1、二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数2 (0)yaxbca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x取任意实数时的最值情况(当 0a时，函数在 2xa处取得最小值24ca，无最大值；当 0a时，函数在 2bx处取得最大值4cb，无最小值方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量 x在某个范围内取值时，函数的最值问题
2、同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用【例 1】已知二次函数 2yxm的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程20xm的解为 分析：因为二次方程 20xm的根为二次函数 2yxm的图象与 x 轴交点横坐标。根据已知条件 2yx ，可知抛物线的对称轴为直线 1；根据图象可知抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标为 3，所以利用抛物线的对称性知抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标为1，因此，方程 20x的解为 3 和1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。【例 2】 二次函数 2(0yaxbcabc， ， ， 是常数 )中，自变量 x与函数 y
3、的对应值如下表： x12121 322 53y2141 742741 42（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标（2）一元二次方程 20(axbcabc， ， ， 是常数 )的两个根 12x， 的取值范围是下列选项中的哪一个 1230， 125xx， 52x， 3，分析：本题以表格的形式给出二次函数 2yabc的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与 1x等距离的 x 对应的函数值相等，所以直线 1x是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2） ；观察表格发现：当 时，y 随着 x 的
4、增大而减小，当 x时，y 随着 x 的增大而增大，所以抛物线的开口向下。 （2）一元二次方程0(abcabc， ， ，是常数 )的根即为抛物线 abc与 x 轴交点的横坐标，观察表格发现： 12与 0 之间一定有一个 x 的值，使 2y0；2 与52之间一定有一个 x 的值，使 2yaxc0，所以 2xc的两根 12x， 的取值范围是 1250， ，故答案为【例 3】已知函数 yaxbc的图象如图所示，那么关于 x的方程20axbc的根的情况是（ ）A无实数根 B有两个相等实数根C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于 x的方程 20abxc的根的情
5、况，因为 20axbc可化为 2axbc，即 2y，所以，方程的根即为抛物线与直线 y2 的交点横坐标，作直线 y2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为 D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。【例 4】二次函数 2(0)yaxbc的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程 的两个根 （2）写出不等式 2xc的解集 （3）写出 y随 的增大而减小的自变量 x的取值范围 （4）若方程 2abk有两个不相等的实数根，求 k的取值范围 分析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程 20a
6、xbc的根即抛物线 2(0)yaxbc与 x 轴交点的横坐标，观察图象得方程 的两根为 1， 23；（2）不等式 2xc的解集即抛物线 ()yxca位于 x 轴上方的那一段的 x 的范围，观察图象得不等式 20axbc的解集为 13；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为 2x，结合图象得对称轴右边y随 的增大而减小，所以 ；（4）方程 2axbck的解为抛物线 2(0)yabc与直线 yk的交点，所以当 k时，抛物线与直线有两个交点，即方程 x有两个不相等的实数根的 的取值范围是 k。【例 5】当 2x时，求函数 23y的最大值和最小值分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图
7、，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x的值 解：作出函数的图象当 1x时， min4y，当 2时， max5yxy32142O【例 6】当 12x时，求函数 21yx的最大值和最小值解：作出函数的图象当 时， min，当 2x时， max5y由上述两例可以看到，二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【例 7】当 0x时，求函数 (2)yx的取值范围解：作出函数 ()在 0内的
8、图象可以看出：当 1x时， min1y，无最大值所以，当 0时，函数的取值范围是 y【例 8】当 tx时，求函数 25x的最小值(其中 t为常数)分析：由于 所给的范围随着 t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数 215yx的对称轴为 1x画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即 t时： 当 t时， 2min15yt；(2) 当对称轴在所给范围之间即 0时：当 1x时， 2min513y；(3) 当对称轴在所给范围右侧即 tt时：当 t时， 22in 1()()3t综上所述：2213,05,1tytt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 9】某商场以
9、每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件) 与每件的销售价 x(元)满足一次函数 1623,054mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件销售价 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 (30)x元，那么 m件的销售利润为 ym，又 162x2 (30)162)548,54yxxx(2) 由(1)知对称轴为 4，位于 的范围内，另抛物线开口向下当 4时， 2max36032y当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为
10、432 元课后自我检测A 组1抛物线 2(4)23yxmx，当 m _ 时，图象的顶点在 y轴上；当m _ 时，图象的顶点在 轴上；当 _ 时，图象过原点2用一长度为 l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值：(1) 245yx； (2) (1)2yx4求二次函数 3x在 2x上的最大值和最小值，并求对应的 x的值5对于函数 2y，当 0时，求 y的取值范围6求函数 5x的最大值和最小值7已知关于 的函数 22(1)ytxt，当 t取何值时， y的最小值为 0？8若不等式 02cbx的解为1 x 2，则 _， _ 9当直线 ya在两点 P(1,1),
11、Q(2,1)之间通过时，求实数 ba,满足的关系式_ 10二次方程 2()0xa,有一个根比 大, 另一个根比 1小,则 的取值范围是 11已知函数 2()ybc的图象经过点 (1,3)和 (,两点,若 0c,则a的取值范围是 12.若方程 05)(2mxx只有正根，则 m的取值范围是 B 组1已知关于 x的函数 2yxa在 5x上(1) 当 1a时，求函数的最大值和最小值；(2) 当 为实数时，求函数的最大值2函数 23yx在 0mx上的最大值为 3，最小值为 2，求 m的取值范围3设 0a，当 1x时，函数 21yxab的最小值是 4，最大值是 0，求,b的值4已知函数 2yxa在 12x
12、上的最大值为 4，求 a的值5求关于 的二次函数 2t在 1上的最大值( t为常数) 6已知关于 的不等式 0x对 R恒成立，则 的取值范围是_ 7.不等式 2()()4ax对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 8一元二次不等式 b的解是 123，则 b的值是 课后自我检测参考答案A 组14 14 或 2， 32 6lm3(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 94，无最小值4当 x时， min18y；当 2x时， max1y5 y6当 x时， min36y；当 2x或 1 时， max3y7当 54t时， in0略B 组1(1) 当 x时， min1y；当 5x时， max37y(2) 当 0a时， ax270；当 时， 210a2 3 ,b4 1a或 5当 0t时， max2yt，此时 1x；当 0t时， max2yt，此时 1x略
