1、摘要：在我国北方地区，夏热冬冷，夏季屋顶温度高达摄氏 75 度，冬季最低会降至摄氏零下 40 度，在采暖期和制冷期都会消耗大量的能源，保温隔热成为建筑节能的一个重要研究课题。因此，针对城市居民楼很多都是简单的多层材料平屋顶，保温层的材料和厚度直接影响节能效益的现状，我们假设室内基本温度在采暖设备或制冷设备的工作下会稳定在摄氏 18-24 度之间，这样就可以只考虑屋面传热造成的能量损耗问题，不用考虑其他围护结构的情况。第一步，建立屋面传热模型。首先对材料的导热系数进行讨论，模型中主要考虑温度和含水率变化对导热系数的影响；接下来对单层材料传热情况进行分析，由于材料导热系数随温度变化，而保温层内温度
2、变化又较大，在保温层内我们通过求积分的方式计算其传热量；进而讨论多层材料传热情况，多层材料间热传导，考虑其稳定传导过程，假设其接触面平整紧密，依据各层间热流量（单位面积单位时间内传热量）是相等的建立模型；最后在多层材料传热模型的基础上建立屋面传热模型。第二步，建立保温效果最佳厚度模型。通过分析屋面传热模型，考虑屋面传热量随外界温度和保温层厚度变化的情况，发现随着保温层厚度的增加，屋面传热量的变化率逐渐减小；当厚度增大到一定程度时，屋面传热量变化趋近于极小值，即此时的厚度不需要再增加。因此利用求导求极值的方法，求解最佳厚度；再通过比较不同材料最佳厚度下节能率的情况，选择材料。第三步，建立经济效益
3、最佳厚度模型。增加保温层厚度会使保温效果增强，但随着厚度的增加，保温材料的资金投入以及增加厚度造成的施工难度加大，施工技术投入增加，也是不得不考虑的。第二步中，主要从传热量随厚度变化规律出发，没有考虑经济因素；在经济效益最佳厚度模型中，我们合理的考虑的经济效益的因素。从保温材料生命周期考虑其综合费用出发，既考虑初次投资费用的多少，同时考虑生命周期内损耗能量价值；通过求屋面生命周期总费用的极限值，得出经济效益最优条件下，屋面保温层的最佳厚度。对于不同的材料优劣的比较，在计算出其最佳厚度的基础上，比较其最少生命周期费用；进一步比较的其节能效率的高低；进一步从节能投资收益的角度出发，比较其相应最佳厚
4、度时的投资节能比。模型结论：材料最佳厚度经济效益最优厚度求解(m)保温效果最优厚度模型求解（m）珍珠岩 0.20 0.25聚氨酯 0.09 0.1聚苯乙烯 0.145 0.15硅酸盐材料 0.15 0.18关键词： 屋面热传导 导热系数 保温材料 经济效益最优 节能一、 问题重述目前，在我国，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，一般由外层、保温层和结构层组成。在北方地区，夏季屋顶表面的最高温度达到摄氏 75 度，而冬季最低温度会降至摄氏零下 40 度。屋面是室内外热量传递的重要途径，而屋面中保温层的材料选择与厚度直接影响着热量的传递情况。为了保持室内有较好的舒适温度和生活环境，人们一般使用采暖或者
5、制冷设备，耗费了大量的能源，其中大部分都与外界交换消耗掉了。在能源紧张的今天，从我国的基本国情出发，减少能源的浪费，减少建筑耗能，显得尤为重要。因此，选择优良的屋面保温材料和适宜的厚度是其中的一种重要手段。二、 基本假设与符号标记 基本假设 室内基本情况假设1. 人们为了维持室内的适宜温度，会采用相应的采暖或制冷等耗能手段。2. 室内保持在适宜温度内，夏季为摄氏 25 度左右，冬季为摄氏 18 度左右。 屋顶基本情况假设1. 一年中，屋顶外表面的温度最高为摄氏 75 度，最低为摄氏零下 40 度，并且随着外界温度变化而改变。2. 屋顶组成结构的各层之间结合平整紧密。3. 屋顶保温材料含水率不因
