1、1.1 利用函数性质判定方程解的存在,第四章 1 函数与方程,学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图像判断零点个数.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的零点概念,思考 函数的“零点”是一个点吗？,答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标.,梳理 概念：函数yf(x)的零点是函数yf(x)的图像与横轴的交点的_. 方程、函数、图像之间的关系： 方程f(x)0 函数yf(x)的图像 函数yf(
2、x)_.,横,坐标,有实数根,与x轴有交点,有,零点,知识点二 零点存在性定理,梳理 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是 ，并且在区间端点的函数值符号相反，即 ，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.这个结论可称为函数零点的存在性定理.,连续曲线,f(a)f(b)0,思考辨析 判断正误 1.f(x)x2的零点是0.( ) 2.若f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点.( ) 3.若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.( ) 4.若f(x)在(a，b)内
3、有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.( ),题型探究,类型一 求函数的零点,解析,答案,例1 函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.,x1或x10,解析 由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0， lg x0或lg x1，x1或x10.,反思与感悟 函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.,跟踪训练1 函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_.,解析,答案,4,解析 f(x)(x1)(x1)(x2)2(x
4、3)(x1) (x1)2(x1)(x2)2(x3). 可知零点为1，2,3，共4个.,类型二 判断函数的零点所在的区间,例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是,A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),答案,解析,解析 令f(x)ex(x2)， 则f(1)0.3710. 由于f(1)f(2)0， 方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.,反思与感悟 在函数图像连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.,跟踪训练2 若函数f(x
5、)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.,解析,答案,2,解析 函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数， 函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一个零点. f(1)37ln 140， 函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内， n2.,类型三 函数零点个数问题,命题角度1 判断函数零点个数 例3 求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数.,解答,解 方法一 f(0)10210， f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数. 故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二 在同一坐标系下作出h(x)22
6、x和g(x)lg(x1)的草图.,由图像知g(x)lg(x1)的图像和h(x)22x的图像有且只有一个交点， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点.,反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数.,跟踪训练3 求函数f(x)ln x2x6零点的个数.,解 方法一 由于f(2)ln 220， 即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点. 又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数， 所以它仅有一个零点. 方法二 通过作出函数yln x，y2x6
7、的图像，观察两图像的交点个数得出结论. 也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图像交点的个数. 由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点.,解答,命题角度2 根据零点情况求参数范围 例4 f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是 A.(，) B.(2，) C.(0，) D.(1，),答案,解析,可知g(x)的值域为(1，)， 故a1时，f(x)在(0，)内有零点.,反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要
8、使含参数的函数尽可能简单.,跟踪训练4 若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是,答案,解析,解析 函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内， 即函数f(x)x22mx2m1的图像与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，,达标检测,1.函数yx的零点是 A.(0,0) B.x0 C.x1 D.不存在,答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)x22x的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,答案,3.若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正
9、确的是 A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点,1,2,3,4,5,答案,4.下列各图像表示的函数中没有零点的是,1,2,3,4,5,答案,A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个,1,2,3,4,5,答案,1.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点. 3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理；(2)解方程；(3)用图像. 4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.,规律与方法,
