探究数学期望在现实生活中的应用.doc

1、探究数学期望在现实生活中的应用姓名 陈尚烘 指导教师 史瑞东（吕梁高级实验中学理科 1415 班 山西 离石 033000） 摘要 数学在生活中无处不在,用数学的眼光去观察生活，我们将会发现数学在生活中的奥秘。关键词 随机变量 概率分布 数学期望 医疗卫生 经济 生活 决策 应用一、走进生活 用数学的眼光去观察生活。数学在生活中无处不在 用数学的眼光去观察生活 我们会发现数学在生活中的 应用很广泛。生活是数学教学的最好课堂 如银行的存储利息的计算都要用到生 活知识的计算。学生应该走进生活 用数学的眼光去观察我们的生活。二、生活知识融入数学 更好地学习1、展示生活 了解数学随着课改的不断深入 数

2、学知识生活化是数学学习的一种方式。让数学知识走进 学生生活 让学生感悟到数学是现实的、是有用的。2、创设生活情景 培养学生的数学兴趣生活中充满了数学 数学就在我们的周围 为了能培养学生的数学兴趣 让学生 学习数学 可从有目的的 合理地创设出一些贴近学生生活实际的问题情境 把 生活中的实际问题抽象成有兴趣的数学问题 只要引起学生的兴趣 就会大大增 加学生的求知欲 学生就会主动地去开启智慧之门。3、分析解决数学问题 融入生活知识分析数学问题的时候 例如一些复杂抽象的问题 学生难免会遇到各种的困难 在理解和转换上不知如何操作 为了更好地帮助学生分析解决 就必须在教学过 程中引入生活实例 通过实例 让

3、学生更好、更容易地去理解和接受 认识问题 的解决方法。三、数学知识用于生活 使学生了解生活实际1、运用数学知识了解生活实际问题以往的数学教学往往比较重视解题的问题 却没有联系生活很多学生只会书本 的知识 却对生活知识一无所知 其实不然 只要我们用数学知识去了解生活 其实生活是很简单的。呆板地应用数学知识去解决现实中的各种问题 过分强调 思维训练 学生虽然能熟练地掌握各种题目的解题智能、技巧 但一碰到实际生 活却显得不知所措。在大力推行素质教育的今天 有必要让学生在数学应用中, 在生活实践中使知识得以验证,得以完善。2、体验生活 强化数学知识的运用。生活中存在着很多问题 在我们体验生活的过程中

4、需要将自己所学的知识进行 运用 在运用的过程中去强化。数学来源于实际生活 生活中充满着数学 我们 要在生活中不断地去学习和强化。四、开展数学实践活动 拓展数学视野1、回归生活 解决生活问题数学源于生活 同时又服务于生活。在解决数学问题的过程中 要以生活为起点 以生活为终点 从生活实际出发学数学 回归生活用数学。联系学生的生活实际为他们提供更多的实践机会,使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习解决 数学问题、理解数学问题 进而应用数学问题 体会数学的无穷魅力。2、发现问题 积极探索学生自己发现问题 是引出探索问题的一个极好途径。学生发现问题 需要教师 创设问题情境 使学生在问题情境中建立猜想学

5、生验证自己猜想的过程就是探 索。如在教学“三角形内角和”时 先布置学生画一个任意三角形 量出其中两 个角的度数 老师猜出第三个角的度数。学生不信 一量果然如此。这个活动使 学生建立猜想“ 三角形内角和难道是 1800 吗” 激发了学生去验证问题 学 生会从不同角度去积极探索 促进了思维的发展。3、思维发展 开拓创新学生在探索知识形成过程 要不断的发展思维和开拓创新思想 培养学生的想象 力和创造精神是实施创新教育中最为重要的一步。教师要启迪学生创造性学 标 新立异 打破常规 克服思维定势的干扰 善于找出新规律 运用新方法。激发 学生大胆探讨问题 增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。五 数学在生

6、活中的实际应用在现实生活中 我们常常需要研究各种各样的随机变量。对于一个随机变量 如果 掌握了它的概率分布 当然就可以对它进行全面的分析 但是在实际问题中要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事。有时甚至不可能 而有些实际问题 我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布 而只要知道它的某些数字特征就 够了 因此并不需要求出它的分布函数。这些特征就是随机变量的数字特征 是随机变量的分布所决定的常数 刻画了随机变量某一方面的性质。例如比较不同班级 的某次统考的成绩 通常就是比较各班的平均分 考察某种大批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命 评定某地区粮食产量的水平时 经常考虑平均 亩

