1、导数应用的题型与解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式：c, x (m 为有理数) 的导数。掌握 两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、双基透视
2、导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。3曲线的切线用割线的极限位置来定义了曲线的切线切线方程由曲线上的切点坐标确定，设为曲线上一点，过点的切线方程为：4瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，5导
3、数的定义对导数的定义，我们应注意以下三点：(1) x 是自 变量 x 在 处的增量(或改变量)(2)导数定义 中还包含了可导的概念，如果 x0 时，有极限，那么函数 y=f(x)在点处可导，才能得到 f(x)在点处的导数(3)由导数定义求 导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(a)求函数的增量；(b )求平均变 化率；(c)取极限，得导数。6导数的几何意义函数 y=f(x)在点处的导数，就是曲线 y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数 y=f(x)在点处的导数，即曲线 y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点 坐标
4、和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，如果曲线 y=f(x)在点处的切线平行于 y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为7、 导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一
5、定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。8、已知 （1）若恒成立 为上 对任意 不
6、等式 恒成立（2）若恒成立 在上 对任意 不等式 恒成立四、热点题型分析题型一：利用导数定义求极限例 1已知 f(x)在 x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）题型二：利用导数几何意义求切线方程例 2已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。例 3 已知函数的切线方程为 y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式；（）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值；（）若函数在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 例 4：已知三次函数在和时取极值，且(1) 求函数的 表达式；(2) 求函数的单调 区间和极值；(3) 若函
7、数在 区间上的值域为，试求、应满足的条件例5：已知函数 f(x)=x33x2axb 在 x(1，f(1)处的切线与直线12xy10平行（1）求实数a 的值；（2）求 f(x)的单调递减区间；（3）若 f(x)在区间2， 2上的最大值为20，求它 在该区间上的最小值例 6：已知函数在处取得极值，（1）用表示；（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.例 7：已知(1)当时, 求证在内是减 函数;(2)若在内有且只有一 个极值点, 求 a 的取值范围.例8：设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当 b=1时，试证明 ：不论 a 取何实数，函数总
8、有两个不同的极值点 题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。例 9： 所以如图所示，曲线段 OMB 是函数的图像，轴于 A，曲线段 OMB 上一点处的切线 PQ交 x 轴于 P，交线段 AB 于 Q.（1）试用 t 表示切线 PQ 的方程；（2）设QAP 的面积为，若函数在上单调递减，试求出 m 的最小值；（3），试求出点 P横坐标的取 值范围.例 10：用长为90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成( 如图), 问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大容积是多少 ?题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取
9、值范围例11：设函数（1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定 a 的取值范围.例 12：（2006 全国卷）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。例 13：已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线 只有一个公共点例14（2006 年江西卷）已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的 值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x?1，2 ，不等式 f（x）?c2 恒成立，求 c 的取值范围。题型六：利用导数研究方程的根例 15：已知平面向量=(,1). =
10、(,).（1）若存在不同时为零的实数k 和 t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的 情况.例16：设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点例 17： 已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点 A、B处的切线都与 y 轴垂直，且线段 AB 与 x 轴有公共点，求实数 a 的取值范围 .题型七：导数与不等式的综合 例 18：已知函数，设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：； 若，则。例19：设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（
11、2）设1，1，且，求证：.例 20：已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立例 21：设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。（I）用，表示；（II）证明：当 时，；题型八：导数在实际中的应用例 22：某工厂每月生产 x吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为 800（万元），可变成本为 20x（万元）市场对这种商品的需求函数为p=100 x（ 0x100），其中 p为这种商品的单价（单位：万元），x 为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）（1）把月利润y（万元）表示为产量x（吨）的函数（利润销售收入成本）；（2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？题型九：导数与向量的结合例 23：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t 及实数 k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求 k 的取值范围。?文科培优资料 作者：谢立荣益阳市箴言中学 1 （共 12 页）
