1、高三数学试题第 1 页（共 4 页）南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：柱体体积公式： ，其中 为底面积, 为高.VShh一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的
2、 指 定 位置 上 ）1已知集合 ， ，则 |()0Ax,1BABI2设复数 为虚数单位） ，若 为纯虚数，则 的值为 ,zaiRi()iza3为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级 4000 名学生中随机抽取100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50,100 上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 (单位：分钟) 内的学生人数为 7,804执行如图所示的伪代码，若 ，则输出的 的值为 0xy5口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之
3、和大于 4 的概率为 6若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为 yp25p7设函数 的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是 1xeaA0,)a8已知锐角 满足 ，则 的值为 ,tnt129若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 siy0,210设 为等差数列 的前 项和，若 的前 2017 项中的奇数项和为 2018，nSnna则 的值为 2017时间(单位:分钟)频率组距50 60 70 80 90 1000.035a0.0200.0100.005第 3 题图Read xIf Then0lnyElsexeEnd IfPrint y第 4 题图高三数学试题第 2 页（
4、共 4 页）11设函数 是偶函数，当 x0时， = ，若函数 有四个不同()fx()f3),03,1xx()yfxm的零点，则实数 m 的取值范围是 12在平面直角坐标系 中，若直线 上存在一点 ，圆 上存在一点 ，Oy(3)ykxP22(1)Q满足 ，则实数 的最小值为 3PQk13如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的 顶点称为“晶格点”若 四点均位于图中的“晶格点”处，且 的位置所,ABCD,AB图所示，则的最大值为 14若不等式 对任意 都成立，2sinis19inskBC则实数 的最k小值为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说
5、明， 证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)如图所示，在直三棱柱 中， ，点 分别是 的中点.1ABCAB,MN1,AB（1）求证： 平面 ；NM（2）若 ，求证： .1116(本小题满分 14 分)在 中，角 的对边分别为 已知 .ABC, ,abc52b（1）若 ，求 的值；2cosB（2）若 ，求 的值s()4AB第 13 题图A B CA1 B1 C1MN第 15 题图高三数学试题第 3 页（共 4 页）17(本小题满分 14 分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计） ，一边 长为 6 分米，另一边足够长现从中截AB取矩形 （如图甲所示） ，再剪
6、去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的ABCD柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计） ，其中 是以 为圆心、 的扇形，OEMF120EOF且弧 , 分别与边 , 相切于点 , EFGHN（1）当 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的下顶点为 ，点 是椭圆上xOy2:1(0)xyCabB,MN异于点 的动点，直线 分别与 轴交于点 ，且点 是线段 的中点当点 运动到B,MBN,PQOP点 处时，点 的坐标为 3(,)2Q3(,0)（1）求椭圆 的标
7、准方程；C（2）设直线 交 轴于点 ，当点 均在 轴右侧，且 时，求直线 的方yD,y2DNB程xyOBNMPQD第 18 题图A DCBEGFOM NH第 17 题-图甲NE FG H第 17 题-图乙MN高三数学试题第 4 页（共 4 页）19(本小题满分 16 分)设数列 满足 ，其中 ，且 ， 为常数.na2211()nnaanN（1）若 是等差数列，且公差 ，求 的值；0d（2）若 ，且存在 ，使得 对任意的 都成立，求 的123,43,7rnmar*nm最小值；（3）若 ，且数列 不是常数列，如果存在正整数 ，使得 对任意的 均成立. 0naTTa*N求所有满足条件的数列 中 的最
8、小值.T20(本小题满分 16 分)设函数 ， （ ）.(lnfx()bgxac,R（1）当 时，若函数 与 的图象在 处有相同的切线，求 的值；0cf()1x,ab（2）当 时，若对任意 和任意 ，总存在不相等的正实数 ，使得3b01,(0,3)a12,x，求 的最小值；12()()gxxc（3）当 时，设函数 与 的图象交于 两点求证：ayf()g1,Axy2(,)B.21高三数学试题第 5 页（共 4 页）南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10
