1、- 1 -利用数学美激发学生的学习兴趣（甘肃省泾川县荔堡中学 闫天虎）摘 要 数学课程标准中强调数学教学要注重解决问题能力、数学思想方法的培养和学生对数学的体验.教师应该充分挖掘数学中的美学因素,让学生体会数学美,以激发学生学习数学的兴趣.使数学教学由枯燥乏味变得有趣有用,令课堂充满生机和活力,使数学教学成为一门艺术.关键词 数学美; 感受美; 品味美; 对称美; 规律美; 奇异美我教的是高中数学,教着优秀生,也教着学困生.优秀生比较好教,因为是玉,琢一琢便成器.而学困生,说老实话:“教得最苦,分数最低”.加之数学本身的内容枯燥乏味,晦涩难懂,所以学生也就大伤脑筋,久而久之,学生对数学也就敬而
2、远之,成绩自然不理想.再则现行的考试,不仅是考学生,也可以说是考老师,教师在名誉,职称等重压之下,比学生更加关注成绩, 于是教师便去强压强添,而结果却是收效甚微.一位教育家曾说过:“如果人们吃饭没有食欲,勉强地把食物吞到胃里去,其结果只能引起恶心和呕吐,至少是消化不良,健康不佳.反之,他就会乐意接受,并且很好地消化它.”然而兴趣和热爱是最好的老师,是一种无形的力量,是学好数学的保证.学生怕数学,讨厌数学,症结就是缺少对数学的热爱.那么怎样培养学生对数学的兴趣,把要学生学数学,变成学生自己要学数学, 把枯燥乏味的数学,变成有趣有用的数学呢？我认为利用数学美来激发学生学习数学的兴趣是一种行之有效的
3、方法.什么是兴趣？兴趣就是发现优点.数学究竟美在哪里呢？法国数学家庞加莱说得十分中肯:“到底是什么使我们感到一个解法,一个证明优美呢？哪就是各个部分之间的和谐,对称,恰到好处的平衡.”下面我用例子谈谈如何利用数学美来激发学生学习数学的兴趣.1数学问题,浩如烟海,求解时很难找到一定的模式.有时,在“美的号召”下,凭借美的感受,领悟问题显露的美,并以此为思维向导,另辟蹊径,常可获得别- 2 -开生面的妙解.案例 求证:自然数列的前 和1n2)1(S我便引导学生利用数学对称美来解.设 Sn32倒过来 121n + 得: n)()(nS此解法原于平面镜成像原理,物和像到镜面的距离相等,即对称性. 你比
4、再方说:毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球 形；一切平面图形中，最美的是圆形.这是数学中对称美最好的典型事例. 案例 计算 :2710251403CC我便引导学生利用数学规律美来解决此问题.想到组合数性质: ,003201nmnm1原式 7105403CC21 7103654726CC10 3471数学问题中存在规律美,规律美在哪里？美在对她的发现,美在对她的品味,美在对她的巧妙运用.案例3（ 年全国高考, 题）已知: 则的最小值2061219)(nxf是（ ） )(xf19A80B0C45D我便启发学生利用数学和谐美来解决此问题.这个问题可以这样去理解:- 3 -表示数轴上的点到
5、点的 距离的和,由绝对值的几何意19)(nxf x193,2义可知当 时, 有最小值0)(xf 0)0(1nf这个问题也可以这样去理解:(1)设甲,乙个村子地 处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村子 的居2 2民到水井打水的距离之和最小？(2)设甲,乙,丙个村子地 处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村子 的3 3居民到水井打水的距离之和最小？( )设甲,乙,丙 个村子地处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村nn子 的居民到水井打水的距离之和最小？通过教师巧妙的启发学生很快归纳得出了相应的结论:设表示村子 的个数, 表示水井的位置,nx当为偶数时 ,水井打在距离第一个村子 处,这
