1、1固定利率住房抵押贷款定价探究摘 要:本文采用最小二乘回归蒙特卡洛模拟对固定利率住房抵押贷款进行定价研究。模型结合当前我国住房抵押贷款合同的具体条款和提前偿还特征,分析了住房抵押贷款的违约期权风险和违约概率,运用无风险套利原理得到住房抵押贷款的市场公允利率。结果表明,该模型可以为商业银行的房贷利率定价提供参考依据。 关键词:住房抵押贷款;蒙特卡洛模拟;违约风险 中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2008)03-0050-05 The Valuation of Mortgage Contract Rates Using LSM CHEN Yong1,HE Xue
2、-hui1,2 (1. College of Finance,Hunan University,Changsha 410079,China;2. Credit Center,Hunan University,Changsha 410079,China) Abstract:This paper presents a numerical procedure to price fixed-rate mortgage loans using least square Monte Carlo simulation. Given the pattern of mortgage prepayment rat
3、es,we calculate the value of mortgage default option. The non-2arbitrage theory is then applied to price mortgage contract rates. The results match with the empirical data well. Key words:mortgage loans;Monte Carlo simulation;default risk 1 引言 最近,建行、农行和光大银行相继推出了固定利率住房抵押贷款(Fixed-Rate Mortgage,FRM)。FR
4、M 的合同利率在整个贷款存续期内固定不变,不随市场利率的变动而变动。FRM 可以帮助借款人锁定借款成本,规避利率波动风险,满足市场对房贷产品的差别化和个性化的需求。我国当前的 FRM 通常都有关于提前偿还的限制条款,FRM 的主要风险是抵押物价值波动带来的违约风险。因此,分析 FRM 包含的违约风险,可以为我国 FRM 及其证券化产品的定价提供参考依据。 国外的相关研究表明,住房抵押贷款的主要风险是提前偿还风险和违约风险。一般说来,如果市场利率下降,借款人可能通过借新还旧,降低贷款的利息成本。由于贷款利率是事先确定的,一旦市场利率低于贷款利率,借款人的提前偿还行为将使贷款人面临再投资风险。因此
5、,住房抵押贷款的提前偿还风险具有看涨期权的性质。同样,如果房价下跌并且低于贷款余额,借款人将理性地选择违3约,并放弃作为抵押物的住房以避免更大损失,因此,住房抵押贷款的违约风险具有看跌期权性质。 国内外学者主要集中于研究借款人提前偿还和违约行为的决策模型,并运用期权理论进行定量分析。早期的定价模型只考虑住房抵押贷款的提前偿还风险而不考虑违约风险。20 世纪 80 年代以来,相关文献开始运用期权理论分析住房抵押贷款的违约风险。由于这些模型只考虑利率或房价对住房抵押贷款价值的影响,所以被称为单因子模型。20 世纪 90 年代以来,国外学者建立住房抵押贷款定价的双因子模型,同时分析住房抵押贷款的提前
6、偿还风险和违约风险,并运用数值分析方法对模型进行定量分析。为了更好地拟合提前偿还与违约行为的经验特征,后续研究从两方面进行扩展:一是在期权定价模型中引入交易成本和时滞等市场摩擦因子;二是运用历史数据建立提前偿还和违约行为的计量模型(econometric approach),然后对住房抵押贷款的现金流进行估计。这种方法也被称为简化模型(reduced-form approach)。 Foster & Van Order1较早地运用了期权理论对住房抵押贷款的违约风险进行定价分析。此后,Cunningham & Capone2和 Dennis et al.3对违约期权定价模型进行了扩展。国外经验表
7、明,房价和贷款成数(Loan to Value,LTV)是影响违约风险的主要因素。Capozza et 4al.4的实证研究表明,降低贷款成数可以有效地减少违约风险;反之,如果贷款成数较高,即使贷款人加强对借款人的资信审查,在控制违约风险方面的作用也十分有限。实践表明,房价下跌时,住房抵押贷款的违约风险显著上升。1991 年,日本房地产泡沫破灭,日本房价 15 年持续下跌,直接导致了大量的银行不良资产。 在数值方法方面,国内外学者主要运用有限差分法和二叉树法对实物期权进行数值求解。针对住房抵押贷款的提前偿还和违约风险的美式期权性质,国外的文献主要采用有限差分法进行数值分析,如 Kau et a