7、产量 对一射手进行技术评定时 经常考察射击命中环数的平均值 检查一批棉花的质量时 关心的是棉花纤维的平均长度等数学作为一门自然学科，其形成发展的过程就是为解决生活中面临的问题而逐步发展完善的过程。在日常生活中无处不体现着数学的奥妙，数 学发挥着至关重要的作用。数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识 中所蕴含的数学思想方法以及数学在现实生活中的应用。数学源于现实， 用于现实。把所学的知识应用到生活中去，是学习数学的最终目的。本文 首先概述了数学的三大特点。其次，应用数学最优化、不等式、函数(一 元一次函数，三角函数，二次函数)、统计、概率 5 大知识点，通过分析， 列举生活中的实例，逐一讨论了

8、数学在生活中的具体的完美应用。 关键词:数学，生活，应用 11 八、结束语 14 参考文献 数学知识在实际中的应用，体现了数学问题生活化。陶行知说:“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育。 ”众所周知，一直以来，数 学知识即源于生活而又最终服务于生活。如果学习数学只是为了完成学习 任务，进行数学考试，成为名副其实的应试教育。这样的数学欠缺了鲜活 有趣的具有“现实意义”的问题，使数学知识与现实生活脱离了关系，继 而也失去了学习数学的重要意义，学生也会渐渐失去学习的兴趣。我们应 该观察生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系。数学教学的终极 目标是让学生能应用所学的数学知识、数学思维、数学

9、方法去观察、分析 现实生活，从而解决日常生活中的实际问题、体现数学的意义与价值。 进入 21 世纪后，更加突出了数学作为一种实用的技术或工具这一特 点，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。随着数学的 发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和人 文领域。 二、数学的特点 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学是人类社会进 步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明，与人类文化 有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中，一直在文化层面上发 挥着重要的作用。随着现代科学技术和数学科学的发展，数学的三大特点 表现的更为突出。 (一)高度的抽象

10、性 任何学科都具有抽象性，只是数学学科与其他学科相比较，抽象程度更高。数学 的抽象性只保留了量的关系而舍弃一切质的特点;只保留了一定的形式、结构，而舍 弃内容。这样，就得到纯粹状态下的以抽象形式出现的量与量的关系，成为一种思想 材料的符号化、形式化抽象，这是一种极度抽象。(二) 严谨的逻辑性 数学要求逻辑上无懈可击，结论要精确，一般称之为数学具有严谨的 逻辑性。虽然在探索数学真理的过程中合情推理起着重要作用，然而数学 真理的确认使用的是逻辑演绎的方法，这是由数学研究的对象和数学的本 质属性所决定的。 (三)广泛的应用性 数学广泛的应用性是由数学高度抽象性和严谨的逻辑性决定的。近半个世纪以来，数

11、学更加成功地运用于经济、管理、通讯、资源开发和环境 保护、文化、艺术与法律等领域。 三、探讨数学最优化问题在现实生活中的应用 (一)什么是数学最优化问题 现如今最优化问题备受关注， 已渗透到生产、管理、商业、军事、决 策等各领域。以学术用语来说，最优化问题:是指在实际生产、现实生活 和科学研究中，通过适当的规划安排，使完成一件事所用的费用最少、路 线最短、效益最大、产值最高、容积最大等等。通俗点说，就是寻求最佳 方案，用最短的时间， 做最有用的功，走一条最简便、最高效率的路。 (二) 应用图解法来进行解题例如 :酒店管理系插花班需要百合和玫瑰，校园的花匠在 90 m2 室中培育它们.百合每株苗

12、价为 2.5 元，玫瑰为 2 元，花匠有资金 5000 插花班对百合收购价为 4 元，玫瑰为 3 400 株，玫瑰 800 1200 株。由于百合与玫瑰生长所需采光条件的不同， 每株百合大约占地 株,玫瑰 y 株,花匠获利最大 则有 5000 9003 14001100 1200800 1.51200+1000=2800 所以，当种百合为 1200 株,玫瑰 1000 株时，花匠获利最大 总之，最优化问题具有很强的应用性，如需求函数、供给函数、消费 函数、生产函数、投资函数等等在生活中均得到广泛应用。通过运用数学 方法解决生活问题，实现方法最优化，计划最优化，过程最优化，结果最 优化等等。所谓