6、个村子的 居民到水井1 21nxn打水的距离之和最小;当为奇数时 ,水井打在在距离第一个村子 处,这个村子的 居民到水2n井打水的距离之和最小; 901)0()(9minnfxf此解法找到了实际生活背景“离你近点,离我近点,大家打水都方便,生活便和谐”,同时也体现了数学和谐美,令人兴奋使学生跃跃欲试.你再比方说:美神维纳斯的美被所有人所公认,原因是她的身材比恰恰是黄金分割比（ ）一个神圣的比例,在它的身上我们看到的是最完美的和215谐.2数学思想,种类繁多.教师若能用优美,风趣的文学语言去诠释数学思想,就会使数学思想具体形象,生动活泼,富有美感.学生不但理解的深刻,而且记忆- 4 -犹新.案例
7、 数形结合思想的介绍1我是这样诠释的:数形结合是中学数学的重要思想方法,数形结合就是为了解决问题我们要把图形和数据一并表出,以形定性,以形助数;用数定量,用数解形.形象地说:就是“缺数难入微,无形少直观.数形本相依,岂可两分离.数形结合颇可完美！”数与形好比一对夫妇,形影不离,心心相印.数与形又好比一只鸟的双翼,要数学这只鸟展翅高飞,必须双翼丰满！著名数学家华罗庚也曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休”.这说明,以形助数,可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化;而用数解形,借助数量的计算和分析,可使问题的解决严谨化,善于用图形往往能很快获得解题
8、途径、方法;有些同学在解题时经常将二者分裂开来,导致解题冗繁甚至错误,不善用图,往往容易陷入四处碰壁的被动局面,以失败告终. 例如 已知方程及 方程的根分 别是 和 ,则03lgx031x1x221x剖析:本题给出的两个方程均属超越方程,在高中阶段,试图通过分别求出两方程的根,再求出两根之和的办法是相当困难的.你尝试过吗？其实本题利用数形结合的思想可一举获得成功.方程 ,即 ,方程 ,即 .03lgx3lgxBO ADCx图 1-1 图 2-1在同一直角 坐标系中分 别画出函数 , , 的xflg)(1xf10)(2xf3)(- 5 -图象,如图1-1所示,则 , 分别是 与 , 与的图象交
9、点 、1x2的横坐标.注意到与的 图象关于直 线 对称,而直线与直线互相垂直 ,垂足为 ,那么必为线 段 的中点,由,得的横坐标 为 .根据中点坐 标公式易得 .23 321Mx案例 辅助元思想的介绍2我是这样诠释的:辅助元思想就是为了解决问题的需要去做辅助线,辅助角,辅助变元（中间变量）,构造辅助函数,使所求问题简捷化.形象地说:就是“搭桥”,“造船”,找“纽带”;就是找“月老”,找“红娘”来牵线;就是典型的“他山之石,可以攻玉”！构造法是在辅助元思想指导下变更已知数学形式,构造另外一种形式解题的方法.下面给出一个用构造法解题的示例.例如 当是锐角时 ,求证:xxtansi证明:构造如图2-
10、1的单位圆. ,则弧 ,过点作切线 交的延长线AOBlABA于 ,过 做 , 是垂足,因为单位圆的半径 ,显然有:OBDBC1O, ,即: , .xsinxtaDlABxtansi案例 化抽象为具体思想的介绍3我是这样诠释的:变抽象为具体,就是抽象问题具体化,熟悉化,化为我们熟知的雏形（原型,母式）形象地说:“就是你与她前生有约定,今生来相会.而她却带上了神秘的面纱,你便是揭开面纱的人！”有些数学问题,当其仅以数学特性,及抽象的数学符号的形式来陈述时,常常显得复杂,抽象,使解题陷入困境,这时可考虑化抽象为具体思想,通过其满足的特性刻画出具体的雏形,有时显得具体,明确,豁然开朗.例如 已知是定义
11、 在上的函数 且有 ,)(xfR)()(yfxyf.1)0(,2)1(ff- 6 -求: 的值)()2(1)0(nfff解析:由所满足的 三个特性,可联想到指数函数,将其具体化为xf xf2)(易得 .12121)()2(1)0( nnnfff 记得当时的却是这样讲的,学生听得很认真,连平时上课长睡不肯醒的学困生听得都是津津有味,课后都在津津乐道:原来,数学思想是黑夜里熊熊燃烧的篝火,它给无助的人们不仅带来了光和热,而且指明了前行的方向.3数学故事,绚丽多彩,美丽动人;数学家的轶事,令人感叹不已, 引人入胜;数学家的研究,硕果累累,奥妙无穷！课余时间抽空给学生多讲些数学故事,可激发学生学习数学
