1、1配餐作业(五十九) 最值、范围问题(时间：40 分钟)1如图，椭圆 E： 1( ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为 。x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P， Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2。解析 (1)由题设知 ， b1，ca 22结合 a2 b2 c2，解得 a 。2所以椭圆的方程为 y21。x22(2)证明：由题设知，直线 PQ 的方程为 y k(x1)1( k2)，代入 y21，x22得(12 k2)x24 k(k1) x2 k(k2)0。由已知得(1,1)在
2、椭圆外，则 0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， x1x20，则 x1 x2 ， x1x2 。4k k 11 2k2 2k k 21 2k2从而直线 AP， AQ 的斜率之和kAP kAQ y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx22 k(2 k) 2 k(2 k)(1x1 1x2) x1 x2x1x22 k(2 k)4k k 12k k 22 k2( k1)2。故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2。答案 (1) y21 (2)见解析x2222已知圆 E： x2 2 经过椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点 F1， F2，且(y12) 94 x2a2
3、 y2b2与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1， E， A 三点共线。直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，且 ( 0)。MN OA (1)求椭圆 C 的方程；(2)当 AMN 的面积取到最大值时，求直线 l 的方程。解析 (1) F1， E， A 三点共线， F1A 为圆 E 的直径， AF2 F1F2。由 x2 2 ，(012) 94得 x ，2 c ，2|AF2|2| AF1|2| F1F2|2981，2a| AF1| AF2|4， a2。 a2 b2 c2， b ，2椭圆 C 的方程为 1。x24 y22(2)由题意知，点 A 的坐标为( ，1)，2 ( 0)，MN OA
4、直线 l 的斜率为 ，22故设直线 l 的方程为 y x m，22联立Error! 消去 y 并整理得 x2 mx m220，2设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， x1 x2 m， x1x2 m22，22 m24 m280，2b0)的左、右焦点分别是点 F1， F2，其离x2a2 y2b2心率 e ，点 P 为椭圆上的一个动点， PF1F2面积的最大值为 4 。12 3(1)求椭圆的方程；(2)若 A， B， C， D 是椭圆上不重合的四个点， AC 与 BD 相交于点 F1， 0，求|AC BD | |的取值范围。AC BD 解析 (1)由题意得，当点 P 是椭圆的上、下顶点时，
5、 PF1F2面积取最大值，此时 S PF1F2 |F1F2|OP| bc， bc4 ，12 3 e ， b2 ， a4，12 3椭圆的方程为 1。x216 y212(2)由(1)得椭圆的方程为 1，x216 y212则 F1的坐标为(2,0)， 0， AC BD。AC BD 当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时，易得| | |6814。AC BD 当直线 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，则其方程为y k(x2)，设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，联立Error!消去 y，得(34 k2)x216 k2x16 k2480，Error!4| | |x1 x2| ，AC
6、1 k2 24 k2 13 4k2此时直线 BD 的方程为 y (x2)，1k同理，由Error!可得| | ，BD 24 k2 13k2 4| | | ，AC BD 24 k2 14k2 3 24 k2 13k2 4 168 k2 1 2 3k2 4 4k2 3令 t k21( k0)，则 t1，| | | ，AC BD 16812 t 1t2 t1，01)的左、x2a2右焦点， P 为椭圆 C 上任意一点，且 的最小值为 0。PF1 PF2 (1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1M l， F2N l 分别交直线 l 于 M