6、施工条件而不同，根据材料不同可取为相应经验值。 符号说明符号 说明 单位Q传热量 /Js或 Wq热流量 2m导热系数 ()kw材料的含水率 %t材料的温度 在温度 t时的导热系数 (/)0t在温度 0时的导热系数 k 初始温度 含水率为 时的导热系数 (/)Wm0干材料的导热系数 k1K材料含水时的修正系数 /材料的含水率 %t温度差 0常温下的导热系数 (/)WmkS屋面的受热面积 2mQ0不加保温层时能量损失 Jop加最佳厚度保温层后能量损失a保温层单位体积造价 元h保温层厚度 mB1由于保温材料而增加的施工技术投资 元2屋面其他结构层投资费用 元q取暖期内平均温度下的热流量 J制冷期内平
7、均温度下的热流量1D采暖期天数 天2制冷期天数 天nqn 层结构下取暖期内平均温度下的热流量 Jn 层结构下制冷期内平均温度下的热流量1n 层结构下采暖期天数 天2nDn 层结构下制冷期天数 天Q第 年内采暖期内热量损耗 J第 年内制冷期内热量损耗N使用年限 年P单位能量对应的能源价格 元三、 模型建立和分析I. 屋面传热模型 所需概念：传热量：单位时间内，经过一定面积 S 传递的热量。热流量：单位时间内，单位面积上传递的热量。 模型简介：根据热力学原理，在傅立叶定律的基础上，建立热传导模型；传热量的大小受温度差，保温材料导热系数和厚度的影响；保温层厚度增加，保温效果也增强。由于屋面由多层材料
8、组成，首先针对单层材料建立热传导模型，再在单层模型的基础上建立多层材料屋面模型，实现对屋面结构热传导量的计算。 模型建立导热的基本定律傅立叶定律：单位时间、单位面积上通过的热量与温度梯度成正比。热流量：QdtqSh（1）其中;Q传热量，单位为 /Js或 Wq热流量，单位为 2m导热系数，负号表示热流方向与温度梯度方向相反1. 导热系数讨论： 所需概念：导热系数：导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为 1，在 1 小时内，通过 1 平方米面积传递的热量。用表示，是衡量材料导热能力的主要指标，表示材料导热能力的大小。材料的导热系数越大，导热能力越强，保温效果越差。 影响导热
9、系数的因素：材料的导热系数不仅与构成材料的物质种类密切相关，而且还与它的微观结构、温度、压力及含水率有关。 基本分析： 材料的固有属性（物质种类、微观机构）比较稳定； 材料的导热能力受环境的影响主要是温度、压力和含水率的变化； 在屋面结构中，压力也是稳定的；因此，屋面模型中重点分析温度与含水率的变化对导热系数的影响，如下：导热系数：(,)ft （2） 其中:材料的含水率t材料的温度1) 温度对导热系数的影响：材料的导热系数随着温度的增高而增大。这是由于温度增高时，分子热运动加剧，孔隙的辐射热也增强，促成材料导热系数增大，保温效果随之变差。对于一般建筑材料，可近似地认为温度和导热系数呈线性函数关
10、系：00()ttKt （3）其中： t在温度时的导热系数，单位为 (/)Wmk0在温度时的导热系数，一般取常温摄氏 20 度下的导热系数K系数，对于一般材料， 0.14K0t初始温度，一般取常温摄氏 20以珍珠岩保温层材料为例，导热系数随温度变化情况如下图所示：图 1 温度对导热系数的影响2) 含水率对导热系数的影响材料的导热系数随含水率的增大而增大。由于水分的渗入，使材料传热过程中附加了水蒸气的扩散热量和液态水所传导的热量，从而导热系数增大，保温效果随之变差。对于一般建筑材料，可近似地认为温度和导热系数呈线性函数关系： 01wK （4）其中： 含水率为时的导热系数，单位0干材料的导热系数，单