12、的兴趣,说不准无意插柳柳成荫,学生还会爱上数学.案例 亲合数的故事1公元 320年,古希腊的毕达哥拉斯发现了这样的一对数 20与 84,他说:的所有真因子之和等于 ,而的所有真 因子等于即 :284284, ;1051541 217结果事实如此. 20与 之间“你中有我,我中有你”的关系多像一对形影不离,心心相印的好朋友呀！人们惊叹于这两个数之间亲如手足般的微妙关系,从而把它们看作友谊的象征.称之为“亲和数”这就是数学 史上的第一对“亲和数”自从第一对“亲和数”被发现之后,人们怀着极大的兴趣就 像大海探宝一样, 继续寻找着亲和数.相继发现了:17296与 18416,9363584 与 943
13、7056等多对亲和数. 然而颇具戏剧性的是,第二对亲和数 1184与 1210,竟然逃过了 众多数学家的火眼金睛,被一位年仅16 岁的意大利男孩帕哥尼于 1866 年发现！这不就是数学的奇异美吗？相信在座的各位也能发现新的亲和数,只要你们有好奇性！案例 不合情理的约分2全世界有很大影响的俩份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近年的最佳 数学问题”,其中有一道相当简单的问题:有哪些分数型如 ,不合理地把50 bca约去得到结果却是对的 ？bca- 7 -经过一种简单的计算,可以找到四个分数:, , , .6415298这个问题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪打正着 .在给人惊喜之余,不也展现一
14、种奇异美吗？还有一些“歪打正着”的例子,比如:, , .259531253129这其中的玄妙是不是很奇异,很美妙.案例 丢番图的故事3古希腊数学家丢番图的墓碑文用独特的方式介绍他的平生.“过路人,这里安葬着丢番图.他生命的是 幸福的童年,生命的是青 少年时代,又过了生命6112的 才结婚.婚后的年有 了一个孩子,孩子活到父亲的一半年纪就死去了.孩子715死后,丢番图在深深的悲哀中活了 年、,也结束了尘世的生涯.过路人,你知道4丢番图的年纪吗？”丢番图是古希腊最后一位数学家,他的碑文写得多么妙！多么奇特！这是用未知的方程写出了已知的一生,谁想知道丢番图的年纪,谁就得解一个一元一次方程:设表示丢番
15、 图的年纪,则 解得 ,即丢番图x xx42571684享年 岁,碑文是一个方程应用题,丢番图写这个碑文的目的是,提醒前来瞻仰84的人们,不要忘记他所献身的事业.通过老师对数学故事的讲述,学生的心灵被震撼了.他们从数学家的身上看到了智慧的火花,人生的真谛,领悟到了热爱才是最好的老师.数学前辈们生前酷爱数学,直至生命的最后一刻都不忘数学.这世上唯有至情至圣的东西,我们才会动真感情.如果说数学是你的生人,你会与他形同陌路,你会对他视而不见;如果说数学是你的友人,你会与他义结金兰,你会对他肝胆相照;如果说数学是你的爱人,你会与她形影相随,你会对他至死不渝.- 8 -以上三点做法或多或少的表明:学生在
16、获得美的感受的同时,学习兴趣和求知欲望必然得到激发.他们不会再讨厌数学了,反而会喜欢数学.正如伟大的教育家孔子所说“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”.不管怎样只要我们有一颗炽热的心,有一份涌动的激情,潜心研究,充分挖掘数学中的美学因素,再用以激发学生学习数学的兴趣,用艺术去教学,让数学课堂充满活力,我想不久的将来数学教学质量定会上升一个新台阶.因为我深信:“沉舟侧畔千帆过,病树前头万木春”.参考文献1李文林.数学史概论(第二版 )M.北京:高等教育出版社,2002,35-90.2邢志军.散发着数学芳香的碑文J. 郑州: 中学生学习报(第 27 期),2007.3杨庆余.高中数学教材难点分析M. 银川: 宁夏人民出版社,1998,130-225.
