1、1ANALISIS FRACTAL DE DOS ESTRUCTURAS MESOAMERICANAS.GERARDO BURKLE ELIZONDO.Universidad Autnoma de Zacatecas, Doctorado en Historia. Unidad de PostgradoII. Av. Preparatoria s.n., C.P. 98060, Col. Hidrulica, Zacatecas, Zac. Mxico.E-mail: Introduccin. Este estudio pertenece a uno mayor que es de hecho
2、 mi tesis doctoral, la cual se encuentra en proceso, misma que se titula: “Pensamiento Matemtico y Arqueoastronmico Maya. Paralelismos con Teora de Caos, Fractales y Complejidad”.En un reporte previo he comunicado (1) los resultados del anlisis de dimensin fractal de 90 imgenes pertenecientes a la e
3、scultura, la arquitectura y el arte mesoamericanos, principalmente maya. En dicho estudio fue analizada una sola de las vistas de cada estructura considerada. En este reporte comunicamos los resultados del anlisis fractal practicado a dos estructuras monumentales, la Coatlicue perteneciente a la cul
4、tura Azteca, y la Estela A de Copn de la cultura Maya, mismas que han sido estudiadas como conjunto, es decir, considerando no solo la cara anterior, sino posterior, laterales y en el caso de la primera, tambin la inferior o base.En ms de 130 figuras analizadas hasta ahora, que hemos dividido en 10
5、grupos: 1. Tableros de Palenque, 2. Estelas Mayas, 3. Jeroglifos Mayas, 4. Pirmides Mayas y Mexicas, 5. Pginas de cdices diversos correspondientes a Tonalamatl, 6. Paginas diversas de Cdice Dresden, 7. Monumentos de piedra (vista frontal), 8. Piedras Astronmicas circulares, 9. Secciones de varios mu
6、rales mesoamericanos y 10. Vasos mayas y otras figuras, todas han resultado con una dimensin fractal alta, que de hecho hasta ahora en nuestros resultados preliminares hemos podido ubicar en el rango entre 1.803 y 2.277, estando la mayora entre 1.9 y 2.Lo anterior creo que podra interpretarse en pri
7、mer lugar como el hallazgo de dimensin fractal alta a muy alta como una constante en los elementos de Mesoamrica estudiados si tomamos en cuenta que la dimensin fractal de los objetos fractales est ubicada entre 1.0 y 2.0. En segundo lugar la “complejidad” elevada de las estructuras podra estar indi
8、cando varias cosas. El desarrollo a propsito de elementos complejos como una caracterstica cultural. La existencia, como resultado de lo anterior, de un patrn o marcador, que en el caso de un anlisis fractal se est ubicando en una dimensin alta, y, sobre todo, estos resultados parecen arrojar hasta
9、ahora la confirmacin de la tesis ya expuesta por varios autores quienes han realizado estudios geomtricos de las mismas y otras estructuras mayas y mesoamericanas: el uso por parte de quienes realizaron stas obras de “unidades”, que la historia ha llamado “unidades de oro”, “divina proporcin” o “rec
10、tngulos y espirales ureas” por ejemplo.Al respecto podramos citar el libro de Beatrz de la Fuente (2) en relacin al estudio geomtrico de las cabezas colosales Olmecas en donde report el hallazgo del uso de rectngulos ureos en su diseo. Margarita Martnez del Sobral (3) en su esplndido libro sobre la
11、geometra mesoamericana en el que analiza mltiples clases de estructuras, 2demuestra ampliamente cmo, para la elaboracin de las mismas, fueron utilizados patrones de medida entre los que estn varios tipos de rectngulos ureos, espirales ureas y otros sistemas de medicin cuyo despliegue dinmico proporc
12、ionalmente creciente en forma rotativa, funcionan como mdulos estandarizados de diseo y medida para su aplicacin al parecer en los proyectos artsticos y de construccin.En su libro Martnez habla tambin de las series crecientes de “Fibonacci” y menciona el uso extensivo de muchos ngulos de giro que fu
13、eron utilizados en Mesoamrica tanto para su aplicacin en el arte, como en la arquitectura y el urbanismo. Tanto Martnez del Sobral como De la Fuente demostraron que en el mundo prehispnico un sistema como ste fue utilizado constantemente por muchas de las culturas a lo largo del tiempo como un esque
14、ma geomtrico bien desarrollado por los tlacuilos, artistas, escultores y arquitectos como una herramienta universal de composicin, reglas que al parecer fueron transmitidas como una tradicin de una generacin a otra.La Teora de Caos y Fractales.-Las teoras de “caos y fractales” son parte de las fisic
15、omatemticas ms novedosas y avanzadas y se aplican desde hace muchos aos a mltiples y variadas reas de la ciencia.Caos se refiere a “sistemas dinmicos complejos”, es decir, no-lineales, lejos del equilibrio y sujetos al azar, aun que gobernados por leyes deterministas que generan un orden implcito tr
16、as de la incertidumbre. Los elementos de stos sistemas son, digamos, succionados por cuencas de atraccin que al final de la trayectoria habrn descrito un “atractor extrao” cuya geometra digital forma lo que se llama un “fractal”.Las trayectorias de dichos sistemas son muy “sensibles a las condicione
17、s iniciales” y transitan por un camino de bifurcaciones con zonas deterministas de “iteracin” o cambio de direccin regido por stas leyes de caos determinista. Este tipo de sistemas caticos es un claro ejemplo del vnculo que existe entre el poder del orden matemtico, la naturaleza y el mundo.Un siste