11、位1K材料含水时的修正系数，取近似值=0.005材料的含水率，取标准值为 4.0%综合（3）式和（4）式，当温度为 t 时，含水率为 时，材料的导热系数为：001(,)()tfwtKt （5）2. 单层材料热传导模型如下为单层材料热传导模型图示：图 2 单层材料热传导模型如图，对于稳定的单层材料，四围侧壁的导热量很小，可以忽略不计。设受热面积为 S，厚度为 h，取一薄层 dh。由于 很薄,温度的变化 dt很小，该薄层内温度变化可忽略，对应薄层内的导热系数 也不变。将（5）式代入（1）式，可得：001()t dtqKth（6）将上式分离变量并做积分：21021 01()httqdtKdt（7）
12、化简可得： 220 1121()|tttqh（8）单层材料传递的总热量： 0 21121()()QtSKtKtqh（9）其中：h屋顶厚度,单位为 mt温度差，单位为导热系数0t常温下的导热系数S屋面的受热面积3. 多层材料热传导模型如下为在单层材料热传导模型的基础上，得出的多层材料热传导模型图示：图 3 多层材料热传导模型如图，以三层材料为例：各层的厚度分别为 1h， 2和 ，层与层之间接触良好（基本假设） ，稳定传热过程中，相接触的两表面温度相同，各表面温度分别为 4t， 3， 2t， 1，4321tt，在稳定导热时，通过各层的导热速率相等，也就是热流量相等，即：321qq （10）由（8）
13、式可得：01 21121()()tKtKth02 211323t ttq03 2114343()()tKtKtqh（11）其中： 01t， 02t， 03t分别是三层材料在常温下各自的导热系数；将（11）的三式相加整理可得： 010203 2123410441123()()()()()tttKttKtqh（12）对 n 层面导热速率方程可表示为：01020 212311012()().()()().ntt t nnnttttqh（13）令 012021341(,),.,.nttt ntgtt（14）式（13）可化简为： 211011(,)()nnlgtKttKtqh（15）n层面传热总量： 2
14、11011(,)()nnlgttttQqSh（16）4. 屋面传热模型屋面结构如下图所示：图 4 屋顶层次结构图应用多层材料导热模型，即取 7n时，由式（16）得屋面传热量：07 218111088127()()()().ntttKtKtQSh（17）II. 保温效果最优厚度模型 模型简介：在以上屋面传热模型中，随着保温层厚度的增加，传热量会减小；但当保温层厚度到达一定值以后，继续增加保温层的厚度，传热量的变化很小（如下图） ，在不考虑经济因素下，选取此时的厚度为最优；即通过求导法，计算保温层最佳厚度。对于不同材料的比较选择，先计算其最优厚度，再比较其相应最佳厚度下节能的效率。在式（17）中，
15、对保温层厚度 3h求导：07 218111088123247()()()().ntnttKtKth（18）传热量随厚度变化情况如下：图 5 保温层的厚度对传热量的影响画错了一般情况下，保温层的导热系数越小，保温能力越强，达到最优厚度时的厚度也越小。节能效率： Qr0op（19）其中：Q0不加保温层时能量损失op加最佳厚度保温层后能量损失III. 经济效益最优厚度模型 模型简介：随着屋面保温层厚度的增加，建筑物的损失能耗会随之下降，因而可以节约能源的使用，但同时会增加整个屋面的投资费用，不仅保温材料费用会有增加，整个屋面的施工费用也会迅速上升。从屋面整个生命周期（使用年限内）费用的角度出发既考虑
16、初次投资费用的多少，同时考虑生命周期内损耗能量价值；通过求屋面生命周期总费用的极限值，求解屋面保温层的最佳厚度。对于不同的材料优劣的比较，在计算出其最佳厚度的基础上，比较其最少生命周期费用；进一步比较的其节能效率的高低；进一步从节能投资收益的角度出发，比较其相应最佳厚度时的投资节能比。费用随保温层厚度变化情况如下图：图 6 保温层对费用的影响 模型建立：屋面生命周期内的费用包括两部分：1. 屋面初次投资费用的计算初次投资费用： 12BahSb（20）其中： a 保温层单位体积造价h 保温层厚度S 屋面的面积1b 由于保温材料而增加的施工技术投资2 屋面其他结构层投资费用2. 屋面能耗费用的计算