13、教育服务于社会，在数学最优化问题上足以体现教育的重 要，所以，教育者在今后的教学中，尽可能的发挥主观能动性，让学生得 到充足的实践机会，这样，才能将所学知识更好的运用于生活。为企业决 策和经营起到辅佐作用，为社会输送具备实践能力的人才 四、不等式的在现实生活中的应用日常生活中常用的不等式有:一元一次不等式、一元二次不等式和平 均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙， 而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用 例 1:某园林部门决定利用现有的 349 盆甲种花卉和 295 盆乙种花卉搭 两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个 A 造型需甲种花卉

14、8 盆，乙种花卉 4 盆;搭配一个 B 种造型需甲种花卉 5 (l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来; (2)若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本 是360 元，试说明(1)中哪种方案成本最低，最低成本是多少元? 解:(1)设搭配 A 种造型 x 依题意得 295 解这个不等式组得:33 31 可取31，32，33，可设计三种搭配方案 种园艺造型 31 (2)方法一: 由于 B种造型的造价成本高于 A 种造型成本.所以 B 种造型 越少，成本越低， 故应选择方案，成本最低，最低成本为 33

15、200+17360=12720(元)，方法二:方案需成本 31200+19360=13040(元); 方案需成本32200+18360=12880(元); 方案需成本 33200+17360=12720(元)， 应选择方案，成本最低，最低成本为 12720 例 2:有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说:“一半学生在学数学，四分之一的学生在学英语，七分之一的学生在学音乐，还剩不足 六位同学在操场上踢足球.”试问这个班有多少学生. 解:设该班有 答:这个班有 28 个学生 五、函数的在现实生活中的应用 我们所学过的函数有:一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无 理函数、幂、指、对数函数及

16、分段函数等八种。这些函数从不同角度反映 了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实 践及生活实际密切相关的。 (一) 一元一次函数的应用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活 中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可 利用一元一次函数解决问题。随着优惠形式的多样化， “可选择性优惠”逐 渐被越来越多的经营者采用。 例 1:例如超市购物，购买茶壶、茶杯时有两种优惠方法: (1)买一送一 (即买一只茶壶送一只茶杯); (2)打九折(即按购买总价的 90%付款)。其下还有前提条件是:购 只以上(茶壶 20 元/ 个，茶杯 5 元/

17、个)。这两种优惠办法有区别 吗?到底哪种更便宜呢?这时可以应用所学的函数知识，运用解析法将此 问题解决。 解:设某顾客买茶杯 x 只，付款 y 则用第一种方法付款 60 90%72 综上所述，当所购茶杯多于 24 只时，法 (2)省钱;恰好购买 24 两种方法价格相等;购买只数在 4-23 之间时，法(1)便宜. 例 2:某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 60 元，根据市场调 查，在一段时间内，销售单价是 80 元时，销售量是 200 件，而销售单价每 降低 1 元，就可多售出 20 (1)写出销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式; (2)写出销售该品牌童装获得的利润 w

18、元与销售单价 x 元之间的函数关系 (3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于 76 元，且商场要完成不少 240 件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多 解:(1)由题意，得:1800 20 20 元之间的函数关系式为:1800 20 由题意，得:108000 3000 20 180020 函数关系 1080003000 20 1080003000 7876 76 2401800 20 对称轴为 75 7876 时，w 有最大值，最大值=4480 180076 20 6076 (二)三角函数的应用在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简 谐振动、交流电中的电

19、流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角 函数的性质解决有关问题;很多最值问题都可以转化为三角函数来解决， 如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的 影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。 例:青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永 不言弃。(如图所示 )一天，灰太狼在自家城堡顶部 A 现懒洋洋在大树底下睡懒觉，此时，测得懒洋洋所在地 B 处的俯角为 60， 然后下到城堡的 C 处，测得 B 处的俯角为 30。已知 AC=40 以 5m/s 的速度从城堡底部 D 处出发，几秒种后能抓到懒羊羊?(结果精确 到个位) 。 解:RtBCD