7、， N 两点，求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值。解析 (1)设 P(x， y)，则 ( c x， y)，PF1 ( c x， y)，PF2 x2 y2 c2 x21 c2， x a， a，PF1 PF2 a2 1a2由题意得，1 c20， c1，则 a22，5椭圆 C 的方程为 y21。x22(2)将直线 l 的方程 l： y kx m 代入椭圆 C 的方程 y21 中，得(2 k21)x22x24 kmx2 m220，则 16 k2m24(2 k21)(2 m22)0，化简得： m22 k21。设 d1| F1M| ， d2| F2N| 。| k m|k2 1 |k m|k2 1当
8、k0 时，设直线 l 的倾斜角为 ，则|d1 d2| MN|tan |，| MN| |d1 d2|，1|k| S |d1 d2|(d1 d2) ，12 1|k| 2|m|k2 1 4|m|m2 1 4|m| 1|m| m22 k21，当 k0 时，| m|1，| m| 2，即 Sb0)的离心率为 e ，直线 l： y x2 与以原点为x2a2 y2b2 33圆心，以椭圆 C1的短半轴长为半径的圆 O 相切。(1)求椭圆 C1的方程；(2)抛物线 C2： y22 px(p0)与椭圆 C1有公共焦点，设 C2与 x 轴交于点 Q，不同的两点 R， S 在 C2上( R， S 与 Q 不重合)，且满
9、足 0，求| |的取值范围。QR RS QS 解析 (1)由直线 l： y x2 与圆 x2 y2 b2相切，得 b，即 b 。|0 0 2|2 2由 e ，得 1 e2 ，所以 a 。33 b2a2 23 3所以椭圆 C1的方程是 1。x23 y226(2)由 1，可得 p2。故抛物线 C2的方程为 y24 x。p2易知 Q(0,0)，设 R ， S ，则 Q ， 。(y214， y1) (y24， y2) R (y214， y1) RS (y2 y214 ， y2 y1)由 0QR RS 得 y1(y2 y1)0。y214 y2 y214 y1 y2， y2 ，(y116y1) y y 3
10、22 3264。2 21162y21 y21162y21当且仅当 y ，即 y14 时等号成立。21162y21又| | ，QS y4216 y2 14 y2 8 2 64 y 64，2当 y 64，2即 y28 时，| |min8 。QS 5故| |的取值范围是8 ，)。QS 5答案 (1) 1 (2)8 ，)x23 y22 52(2016山东高考)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的离心率是x2a2 y2b2， 抛物线 E： x22 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。32(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线
11、 l 与 C 交于不同的两点A， B，线段 AB 的中点为 D。直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M。()求证：点 M 在定直线上；()直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求 的最大值S1S27及取得最大值时点 P 的坐标。解析 (1)由题意知 ，可得： a24 b2，a2 b2a 32因为抛物线 E 的焦点 F ，(0，12)所以 b ， a1，12所以椭圆 C 的方程为 x24 y21。(2)()设 P (m0)。(m，m22)由 x22 y，可得 y x，所以直线 l 的斜率为 m。因此直线 l 的方程为 y m(x m
12、)，m22即 y mx 。m22设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)，联立方程Error!得(4 m21) x24 m3x m410。由 0，得 0m (或 0m22 )，(*)2 5 5且 x1 x2 ，4m34m2 1因此 x0 ，2m34m2 1将其代入 y mx ，m22得 y0 ， m22 4m2 1因为 ，y0x0 14m所以直线 OD 的方程为 y x。14m联立方程Error!8得点 M 的纵坐标 yM ，14所以点 M 在定直线 y 上。14()由()知直线 l 的方程为 y mx 。m22令 x0，得 y ，m22所以 G 。(0， m22)又
13、 P ， F ， D ，(m，m22) (0， 12) ( 2m34m2 1， m22 4m2 1 )所以 S1 |GF|m ，12 m2 1 m4S2 |PM|m x0| 。12 12 2m2 14 2m3 m4m2 1 m 2m2 1 28 4m2 1所以 。S1S2 2 4m2 1 m2 1 2m2 1 2设 t2 m21。则 2，S1S2 2t 1 t 1t2 2t2 t 1t2 1t2 1t当 ，即 t2 时， 取得最大值 ，1t 12 S1S2 94此时 m ，满足(*)式，22所以 P 点的坐标为 ，(22， 14)因此 的最大值为 ，此时点 P 的坐标为 。S1S2 94 (22， 14)答案 (1) x24 y21 (2)()见解析() 的最大值为 ， PS1S2 94 ( 22， 14)
