)3 3 (x2)0，(x2 52x 1) (x 12)所以 f(x)在(2，)是增函数，于是当 x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a 的取值范围是 ，.54