8、l.5和 Azevedo et al.6。在国内定价研究中,较为广泛地应用了数值分析方法对实物期权进行定价研究,但主要集中于可转换债券、公司债券和传统信贷产品的定价分析,没有考虑住房抵押贷款的分期付款和提前偿还特性,例如,龚朴、赵海滨和司继文7,范辛亭、方兆本8分别应用有限差分法和二叉树法对可转换债券进行定价。 我们将采用最小二乘回归蒙特卡洛模拟方法(Least Square Monte Carlo Simulation,LSM)分析住房抵押贷款违约期权的风险价值,并运用无风险套利原理,对 FRM 的利率进行定价分析。为了减轻计算的强度,提高计算的精度,我们使用了对偶变量法(Antitheti
9、c Variates)。 表 1 部分银行关于 FRM 提前偿还的限制条款银行名称5提前偿还违约金标准建设银行违约金约为贷款余额的2.6%。招商银行违约金根据贷款余额、剩余期限和利率变动情况确定,贷款余额越小、剩余期限越短、市场利率变动越小,违约金就越少。农业银行 3 年之内收取违约金,违约金根据提前偿还金额和剩余期限确定。光大银行 1 年之内收取违约金,为贷款余额的 3%。 陈勇,等:固定利率住房抵押贷款定价研究Vo1.27,No.3 预 测 2008 年第 3 期 虽然借款人可以在市场利率下降时通过借新还旧,降低借款成本,但我国住房抵押贷款的合同条款往往使提前偿还期权的执行无利可图,特别是
10、最近推出的 FRM 都有关于提前偿还的限制条款(见表1);其次,我国的存贷利差大,住房抵押贷款的提前偿还行为主要取决于借款人的收入水平,与利率的相关系数不是很大9。考虑以上两方面的原因,我们将使用房价单因子模型,主要分析违约期权的风险价值。 2 分析框架 2.1 住房抵押贷款现金流描述 违约期权的执行价格是住房抵押贷款的未偿余额,因此,分析借款人的提前偿还行为及其对住房抵押贷款现金流的影响是进行违约期权定价的基础。 当前,我国商业银行推出的 FRM 主要分为三个档次:3年期、5 年期和 10 年期。FRM 的偿还方式可分为等额本金6法和等额本息法。我国住房抵押贷款的偿还方式主要是等额本息法,每
11、月的还款额固定不变,贷款到期时,借款人正好还清贷款本息。每月还款额又称为月供,包括利息和部分本金,利息分月偿还,按年利率的十二分之一计算,因此,实际利率高于名义利率。在贷款存续期内,随着贷款本金余额逐月减少,月供中包含的利息额也逐月减少,而包含的本金逐月增加。 为了分析的方便,我们引入以下变量: i 为以月为单位的连续复合合同利率,由于住房抵押贷款的利息是逐月按年利率的十二分之一计算的。假设贷款年利率为 r,以月为单位的连续复合利率为 i=log1+r12。T为以月为单位表示的住房抵押贷款的期限。t 为以月为单位表示的住房抵押贷款的存续期,1tT。MBt 为 t 月初的未偿本金余额。在贷款发放
12、时,未偿本金余额 MB1 就等于贷款总额。我们假设每月的还款日为月末。在 t 月末,住房抵押贷款余额为 MBt(1+i)。MP 为月供,即事先确定的、没有提前偿还和违约行为的月还款额。 7根据贷款期限、贷款总额和贷款利率,运用年金计算公式可以得到借款人应缴纳的月供为 然而,由于借款人的提前偿还行为,住房抵押贷款产生的现金流具有不确定性。提前偿还模型主要有 PSA 模型(Public Securities Association)和固定提前偿还率模型(Constant Prepayment Rate,CPR)。PSA 模型是根据美国历史数据建立的、描述住房抵押贷款的提前偿还率的经验模型。100%
13、PSA 指第一个月的年提前偿还率为 0.2%,第二个月的年提前偿还率为 0.4%,依此类推,一直到第三十个月达到 6%,三十个月以后,提前偿还率一直保持 6%的水平。CPR 模型假设住房抵押贷款的提前偿还率在整个贷款存续期内始终不变,例如,12%CPR 表示住房抵押贷款的年提前偿还率始终为 12%。我国商业银行和投资者主要使用 CPR 模型。例如,国内的首单住房抵押贷款支持证券“建元 2005-1”的发行说明书披露了建行七个试点分行的个人住房抵押贷款的年提前偿还率在 11.36%至 26.20%之间,并以12.98%CPR 计算住房抵押贷款的加权平均期限。 根据住房抵押贷款的年提前偿还率,我们
14、可以计算住房抵押贷款的单月提前偿还率(Single Month Mortality,SMM),从而可以估计和预测住房抵押贷款的现金流。单月提前偿还率是指借款人当月提前偿还的本金占月初未偿本金的比例。已知住房抵押贷款的年提前偿还率8CPR,我们可以得到单月提前偿还率为 SMM=1-(1-CPR)1/12。为了提高模型的适用性,我们将分别考虑提前偿还率为 8%CPR、10%CPR、12%CPR 和 15%CPR 的情况。 2.2 最小二乘回归蒙特卡洛模拟 借款人的违约行为取决于房价、贷款余额以及贷款剩余期限。为了对违约期权进行定价,我们引入以下变量: LSM 方法最早由 Longstaff & S