20、 6030 90 BCD 60tan CD BD CDBD 60ABD CDCD CD BD AD(三) 二次函数的应用二次函数，是数学研究中的一个非常重要的工具，贯穿于整个中学数 学的教与学中，从通过最浅显的直观的图像，解方程，解不等式，求最值， 到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次 函数来解决现实生活中的实际问题，无不显现出二次函数的魅力。在数学 能力的培养上，无论是培养学生严谨的数学思维还是培养学生的运算能力， 分析问题和解决问题的能力上，二次函数都有着不可替代的作用。 例 1:新华商场销售某种冰箱，冰箱每台进货价为 2500 元，销售价为 2900 元，平均

21、每天能售出 8 台;为促销，经调查销售价每降低 50 均每天就能多售出 4 台.商场要想使冰箱的销售利润平均每天达到 5000 那么冰箱应降价多少?每天可售出多少台?考点:一元二次方程的应用 专题:销售问题 分析: 设每台冰箱应降价 x 元，则可以多销售 50 4x 台冰箱，每台冰箱的利 25002900 元，再由题意建立方程求出其解就可以了。解:设台冰箱应降价 x 元，则可以多销售 50 4x 台冰箱，每台冰箱的利润 25002900 25002900 504x )=5000，解得: 150 ，每天售出的台数为:20 50150 答:冰箱应降价 150 元，每天可售出 20 点评:本题考查了

22、运用列一元二次方程解决生活中的实际问题，解答是找准题目中的数量关系建立等量关系是关键。 例 2:二次函数在公司最大盈利中的应用题目:已知某商品的进价为每件 40 元，售价是每件 60 元，每星期可 卖出 300 件。市场调查反映:如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出 10 件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润? 分析思考:在这个问题中，总利润是不是一个变量?如果是，它随着哪 个量的改变而改变? 解:设每件加价为 x 元时获得的总利润 600625 60050 106000 100 10 10300 10300 4060 的最大值是 12250，定价 :60+25=85(元)这样的题

23、目我们并不少见，在高中的时候我们经常做这种“何时收获 最大利益的”题目，当时我们也只是把它当作题来看，但实际上想一想， 现在公司中不正也是运用数学中的函数来使公司获得最大利益的嘛。在日 常生活中我们常常会碰见“最”字， 如在一定的方案中，何时花费最少，消耗最低，面积最大，获利最多等。公司的商品销售销售量会随着商品的 销售价格的增长而下降，所以，当销售价格为多少时，公司会获得最大利 润就要运用到“二次函数” 。 六、统计在现实生活中的应用 社会的发展、人口的控制、教育结构的调整与发展、环境的保护等领 域存在着大量急待研究的问题，统计学方法是定性与定量研究的有力工具。 统计学方法在这些领域将会有广

24、阔的应用前景。 例 1:省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题 的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全 校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统 计图(如图所示) ，请根据图中提供的信息，解答下列问题。 )%，这次共抽取()名学生进行调查 ;并补全条形图; (2)在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多? (3)如果该校共有 1500 名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多 考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图。分析:(1)用 的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数; (2)从扇形统计图或条形

25、统计图中直接可以得到结果; (3)用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可。 解:(1)1-14%-20%-40%=26% 2040%=50;条形图如图所示: (2)由图可知，采用乘公交车上学的人数最多 答:采用乘公交车上学的人数最多。(3)该校骑自行车上学的人数约为:150020%=300(名) 答:该校骑自行车上学的学生有 300 点评:本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息。 10 例 2:广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州 市环境保护局公布的 2006-2010 这五年各年的全年空气质量优良的天数， 绘制

26、折线图如图。根据图中信息回答: (1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是()，极差是() 。 (2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是() 年(填写年份)。 (3)求这五年的全年空气质量优良天数的平均数。 分析:(1)把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中 位数的定义解答;根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可; (2)分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，然后即可得 (3)根据平均数的求解方法列式计算即可得解。解:(1)这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下: 333、334、345 、347、357 ， 所以中位数是:345;