17、基本思想：一年内屋面能耗损失分为两种情况：冬季，屋面外表面温度低于室内温度，室内通过屋面损失的热量需要屋内的取暖设备来补充；夏季，屋面外表面温度高于室内温度，室内由屋面传导进来的热量需要制冷设备来转化，也会有能源的消耗。模型中将能源的消耗转化为费用的消耗。随着时间的推移，由于保温材料性能、含水率等各种参数的变化，导致保温材料的导热系数在变化（如下图） ，因此在模型中考虑每年导热系数的变化，即在计算生命周期内能量损耗时考虑导热系数的年变化情况，对能量损耗进行一定的修正。导热系数年变化曲线：图 7 导热系数随年份的变化冬季采暖能源损耗： 124QqDS（21）夏季制冷能源损耗： 2 （22）其中：
18、 1q取暖期内平均温度下的热流量2制冷期内平均温度下的热流量1D采暖期天数2制冷期天数屋面生命周期内能源损耗值：12NnnQ（23）其中： 1nQ第 年内采暖期内热量损耗2第 年内制冷期内热量损耗N使用年限损耗能源价值： 2nBQP（24）其中：P单位能量对应的能源价格生命周期总费用：12VB （25）综合得生命总费用： 1212(44)NnnVahSbKqDSqS（26）其中： 1nq取暖期内平均温度下的热流量2制冷期内平均温度下的热流量1nD采暖期天数2制冷期天数投资节能比： 1BwQ（27）四、 结果与分析 模型求解结果如下表：表 2 保温效果最佳厚度模型求解结果材料 最佳厚度 未加保温
19、层热能损耗 最佳保温层热能损耗 节能率珍珠岩 0.25 125.3012.04863.0%聚氨酯 0.1 63.0%聚苯乙烯 0.15 958.6%硅酸盐材料 0.18 1212661.2%表 3 经济效益最佳厚度模型求解结果材料 最佳厚度 材料投资未加保温层热能损耗最佳保温层热能损耗节能率投资节能比最少费用节省能源费用珍珠岩 0.20 40907.04125.3012.746049.6% 68.3% 99960 59870聚氨酯 0.09 29340.64 554.7% 45.1% 83210 65053聚苯乙烯 0.145 40260.6412. 12.9856.7% 62.3% 9182
20、9 64577硅酸盐材料0.15 39380.64 125.3012.7050.1% 64.9% 97659 60645 求解结果：1、珍珠岩保温层的厚度应该取在保温效果最佳厚度和经济效益最佳厚度之间：0.20m-0.25m.2、通过比较，聚氨酯节能率最高，并且生命周期费用也最低，是最合适的替换材料，厚度为：0.09m-0.1m. 结果分析 保温效果最佳厚度模型结果分析：在题目中，由于考虑的是平均温度，冬季的温差比夏季的温差大，所以传热量也就相对大。统一将传热量方向看作由室外向室内传递，因而冬季的传热量为负值。1、根据（18）式，对保温效果最佳厚度模型求解。对于珍珠岩保温材料，单位时间（s）内
21、传热量随厚度与温度变化关系如下图所示：图 8 温度与保温层厚度对散热量的影响在图像中，可以看出，在保温层厚度为 0，即屋面没有保温层的时候，屋面的传热量达到最大值。加入保温层以后，传热量随着保温层厚度的增加而减小，当保温层厚度达到一定值的时候，传热量变化曲面趋于平面，也就是说继续增加保温层厚度，对传热量的变化影响很小，保温层的保温最佳厚度应当选取此时的厚度。2、对不同的材料的分析：为了直观的反应出不同材料下，传热量随厚度的变化。我们选取-25 摄氏度和 60 摄氏度两个温度下，对四种不同保温材料材料厚度对传热量的影响进行计算，所得结果如下图所示：图 9 各种不同的保温材料在 60和-25 时的