15、chwartz10提出,该方法已成为目前使用蒙特卡洛模拟美式期权定价的标准方法,解决了蒙特卡洛模拟不能处理美式期权的难题。LSM 方法的基本原理是:根据基础资产的价格路径在每个时刻的截面数据,利用最小二乘回归法求得继续持有期权的收益期望值,并与立即执行期权的收益相比较,如果后者大于前者,则立即执行期权,否则,继续持有期权。 违约期权的执行价格是住房抵押贷款的余额,当房价低于住房抵押贷款的余额时,违约期权处于实值状态(in-the-money)。根据 Black & Scholes11提出的风险中性期权定价模型有 其中 E是风险中性概率下的条件期望算子。借款人可以选择在贷款存续期内的任何时点违约
16、,以使违约期权的价值最大化,因此,tT。设借款人继续持有期权(不立即执行期权)的价值为 由于立即执行期权的价值为 u(Ht,At),借款人的9目标函数就是实现期权价值的最大化,即 LSM 方法的核心在于应用线性回归估计继续持有期权的预期收益。在期权的存续期内,借款人不断比较立即执行期权的收益与继续持有期权的预期收益。运用当期基础资产的价格对继续持有期权的收益进行线性回归,可以得到继续持有期权的预期收益,即 Ee-ru(Ht+1,At+1)|Ht=kj=0jHtj 其中 k 为回归多项式的最高级数,j 为被估计参数,回归样本的大小等于基础资产路径中处于实值状态的路径的数量。根据以上回归模型,可以
17、得到继续持有期权的预期收益。如果 Ee-ru(Ht+1,At+1)|Htu(Ht,At),借款人的最佳策略是继续持有期权;相反,如果 Ee-ru(Ht+1,At+1)|Htu(Ht,At),借款人的最佳策略就是立即执行期权。我们采用了以下回归模型估计继续持有期权的预期收益 Ee-ru(Ht+1,At+1)|Ht=0+1Ht+2H2t 3 住房抵押贷款合同利率定价 3.1 数值模拟结果 为了减少计算强度,提高计算效率,我们采用对偶变量减方差技巧,产生了 20000 条房价路径。由于借款人可10以从房屋的居住中获得效用,相当于获得房屋租金,借款人只有在每月的还款日才会考虑是否选择违约,因此,在蒙特
18、卡洛模拟时我们使用的时间间隔为一个月。我们选取中经网公布的 1998 年至 2005 年的住房价格销售价格指数,对(1)式的参数 进行经验估计,得到房价的年增长率约为 5%。由于现在我国还没有住房租金率的统计数据,我们假设住房租金率约为 4%。也就是说,我们假设价格为 20 万元的住房的年租金为 8000 元左右。我们分别考虑了房价波动方差 2H 为 5%、10%和 15%的情况。 商业银行在对 FRM 定价时,主要考虑资金成本、经营费用以及贷款的违约风险,其中资金成本与经营费用构成银行的综合资金成本。为了计算银行贷款的资金成本,我们首先计算不同提前偿还假设下 FRM 的加权平均期限,然后根据
19、 FRM 的加权平均期限和银行存款利率期限结构,运用平滑样条技术(Smoothing Spline)确定银行资金成本。表 2 是 2006 年 8 月央行加息以后的银行定期存款利率。 由于住房抵押贷款具有分期偿还与提前偿还的特性,住房抵押贷款的加权平均期限远远低于贷款年限。银行的经营费用约为 1.82.4 之间12,我们取 2.0%作为银行的经营费用。表 3 是不同提前偿还率下贷款的加权平均期限以及银行的综合资金成本。如果银行发放的贷款没有违约风险,则 FRM 的合同利率应该等于银行的综合资金成本。11在数值模拟过程中,我们将采用银行综合资金成本作为风险中性利率,计算住房抵押贷款的违约期权价值
20、。 表 4 是贷款总额为 100000、期限为 10 年的 FRM 隐含的违约期权的风险价值,也就是预期违约损失。从表 4 可以看出,违约期权的价值为 20 至 7000 之间,占贷款总额的 7%以下;随着贷款成数和房价波动方差的增加,违约期权的价值迅速上升;提前偿还速度加快时,违约期权的价值显著下降。由于违约期权的执行价格等于贷款余额,因此,贷款成数上升时,违约期权的价值增加。房价波动方差较高时,房价下跌并且低于贷款余额的概率增加,从而导致违约期权的价值增加。当提前偿还率上升时,贷款余额下降的速度加快,导致违约期权的风险价值下降。 图 1 表示住房抵押贷款的累计违约率。从图中可以看出,住房抵
21、押贷款的违约风险主要出现在贷款后的 38 年之间,这与加拿大和美国的经验数据相符。在贷款初期,由于借款人支付了一定的首付款,房价大大低于贷款余额,违约概率几乎为零。而在贷款后的 38 年之间,虽然贷款余额随着贷款剩余期限的下降而下降,但房价波动将导致违约率上升。贷款后期,由于贷款余额持续下降,违约期权的价值渐渐消失,违约率接近于零。 123.2 住房抵押贷款合同利率定价 期权调整利差分析(Option-Adjusted Spread,OAS)是投资者常用的对隐含期权风险的金融产品定价的工具。OAS是隐含期权风险的固定收益产品的收益率与无风险利率之间的差异,即 OAS=rm-rf,其中,rm 是