27、极差是:357-333=24; (2)2007 年与 2006 年相比，333-334=-1， 2008 年与 2007 年相比，345-333=12， 2009 年与 2008 年相比，347-345=2， 2010 年与 2009 年相比，357-347=10， 所以增加最多的是 2008 (3)这五年的全年空气质量优良天数的 11 平均数= 343334 333 345 347 357 点评:本题考查了折线统计图，要理解极差的概念，中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练 掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键。 七、概率在生活中的应用 概率，简

28、单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如:太阳每天都 会东升西落，这件事发生的概率就是 100%或者说是 1，因为它肯定会发生; 而太阳西升东落的概率就是 0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象 是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到 次品等等,这类事件的概率就介于 0 和 100%之间,或者说 0 之间5。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用 “运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人 们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段 6。近年来，概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学

29、、信 息论等学科当中。另外，在社会生活中，就连面试、赌博、彩票、体育和 天气等等也都会涉及到概率学知识。可以说，概率统计是当今数学中最活 跃,应用最广泛的学科之一。 例 1:某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动。在一个不透明的箱 子里放有 4 个完全相同的小球，球上分别标有“0 元” 、 “10 元” 、 “30 “50 元”.规定:顾客在本商场同一日内，消费每满 300 元，就可以从箱子 里先后摸出两个球( 每次只摸出一个球, 第一次摸出后不放回)。商场根据 两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费。 某顾客消费刚 满 300 元，则在本次消费中:(1)该顾客至少可得

30、( )元购物券，至多可得( )元购物券; (2)请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于 50 概率。12 (1)10，80. (2)方法一:树状图法: 方法二:列表法 : 从上面的树状图或表格可以看出，两次摸球可能出现的结果共有 12 种， 每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于 50 元的结果共有 种。所以该顾客所获购物券的金额不低于 50 元的概率是 例 2:小丁将中国的清华大学、北京大学及英国的剑桥大学的图片分别贴在 3 张完全相同的不透明的硬纸板上，制成名校卡片，如图，小丁将这3 张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机取一张卡片，放回后洗匀， 在随机抽取一

31、张卡片. (1)小丁第一次抽取的卡片上的图片是剑桥大学的概率是多少?(请 直接写出结果) (2)请你用列表法或画树状图(树状图 )法，帮助小丁求出两次抽取 的卡片上的图片一个是国内大学，一个是国外大学的概率.(卡片名称可 13 用字母表示) 考点:列表法与树状图法;概率公式 专题:压轴题;图表型 分析:(1)根据抽取一次，每一所学校都有 的几率被抽到的可能解(2)列出表格或画出树状图，然后根据概率公式列式求解 (2)列表得:画树状图: 由表格或树状图可知，共有 9 种可能出现的结果，每种结果出现的可 能性相同，其中两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学，一个是国外大 14 学的结果有 4 点评:

32、本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为:概率= 所求情 况数与总情况数之比。 八、结束语 著名数学家华罗庚指出:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之 变，生物之迷，日用之繁”无一能离开数学。著名数学家陈省身为青少年 数学爱好者题词-“数学好玩” ，勉励青少年学数学、爱数学，为中国 成为世界数学大国、强国做出贡献。数学给予人们的不仅是知识，更重要 的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻 辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。在科 学技术飞速发展的现代社会，认真学好数学，可以培

33、养我们对事物较强的 判断能力，解决、分析生活当中的实际问题，在今后的事业上有所作为。 如今，数学与各个领域之间都有着千丝万缕的联系。用数学工具来分析和求解问题已成为对经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的迫切需要。 无论是数学还是文学都有一种和谐的独特的追求，这也是二者共同的美感 所在。因此数学和文学的艺术与审美都非常相似，数学与文学之间也是相 互渗透、交相辉映的，散发出一起独特的魅力之美。许多艺术作品的创作 都表明了数学与艺术之间的联系是相通相连的。通过研究数学对各个领域 的影响，让我更加坚信学习数学的重要性。从而，对数学和生活有了更深 刻的认识。 参考文献1 数学在生活中的应用 2 数学

34、的奥秘The application of mathematical expectation in real lifeName Chen Shanghong tutor teacher Shi Ruidong(Lvliang senior middle school science experiment class 1415 Shanxi Lishi 033000)Abstract Mathematics is everywhere in our life, we can find the mystery of mathematics in our life with the view of mathematics.Keywords random variable probability distribution expectation health economic life decision application