1、1一、观察物体(三)1、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。2、知道一个方向的平面图，可以摆出多种立体图形。3、知道三个方向的平面图，只能摆出一种立体图形。二、因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12 是 6 的倍数，6 是 12 的因数。（1）ab=c(a 、b、c 都是整数 )，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限
2、的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。（4）2、3、5 的倍数特征a、 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。b、一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。C、个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。d、能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、5 的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是 120。 同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 235=30的倍数。e、如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被
3、2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。偶数：能被 2 整除的数叫偶数（0 也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、 8 的数。最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 关系： 奇数 偶数=奇数 奇数 奇数=偶数 偶数偶数=偶数。5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类.质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。0：最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合
4、数。220 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数6、最大、最小A 的最小因数是：1； 最小的奇数是： 1；A 的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；A 的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30 分解质因数是
5、：（30=235）8、互质数：公因数只有 1 的两个非零自然数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 和 7两个合数的互质数：8 和 9一质一合的互质数：7 和 8两数互质的特殊情况：1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两个质数一定互质；2 和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质；三 长方体和正方体 1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体特点：（1）有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。（2）一个长方
6、体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体特点：（1）正方体有 12 条棱，它们的长度都相等。（2）正方体有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 不同点相同点 面 棱长方体 都有 6 个面，12 条棱，6 个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形） 。相对的棱的长度都相等3正方体 8 个顶点。 6 个面都是正方形。 12 条棱都相等。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+
7、宽+高）4长4+宽4+高4 L=（abh）4 长=棱长总和4宽 高 a=L4bh宽=棱长总和4长 高 b=L4ah高=棱长总和4长 宽 h=L4ab正方体的棱长总和=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总和12 a=L124、长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 S=2（abahbh）无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长高宽高）2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab无底又无盖长方体表面积=（长高宽高）2 S=2（ahbh） 贴墙纸正方体的表面积=棱长棱长6 S=aa6 用字母表示： S= 6a 2生活实际：油箱、罐头盒等都是
8、6 个面游泳池、鱼缸等都只有 5 个面水管、烟囱等都只有 4 个面。注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。 （表面积相应增加）注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h=Vab正方体的体积=棱长棱长棱长 V=aaa = a3读作“a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 aaa）长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积=底面积高 用
9、字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高） 。注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。常用的容积单位有升和毫升也可以写成 L 和 ml。 1 升=1 立方分米 1 毫升=1 立方厘米 1 升=1000 毫升4（1 L = 1 dm 3 1 ml = 1 cm3）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 （所以，对于同一个物体，体积大于容积。 ）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数
10、的立方倍。（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V 物体 =V 现在V 原来也可以 V 物体 =S(h 现在- h 原来) V 物体 =Sh 升高7、 【 体积单位换算】 高级单位 低级单位低级单位 高级单位进率：1 立方米=1000 立方分米=1000000 立方厘米 （立方相邻单位进率 1000）1 立方分米=1000 立方厘米=1 升=1000 毫升1 立方厘米=1 毫升1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米注 意
11、： 长 方 体 与 正 方 体 关 系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。【 单位换算】 高级单位 低级单位低级单位 高级单位长度单位：1 千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 1 分米=100 毫米 1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米 （相邻单位进率 10）面积单位：1 平方千米=100 公顷 1 平方米=100 平方分米1 平方分米=100 平方厘米 1 公顷=10000 平方米 （平方相邻单位进率100）质量单位：1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 人 民 币：1 元=10 角 1 角=10 分
12、1 元=100 分四 分 数 的 意 义 和 性 质 1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”：一个整体可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1” 。（把一群羊平均分成若干份，一群羊就是单位“1” 。 ）3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。进率进率进率进率5如 的分数单位是 45 154、分数与除法AB= （B0，除数不能为 0，分母也不能够为 0） 例如： 45=AB 455、真分数和假分数、带分数1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。2、假分数：分