22、变化曲线图像表明，四种材料的传热量随厚度的变化规律基本是一致的，达到一定厚度时，传热量的变化程度会变得很小。由于四种材料的导热系数不同，因而最优厚度也不相同，在节能率相同的情况下，聚氨酯的厚度最小经济效益最优厚度模型结果分析四种材料的总费用随着厚度的变化情况如下图所示：屋面的生命周期总费用包括能源消耗费用和投资费用，能源费用和保温层厚度成反比关系，而投资费用和保温层厚度成正比关系，因此生命周期总费用存在一个最小值。在图像中，对于四种不同的保温材料，屋面的生命周期总费用都有一个最小值，对应的保温层厚度就是经济效益最优厚度。小于最优厚度时，能源消耗的费用对总费用的影响大于投资费用的影响，大于最优厚
23、度时，投资费用对总费用的影响则大于能源消耗费用的影响。经济效益最优厚度比保温效果最佳厚度要小。因为加入了对经济因素的考虑，保温层厚度受到投资费用的限制，不能达到保温效果最佳厚度。由图像可以看出，聚氨酯的生命周期费用最小值能够节约最多的费用常量取值：表 4 屋面各层基本性质参数材料名称 导热系数 (/)Wmk厚度(cm)涂料 0.25 0.1水泥砂浆 0.93 5.5楼板（钢筋混凝土结构） 1.706 20珍珠岩保温层 0.074 待求三毡四油防水材料 0.17 1表 5 北京市相关气象参数采暖期天数 采暖期平均温度 制冷期天数 制冷期平均温度126 天 31.4 92 天 -1.6表 6 其他
24、一些经验值常量参数名称 参数取值导热系数受温度影响修正系数 0.00014导热系数受含水率影响修正系数 0.005屋面选取面积（） 80能源价值（元/J） 91.075表 7材料名称 导热系数 W/mK（ ） 吸水率 单价 3（ 元 /m） 适宜温度（） 耐久性 施工难度硅酸盐材料 0.034-0.037 大 500 300 差 容易水泥膨胀珍珠岩 0.070.078 中 118 600 好 容易聚氨酯 0.023 3% 1150 -140120 好 容易聚苯乙烯 0.033 1.5 1420 90 好 容易五、 模型展望1. 对导热系数的考虑方面，我们分析模型的基本情况仅考虑温度和含水率对导
25、热系数的影响，但其它因素微弱的变化也会引起求解的误差。2. 材料间接触热阻。我们在多层材料导热模型中假设层间接触紧密平整，不考虑材料间的接触热阻，而接触热阻由于施工条件的不同会有所差异，因此计算出的结果偏大。3. 其它围护结构的影响。我们假设室内的温度保持在适宜的稳定状态，从而避免开其它围护结构的影响，但室内温度的变化是受整体围护结构的影响，因此有可能影响模型求解结果。4. 对采暖和制冷设备的考虑。一天内，由于温度变化情况，导致保暖设备和制冷设备不是一直持续工作的，因此计算其耗能情况不太准确。5. 计算耗能费用时采用采暖期和制冷期的平均温度。平均温度反应了采暖期和制冷器的耗能情况，但采用平均的
26、方式不能完全准确的计算其一年内的能量损耗情况。6. 保温层材料对施工的影响。经济模型中，虽然在保温层材料初次资金投入计算时，添加了由于保温材料的添加以及厚度变化，带来的工程技术难度增大，技术投入增加。但是并不能准确的计算其影响，只是根据材料的物理性质，依靠经验值。参考文献1 张 蔺 屋面保温层的适宜厚度 四川建筑 2006.82 陈 凡，谭大路 节能建筑外墙最佳保温层厚度探讨及效益评估 新型建筑材料 2007.23 吴国振 影响保温工程热损失的因素分析 节能技术 1999.9 4 孙无二 建筑材料导热系数的回归计算 低温建筑技术 1994.35 王教方，岳贤军，宋淑珍等 多层复合材料导热系数测定方法的研究 山东建材学院学报 2000.96 崔其山 综合导热系数及其计算 石油化工设备 2004.117 施光燕，董加礼 最优化方法 高等教育出版社 1999.9