9、 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 4-1：几何证明选讲）如图，已知 为 的直径，直线 与 相切于点 ， 垂直 于点 . 若 ，求OEOEAD4DE切点 到直径 的距离 EFB.（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 ，求圆 在矩阵 的变换下所得的曲线方程.2 01M21xyMC （选修 4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 与曲线 ( )相切，求 的值.cos()13r0rD(选修 4-5：不等式选讲）已知实数 满足 ，求当 取最大值时 的值.,xy231yxyxA BEDFO第 21(A)图高三数学试题第 6 页（共 4 页）必做题 （第 22、23 题，每
10、小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）如图，四棱锥 的底面 是菱形， 与 交于点 ， 底面 ，点 为PABCDACBDOPABCDM中点， .C4,2,4O（1）求直线 与 所成角的余弦值；M（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值23 （本小题满分 10 分）已知 ， nN01211rnnnnfCC（1）求 的值；,23（2）试猜想 的表达式（用一个组合数表示） ，并证明你的猜想fMA BCDOP第 22 题图高三数学试题第 7 页（共 4 页）南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题
11、，每小题 5 分，计 70 分.1 21 31200 41 5 66 7 23(,28 9 104034 11 12 1324 1410034(0,49,)二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明：（1）因为 是直三棱柱，所以 ，且 ，1ABC1/AB1AB又点 分别是 的中点，所以 ，且 ,MN, 1MN/所以四边形 是平行四边形，从而 4 分1 /又 平面 ， 平面 ，所以 面 6 分11C1C（2）因为 是直三棱柱，所以 底面 ，而 侧面 ，1所以侧面 底面 1AB又 ，且 是 的中点，所以 CA
12、B则由侧面 底面 ，侧面 底面 ，1，且 底面 ，得 侧面 8 分MABCM1又 侧面 ，所以 10 分111又 ， 平面 ，且 ，AB,C所以 平面 12 分又 平面 ，所以 14 分1C1116解：（1）因为 ，则由正弦定理，得 2 分52cb5sinsi2B又 ，所以 ，即 4 分BsinsiB4con又 是 的内角，所以 ，故 6 分AC05s（2）因为 ， 所以 ，则由余弦定理，cbAaC得 ，得 10 分222bcab从而 ， 12 分22()35osBcc又 ，所以 024sin1osB从而 14 分3242cos()cin451017解：（1）在图甲中，连接 交 于点 设 ，M
13、OEFTOEFMR在 中，因为 ，所以 ，则 RtOET1602 2RTO高三数学试题第 8 页（共 4 页）从而 ，即 . 2 分2RBEMT2BE故所得柱体的底面积 OFSS扇 形. 4 分214sin1033又所得柱体的高 ，G所以 .VSE6答：当 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积B为 立方分米. 6 分643（2）设 ，则 ，所以所得柱体的底面积x2Rx. OEFSS扇 形 2214sin0(3)x又所得柱体的高 ，6G所以 ，其中 . 10 分V328()()x令 ，则由 ，32(),0fxx263(2)0fxx解得 . 12 分列表如下： (,) (,)()fx 0 增 极
14、大值 减所以当 时， 取得最大值 .2xf答：当 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大 . 14 分BE18解：（1）由 ，得直线 的方程为 23(,)(,0)NQNQ32yx分令 ，得点 的坐标为 0x,所以椭圆的方程为 4 分213xya将点 的坐标 代入，得 ，解得 N(,)2223()1a24a所以椭圆 的标准方程为 8 分C143xy（2）方法一：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 BM(0)kBM3ykx在 中，令 ，得 ，而点 是线段 的中点，所以 3ykxyPxQOP2Qk所以直线 的斜率 10 分N(3)20BNQkkA DCBEGFOM NHT高三数学试题第 9
15、页（共 4 页）联立 ，消去 ，得 ，解得 2314ykxy2(34)830kx2834Mkx用 代 ，得 12 分k26Nx又 ，所以 ，得 14 分2DM()MNx23MNx故 ，又 ，解得 2831346kk06k所以直线 的方程为 16 分Byx方法二：设点 的坐标分别为 ,N12(,),y由 ，得直线 的方程为 ，令 ，得 (03)13x0y13Pxy同理，得 2Qxy而点 是线段 的中点，所以 ，故 10 分OP2PQx1233xy又 ，所以 ，得 ，从而 ，2DNM212()21031243y解得 12 分2143y将 代入到椭圆 C 的方程中，得 2143xy 221(43)1
16、97xy又 ，所以 ，即 ，2211()x21214()(3)397y21330y解得 （舍）或 又 ，所以点 的坐标为 14 分3y110xM4(,)故直线 的方程为 16 分BM632y19解：（1）由题意，可得 ，2()nnadad化简得 ，又 ，所以 . 4 分2(1)0d1（2）将 代入条件，可得 ，解得 ，3,4a40所以 ，所以数列 是首项为 1，公比 的等比数列，所以 . 6 分21nnnq12na欲存在 ，使得 ，即 对任意 都成立，,7r1mr12nm*N高三数学试题第 10 页（共 4 页）则 ，所以 对任意 都成立. 8 分172nm172n*N令 ，则 ，1nb116