13、子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数13、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数1.4、真分数1假分数 真分数1带分数6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子，如：（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 。（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变（4）1 等于任何分子和分母相同的分数。7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。8、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数
14、或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。9、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 10、求最大公因数和最小公倍数方法6用 12 和
15、 16 来举例（1） 、求法一：（列举求同法）（2） 、求法二：（分解质因数法）（3） 、求法三：（短除法）11、最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。12、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如： =24304513、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：和 可以化成 和25 14 820 52014、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小数，分母是100 （2）分数
16、化为小数：方法一：把分数化为分母是 10、100、1000方法二：用分子分母 （3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 12、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。分数比较大小的一般方法： 同分母比较；同分子比较；通分后比较；化成小数比较；仿通分比较13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。14、两个数互质的特殊判断方法： 1 和任何大于 1 的自然数互质。 2 和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。7 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下）
17、，一般情况下这两个数也都是互质数。15、求最大公因数的方法： 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 互质关系： 最大公因数就是 1 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。16、 分 数 知 识 图 解 ：分 数 的 意 义 分 数 与 意 义 ： 把 单 位 1 平 均 分 成 几 份 ， 表 示 其 中 的 一 份 或 几 份分 数 与 除 法 ： 分 子 （ 被 除 数 ） ， 分 母 （ 除 数 ） ， 分 数 值 （ 商 ）。真 分 数 真 分 数 小 于 1真 分 数 与 假 分 数 假 分 数 假 分 数 大 于 1 或 等 于 1带 分 数 （ 整 数 部 分 和
18、真 分 数 ）假 分 数 化 带 分 数 、 整 数 （ 分 子 除 以 分 母 ， 商 作 整 数 部 分 ， 余 数 作 分子 ）分 数 的 基 本 性 质 ： 分 数 的 分 子 、 分 母 同 时 扩 大 或 缩 小 相 同 的 倍 数 ， 分 数 的 基 本 性 质 分 数 的 大 小 不 变 。通 分 、 通 分 子 ： 化 成 分 母 不 同 ， 大 小 不 变 的 分 数 （ 通 分 ）最 大 公 因 数约 分 求 最 大 公 因 数 (短除法)最 简 分 数 分 子 分 母 互 质 的 分 数 （ 最 简 真 分 数 、 最 简 假 分 数 ）约 分 及 其 方 法最 小 公
19、 倍 数通 分 求 最 小 公 倍 数 (短除法)分 数 比 大 小 （ 通 分 、 同 分 子 、 化 成 小 数 、 仿 通 分 ）通 分 及 其 方 法小 数 化 分 数 小 数 化 成 分 母 是 10、 100、 1000 的 分 数 再 化 简分 数 和 小 数 的 互 化 分 数 化 小 数 分 子 除 以 分 母 ， 除 不 尽 的 取 近 似 值六 分 数 的 加 法 和 减 法（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分8子 1、 分 数 数 的 加 法 和 减 法 相 加 减（ 2） 异 分 母 分 数 加 、 减 法 （ 通 分 后 再 加减 ）（ 3） 分 数 加 减
20、混 合 运 算 ： 同 整 数 。（ 4） 结果要是最简分数2、 带 分 数 加 减 法 : 带 分 数 相 加 减 ， 整 数 部 分 和 分 数 部 分 分 别 相 加 减 ， 再 把 所得 的 结 果 合 并 起 来 。（一）同分母分数加、减法1、同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。（二）异分母分数加、减法1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。（三）分数加减混合运算1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式
21、中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。打电话：规律人人不闲着，每人都在传。 （技巧：已知人数依次 2）打电话问题 时间（分钟） 通知到的人数1 12 33 74 155 316 63 下一分钟通知到的人数=上一分钟通知的人数2+1七 折线统计图统计图：我们学过条形统计图、折线统计图(复试折线统计图) 条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。八 数学广角找次品9用天平找次品规律：1、把所有物品尽可能平均地分成 3 份， （如余 1 则放入到最后一份中；如余
22、 2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。2、数目与测试的次数的关系： 23 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次49 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次1027 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次2881 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 4 次82243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次244729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次3、找次品规律1 2 3 4 5 次数3 33 333 3333 33333 3 9 27 81 243 次品个数长度单位换算 （km m dm cm mm） 1 千米=1000 米 1
23、 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米=10毫米面积单位换算 （ km m dm cm mm）1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米 体(容)积单位换算 （ L mL m dm cm）1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 升=1000 毫升1 立方米=1000 升 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升 质量单位换算 （ t k ）1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤 人民币单位换算 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分 时间单位换算 （ h min s）1 世纪=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:135781012 月 小月(30 天)的有:46911 月 平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天, 闰年全年 366 天 1 日=24 小时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒
