1、2.1.4 函数的奇偶性,第二章 2.1 函 数,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.,题型探究,问题导学,达标检测,内容索引,问题导学,知识点一 函数奇偶性的定义,奇、偶函数的概念,f(x),f(x),知识点二 奇(偶)函数的定义域特征,在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,xD,这就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于原点对称,因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于 对称.,原点,思考,知识点三 函数奇偶性的几何特征,下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关
2、于原点对称的呢?,答案,答案 关于y轴对称,关于原点对称.,奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 对称,则这个函数是偶函数.,坐标原点,梳理,坐标原点,y轴,y轴,思考辨析 判断正误 1.关于y轴对称的图形都是偶函数的图象.( ) 2.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( ) 3.有些函数既非奇函数,又非偶函数.( ) 4.奇函数f(x) ,当x0
3、时的解析式与x0时的解析式相同,所以一般的奇函数在(0,)上的解析式与(,0)上的解析式也相同.( ),答案,题型探究,命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性 例1 (1)证明f(x) 既非奇函数又非偶函数;,证明,类型一 判断函数的奇偶性,证明 因为它的定义域为x|xR且x1, 所以对于定义域内的1,其相反数1不在定义域内, 故f(x) 既非奇函数又非偶函数.,(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数;,证明,证明 函数的定义域为R,因为函数f(x)(x1)(x1)x21, 又因为f(x)(x)21x21f(x),所以函数为偶函数.,(3)证明f(x) 既是奇函数又是偶函数.,证明,证明
4、定义域为1,1,因为对定义域内的每一个x,都有f(x)0, 所以f(x)f(x),,利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则x也一定属于定义域.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数;,证明,证明 由 0,得定义域为2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.,(2)证明f(x)x|x|是奇函数.,证明,证明 函数的定义域为R,因为f(x)(x)|x|x|x|f(x), 所以函数为奇函数.,命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f(x) 的奇偶性.,解答,解 由题意可知f(x)的定
5、义域为(6,11,6), 关于原点对称, 当x(6,1时,x1,6), 所以f(x)(x5)24(x5)24f(x); 当x1,6)时,x(6,1, 所以f(x)(x5)24(x5)24f(x). 综上可知对于任意的x(6,11,6), 都有f(x)f(x),,分段函数也是函数,证明奇偶性也是抓住两点:(1)定义域是否关于原点对称;(2)对于定义域内的任意x,是否都有f(x)f(x)(或f(x),只不过对于不同的x,f(x)有不同的表达式,要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x).,反思与感悟,跟踪训练2 证明f(x) 是奇函数.,证明,证明 定义域为x|x0. 若x0, f(x)x2,
6、f(x)x2,f(x)f(x); 若x0,则x0, f(x)(x)2x2,f(x)x2, f(x)f(x); 即对任意x0,都有f(x)f(x). f(x)为奇函数.,命题角度3 证明抽象函数的奇偶性 例3 f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断yf(x)g(x),yf(x)g(x),yf g(x)的奇偶性.,解答,解 f(x),g(x)是定义在R上的奇函数, f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),yf(x)g(x)是奇函数. f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),yf(x)g(x)是偶函数. f g(x)f g(x)f g(x),yf g(x)是奇函数.,利用
7、基本的奇(偶)函数,通过加减乘除、复合,可以得到新的函数,判断这些新函数的奇偶性,主要是代入x,看总的结果.,反思与感悟,跟踪训练3 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,答案,解析,解析 A:令h(x)f(x)g(x),则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),h(x)是奇函数,A错. B:令h(x)|f(x)|g(x),则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)
8、h(x),h(x)是偶函数,B错. C:令h(x)f(x)|g(x)|,则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x),h(x)是奇函数,C正确. D:令h(x)|f(x)g(x)|,则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x), h(x)是偶函数,D错.,命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用 例4 定义在R上的奇函数f(x)在0,)上的图象如图所示.,类型二 奇偶性的应用,解答,(1)画出f(x)的图象;,解 先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(1,1),(2,0),连线可得f(x)的图象如图.,(2)解不等式xf(x)0.,解答,解
9、 xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).,引申探究 把例4中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.,解答,解 (1)f(x)的图象如图所示:,(2)xf(x)0的解集是(,2)(0,2).,鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.,反思与感悟,跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.,解答,(1)画出在区间5,0上的图象;,解 如图,在0,5上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D. 分别描出它们关于原点的对称点O,A,B,C,D, 再用光滑曲
10、线连接即得.,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解答,解 由图可知,当且仅当x(2,0)(2,5)时,f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5).,命题角度2 利用函数的奇偶性求解析式 例5 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)x1,求当x0时,f(x)的解析式.,解 设x0, f(x)(x)1x1, 又函数f(x)是定义域为R的奇函数, f(x)f(x)x1,f(x)x1. 当x0时,f(x)x1.,解答,求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为x,此时x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即
11、可得所求区间上的解析式.,反思与感悟,跟踪训练5 已知yf(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)2xx2.求yf(x)的解析式.,解答,解 设x0,因为f(x)是奇函数, 所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2. 因为yf(x)是R上的奇函数,所以f(0)0.,达标检测,1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.f(x)2x2x D.f(x)2x2x,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 D中,f(x)2x2xf(x), f(x)为偶函数.,2.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案
12、,2,3,4,5,1,3.已知函数yf(x)x是偶函数,且f(2)1,则f(2)等于 A.1 B.1 C.5 D.5,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 函数yf(x)x是偶函数,x2时函数值相等. f(2)2f(2)2, f(2)5,故选D.,4.若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数,则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,2,3,4,5,1,5.已知函数f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)x1,则x0时,f(x)_.,答案,解析,解析 设x0,则x0, f(x)为偶函数, f(x)f(x)x1.,2,3,4,5,1,x1,规律与方法,1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数;如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数它的图象关于原点对称;函数为偶函数它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.,