17、82nnnb所以当 时， ；当 时， ；当 时， 89b1nb所以 的最大值为 ，所以 的最小值为 . 10 分n982m8（3）因为数列 不是常数列，所以 aT若 ，则 恒成立，从而 ， ，所以 ，2T2n31a42a2211()a所以 ，又 ，所以 ，可得 是常数列矛盾1()02n所以 不合题意. 12 分若 ，取 （*） ，满足 恒成立 14 分3T,231(),nkaN3na由 ，得 21321()7则条件式变为 nn由 ，知 ；2)7223131()kkaa由 ，知 ；(1由 ，知 2132231321kk所以，数列（*）适合题意所以 的最小值为 . 16 分T20解：（1）由 ，得
18、 ，又 ，所以 ，.()lnfx()0f()fx()1f当 时， ，所以 ，所以 . 2 分0cbga2bgagab因为函数 与 的图象在 处有相同的切线，()f 1x所以 ，即 ，解得 . 4 分1()fg0ab2b（2）当 时，则 ，又 ，设 ，0x0()fx3a0()tfx则题意可转化为方程 在 上有相异两实根 6 分()ct,12,x即关于 的方程 在 上有相异两实根 2()at()高三数学试题第 11 页（共 4 页）所以 ，得 ，21203()4()03acttxa23()4()0act所以 对 恒成立 8 分()ct(0,)(,3)a因为 ，所以 （当且仅当 时取等号） ，022
19、 32a又 ，所以 的取值范围是 ，所以 t2(3)at-(,)c故 的最小值为 . 10 分c（3）当 时，因为函数 与 的图象交于 两点，1afx(g,AB所以 ，两式相减，得 . 12 分122lnbxc 2112ln()xb要证明 ，即证 ，11xbx21121221l()xxx即证 ，即证 . 14 分21ln21ln令 ，则 ，此时即证 21xtt令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递增()lnt2()0tt1t()t又 ，所以 ，即 成立；01()ln1lnt再令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递减，()lmtt()mt t()mt又 ，所以 ，即 也成立1()l0lt综上所述
20、， 实数 满足 . 16 分12,x1212xbx附加题答案21 （A）解：如图，连接 ， ，AEO因为直线 与 相切于点 ，所以 ，DDE又因为 垂直 于 ，所以 ，所以 ，/AOE在 中 ，所以 ， 5 分O由得 ，即 ，F又 ， ，F所以 ，所以 ，又 ，所以 ，AE44即 到直径 的距离为 4. 10 分B（B）解：设 是圆 上任意一点，则 ，0,Pxy21y201xyA BEDFO第 21(A)图高三数学试题第 12 页（共 4 页）设点 在矩阵 对应的变换下所得的点为 ，则 ，0,PxyM,Qxy02 1xy即 ，解得 ， 5 分02012xy代入 ，得 ，即为所求的曲线方程. 1
21、0 分2x24（C）解：以极点 O 为原点，极轴 为 轴建立平面直角坐标系，x由 ，得 ，cos()13(cossin)13得直线的直角坐标方程为 5 分20y曲线 ，即圆 ，r2xr所以圆心到直线的距离为 13d因为直线 与曲线 （ ）相切，所以 ，即 . 10 分cos()13r0rd1（D）解：由柯西不等式，得 ，22223()1()(1)3xyxy即 24()()3xy而 ，所以 ，所以 ， 5 分124xy3xy由 ，得 ，所以当且仅当 时， 32xyxy36,26xymax2()3y所以当 取最大值时 的值为 . 10 分x3222解：（1）因为 是菱形，所以 又 底面 ，以 为原
22、点，直线 ABCDACBDOPABCDO,AOBP分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系xyz则 , , , , (20)(1)(04)P(0)(1,2)M所以 ， ， ，120， |5P|6M则 3cos, 6|5AB故直线 与 所成角的余弦值为 . 5 分0（2） ， (2,10)AB(1,2)设平面 的一个法向量为 ，M,nxyzMA BCDOP第 22 题图x yz高三数学试题第 13 页（共 4 页）则 ，得 ，令 ，得 ， 0nABM20xyz2x4y3z得平面 的一个法向量为 (,43)n又平面 的一个法向量为 ，所以 ， ， PC1OBnOB|29n|1OB则 .c
23、os, 29|nB故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 10 分AM42923解：（1）由条件， ，01211rnnnnfCC在中令 ，得 1 分1n在中令 ，得 ，得 2 分201226f 3f在中令 ，得 ，得 3 分333300f（2）猜想 = （或 = ） 5 分f21nf12n欲证猜想成立，只要证等式 成立01211rnnnCC方法一：当 时，等式显然成立，当 时，因为 ， 1!()!()()r rn nrr（ ）故 111()r rnnC故只需证明 0 112 rnnnn即证 02111rCC而 ，故即证 rrn0 12 1n rnnC由等式 可得，左边 的系数为 ()()n
24、xxnx2而右边 ，1n01201211 nn nnxx 所以 的系数为 n0rn由 恒成立可得成立.211()()nxx综上， 成立. 10 分fC方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有 个小球，其中 n 个是编号为 1，2，n 的白球，其余21n1 个是编号为 1，2，n1 的黑球，现从袋中任意摸出 n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有 个黑球（ 个白球）的 n 个小球的组合的个数为 ， ，由分类计数原rr 1rC0r理有从袋中任意摸出 n 个小球的组合的总数为 0 11nn另一方面，从袋中 个小球中任意摸出 n 个小球的组合的个数为 2故 ，即成立. 余下同方法一. 10 分01121n nnnCC方法三：由二项式定理，得 02() nnxxx两边求导，得 12111rnC ，得 210 2 1()( )( )n n rnnnx Cx 左边 的系数为 21nC右边 的系数为n 111nrnn高三数学试题第 14 页（共 4 页）102111rnnnnCC01211rnnnnCC由恒成立，可得 022 r故 成立. 10 分21f