22、包含期权风险的收益率,rf 是无风险利率。同理,根据违约期权的风险价值和无风险利率,我们可以推导出包含违约期权风险的房贷利率。 根据上述 LSM 方法可以得到违约期权的市场公允价值,依据无风险套利原理,商业银行以无风险利率发放 FRM 时,需要花费价值等于违约期权的成本对 FRM 的违约风险进行套期保值。由于 FRM 隐含了违约期权风险,FRM 的贷款利率应该高于无风险利率,并使得贷款利率高于无风险利率的部分正好可以弥补违约期权风险。设违约期权的风险价值为 F,商业银行首先以无风险利率借入资金 MB1,然后,以房贷利率 rm 发放住房抵押贷款 MB1-F,同时以价格F 向保险公司购买违约责任险
23、,对住房抵押贷款的违约期权风险进行套期保值。设商业银行借入资金的期限和住房抵押贷款的加权平均期限同为 T,无风险套利将使得以下公式13成立 根据违约期权的风险价值和合同条款,我们可以利用(2)式得到包含违约期权风险的 FRM 的贷款利率(见表 5)。表 5 是不同提前偿还假设下的 FRM 的利率。这与我国当前商业银行实行的 FRM 利率非常接近。例如,在 2006 年 8 月央行放宽住房抵押贷款的利率下限后,北京建行、光大银行和农行推出的 10 年期 FRM 的利率分别为6.39%7.02%、6.12%6.65%和 6.25%7.75%。 4 小结 FRM 的利率主要取决于银行存款利率、经营费
24、用和违约期权的风险价值,而 FRM 的违约期权的风险价值主要受提前偿还率、贷款成数和房价波动周期的影响。运用 LSM 方法可以较为准确地对 FRM 的违约期权风险和违约概率进行估计和预测,从而可以为商业银行依据借款人的特征、贷款合同条款和经济条件等因素制定差异化的贷款利率提供参考依据。 参 考 文 献: 1Foster C,Van Order R. FHA terminations:a prelude to rational mortgage pricingJ. Journal of Areuea,1985,13:273-291. 2Cunningham D,Capone C. The rel
25、ative termination experience of adjustable to fixed rate 14mortgagesJ. Journal of Finance,1990,45(5):1687-1703. 3Dennis B,Kuo C,Yang T. Rationales of mortgage insurance premium structuresJ. Journal of Real Estate Research,1997,14(3):359-378. 4Capozza D R,Kazarian D,Thomson T A. The conditional proba
26、bility of mortgage defaultJ. Real Estate Economics,1998,26(3):12-31. 5Kau J B,Keenan D C,Muller W J ,et al Option theory and floating-rate securities with a comparison of adjustable and fixed-rate mortgagesJ. Journal of Business,1993,66(4):25-35. 6Azevedo-Pereira J A,Newton D A,Paxson D A. Fixed rat
27、e repayment mortgage and mortgage indemnity valuationJ. Real Estate Economics,2002,30:120-143. 7龚朴,赵海滨,司继文.可转换债券定价的有限元方法J.数量经济技术经济研究,2004,21(2):104-110. 8范辛亭,方兆本.随机利率条件下可转换债券定价模型的经验检验J.中国管理科学,2001,9(6):7-14. 9樊相如,窦晓飞.浅析我国住房抵押贷款中的提前15还款风险J.黑龙江社会科学,2002,12(1):33-34. 10Longstaff F A,Schwartz E S. Valui
28、ng American options by simulation:a simple least squares approachJ. Review of Financial Studies,2001,14(1):145-167. 11Black F,Scholes M. The pricing of options and corporate liabilitiesJ. Journal of Political Economy,1973,81:179-201. 12粱凌,王修华.银行贷款风险的“翘板效应”J.管理科学,2006,9(2):72-78. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF格式阅读原文”