1、第2课时 映射与函数,第二章 2.1.1 函 数,学习目标 1.了解映射、一一映射的概念. 2.了解映射与函数间的关系. 3.会判定一些对应法则是否为映射或一一映射.,题型探究,问题导学,达标检测,内容索引,问题导学,思考,知识点一 映射,设A三角形，BR，对应法则是f：每一个三角形对应它的周长.请问：A中的元素与B中的元素有什么关系？,答案,答案 A中的任一元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应.,映射的概念 (1)映射的定义 设A，B是两个 集合，如果按照某种对应法则f，对A中的 元素x，在B中 元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作 . 提醒：映射f：AB中，集合A，B可以是
2、数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序.,梳理,非空,任意一个,有一个且仅有一个,f：AB,(2)象、原象的概念 给定一个集合A到集合B的映射f，若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应，则称y是x在映射f作用下的 ，记作f(x)，x称作y的 .,象,原象,思考,知识点二 一一映射,映射f：y2x是A1,2,3B2,4,6的映射； 映射：y2x是A1,2,3C1,2,4,6的映射，问映射f与映射g有什么不同？,答案,答案 在映射f下，集合A中的每个元素都有象，集合B中的每个元素都有原象；在映射g下，集合C中的元素不一定都有原象，如1.,梳理,一一映射的定义 如果映射f是集合A到集
3、合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都 原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在 关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.,有且只有一个,一一对应,思考,知识点三 映射和函数的关系,一个映射是否一定是一个函数？函数能看成一个映射吗？,答案,答案 映射不一定是函数，函数一定是映射.,梳理,1.映射下的函数定义 设A，B是两个 ，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫做A到B的函数. 2.映射和函数的关系 函数是数集到数集的 ，即映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.,非空数集,映射,思考辨析 判断正误 1.映射是特殊的函数.( ) 2.函数是从数集到数集的映
4、射.( ),答案,题型探究,例1 下列对应是否构成映射？若是映射，是否为一一映射？ (1)Ax|0x3，By|0y1，f：y x，xA，yB；,解答,类型一 映射的概念,(2)AN，BN，f：y|x1|，xA，yB；,解 是映射，是一一映射.,解 不是映射.,(3)Ax|0x1，By|y1，f：y ，xA，yB；,解答,(4)AR，By|yR，y0，f：y|x|，xB，yB.,解 是映射，是一一映射.,解 是映射，不是一一映射.,判定一个对应法则f：AB是映射的方法 (1)明确集合A，B中的元素的特征. (2)判断A中的每个元素是否在集合B中有唯一的元素与之对应.若进一步判断是否为一一映射，还
5、需注意B中的每一个元素在A中都有原象，且原象唯一.,反思与感悟,解 (1)是映射，是一一映射，是函数. (2)是映射，是一一映射，不是函数. (3)不是映射. (4)是映射，不是一一映射，不是函数.,跟踪训练1 下图中(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则是不是映射？是不是一一映射？是不是函数关系？,解答,例2 已知映射f：AB中AB(x，y)|x，yR，若f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素是(3x2y1,4x3y1). (1)求A中的元素(3,2)在B中对应的象；,类型二 象与原象,解答,解 f：(x，y)(3x2y1,4x3y1)， 且(3,2)是A
6、中的元素， 3x2y1332216,4x3y14332117， (3,2)在B中对应的象为(6,17).,(2)求B中的元素(3,2)在A中对应的原象.,解答,引申探究 1.若使A中的元素(x，y)在B中与其自身(x，y)对应，这样的元素存在吗？,解答,解 若在A中的元素(x，y)在B中能与自身对应，,2.若f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素是(3x2y1,4x3y1)改为：对应到B中的元素是(xy，xy)，则B中的元素满足什么条件时在A中有原象？,解答,当且仅当(b)24ab24a0时，方程有实数根， 因此只有当B中元素(a，b)满足b24a0时，在A中才有原象.,由式得，yxb，将它
7、代入式，并化简得x2bxa0 ，,求象与原象的方法 (1)若已知A中的元素a(即原象a)，求B中与之对应的元素b(即象b)，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可. (2)若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.,反思与感悟,跟踪训练2 已知(x，y)在映射f的作用下的象是(xy，xy). (1)求(2,3)在f作用下的象；,解答,解 把(2,3)代入对应法则， 即xy231，xy236， 所以(2,3)在f作用下的象为(1，6).,(2)若在f作用下的象是(2，3)，求它的原象.,解答,所以在f作用下的象(
8、2，3)的原象为(1,3)或(3，1).,例3 (1)集合Aa，b，c，d，集合Be，f，从集合A到集合B的映射的个数为_；,类型三 映射的综合应用,答案,解析,解析 可以用列举法： 共有222216(种).,16,(2)已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x2，若对实数kB，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是_.,答案,解析,解析 由于kB且在A中不存在原象， 则x22x2k无解，即x22x2k0无解. 44(2k)0，k1.,(，1),求映射个数的两类问题及解法 (1)给定两个集合A，B，问由AB可建立的映射的个数，这类问题与A，B中元素的个数有关系.一般地，若A中有m
9、个元素，B中有n个元素，则从AB共有nm个不同的映射. (2)含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决.,反思与感悟,跟踪训练3 集合Aa，b，B1,0,1，从A到B的映射f：AB满足f(a)f(b)0，那么这样的映射f：AB的个数为 A.2 B.3 C.5 D.8,答案,解析,达标检测,1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是 A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个 B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个 C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同,答案,2,3,4,5,1
10、,解析 根据映射的概念可知：A中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A正确.,解析,2.已知集合Aa，b，集合B0,1，下列对应不是A到B的映射的是,答案,2,3,4,5,1,解析 C选项中，b无象.,解析,3.已知(x，y)在映射f下的象是(2xy，x2y)，则原象(1,2)在f下的象为 A.(0，3) B.(1，3) C.(0,3) D.(2,3),答案,2,3,4,5,1,解析 2xy2120，x2y1223，故选A.,解析,4.设集合A，B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在
11、f下，象(2,1)的原象是,答案,2,3,4,5,1,解析,5.已知集合Aa，b，Bc，d，则从A到B的不同映射有_个.,答案,解析,解析 ac，bc；ad，bd；ac，bd；ad，bc，共4个.,2,3,4,5,1,4,规律与方法,1.映射的特征 (1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能有剩余. (2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射. (3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射. 2.映射与函数的关系 函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.,