18、ma es un conjunto de dos o ms elementos que constituyen un todo, de manera que sus partes estn organizadas a travs de una interrelacin de orden lgico, aun que en un sistema muy complejo ste orden a veces es muy difcil de discernir. Las matemticas de caos pertenecen a ste tipo de sistemas en los que
19、el orden surge a partir de un caos aparente. Jack Cohen (4) define “complejidad” de un sistema como “la cantidad de informacin necesaria para describirlo”.En la obra escrita sobre “caos” aplicado a la medicina y la biologa (5), hice mencin en forma amplia sobre las caractersticas que, a partir de la
20、 teora de la complejidad, tiene un “sistema complejo” y que me permitir citar aqu para precisar varios de los conceptos indispensables para entender ste aspecto.Los sistemas complejos funcionan y se estructuran como un todo, estando continuamente en proceso de adaptacin y buscando su autonoma de man
21、era descentralizada mediante una jerarqua sincrnica y de conjunto, evolucionando hacia una mayor complejidad mediante un comportamiento basado en ecuaciones no-lineales, es decir que no hay una dinmica causa efecto ni estmulo respuesta como base de su funcionamiento, lo cual favorece su evolucin hac
22、ia la autoorganizacin, que quiz sea su principal caracterstica o propiedad “emergente” en que, endogenamente, a partir del desorden surge la armona en ese punto crtico de la ruta intermedia entre el interior y el 3exterior del sistema, o sea entre el orden interno y el desorden externo, ya que ste s
23、e encuentra a la vez interconectado entre s y con otros. Aun as se respeta la autonoma de las subestructuras y del entorno, pese a que son muchos los componentes y las relaciones existentes, funcionando como una red sincrnica.Lo anterior permite que la informacin arribe a cualquier parte de su estru
24、ctura, tipo de geometra que siendo aparentemente impredecible y no causal, mantiene patrones que contienen significados lgicos y organizados aun que complejos, y que actan junto con las leyes del caos en los puntos de iteracin o cambio de las trayectorias del sistema durante su funcionamiento. Esto
25、hace que el sistema descrito en una grfica adquiera caractersticas topolgicas y temporales muy particulares y propias, a lo cual se llama “atractor”, que es la fuerza que dirige al sistema hacia s para que ste describa su trayectoria y de sta manera tome forma cuyo aspecto geomtrico ha sido llamado
26、“fractal” por Benoit Mandelbrot lo cual describe ampliamente en su obra clsica (6).Podramos decir que la geometra fractal es la cara geomtrica del “caos” y de lo “complejo”, en la que el surgimiento de las estructuras se da por algoritmos particulares cada uno de los cuales tiene un cdigo matemtico
27、heredero del mensaje original fundamental, cdigos ideogrficos que son llamados “transformaciones generales de afinidad”, y que constituyen en s un grupo de instrucciones para avanzar, girar, incrementar, dividirse, multiplicares, distorsionarse etc. Las curvas y puntos de esa estructura detallada qu
28、e forma el fractal, son autosimilares, es decir, continuarn observndose los detalles en diferentes escalas de mltiplos y submltiplos de ella misma como un reflejo especular de s misma en distintas dimensiones, y con magnitudes exponenciales crecientes, incluso de las provenientes de ecuaciones que n
29、o manejen enteros, sino fracciones.Esta clase de patrn presente a todas las escalas da lugar a ese tipo de propiedades de las que habl antes, ya que favorecen que el sistema se comporte como un conjunto o red sin importar la profundidad que se alcance, tipo de “totalidad” a la que David Bohom (7) ha
30、 llamado “holomovimiento”, y que es en s la razn que permite a la materia emerger, desde la organizacin de sus partculas subatmicas, en una forma constante y ordenada, a lo que este fsico asigna el calificativo de “superorden implicado”, refirindose a ese todo “holstico” (de holograma) en que la suc
31、esin de procesos que forman estos detalles fractales, son en s funciones generadoras de orden primero de manera local escaln por escaln, y en s a todos los niveles hasta surgir y ser percibido como un objeto nico e inseparable, forma en que se organiza la materia y emerge la forma. A la teora que ex
32、plica la “morfognesis” y que puede acompaar a un sistema catico, se le conoce como “teora de catstrofes”, y su creador es Ren Thom (8), misma que ha sido especialmente til para entender por ejemplo la embriognesis desde lo ontolgico.Sobre el Mtodo de Anlisis.-El sistema que se emple para efectuar el
33、 anlisis de las figuras fue el “programa Benoit”, utilizado para estudio de dimensiones fractales en la geometra de los objetos considerados. Dentro de las posibilidades que el programa ofrece, se escogieron tres de los mtodos: 1. Dimensin de Caja, 2. Dimensin de Informacin y 3. Dimensin de Masa. En
34、 cada caso tambin se obtuvo la ecuacin con el valor de “Y” y su exponente.4Estos tres mtodos pertenecen al “anlisis autosimilar del patrn X”. Para que lo anterior sea mejor comprendido me referir a algunos de sus principales aspectos: Primero, basndonos en algunos de los principales conceptos de la
35、teora de caos, es importante tener en cuenta que el surgimiento del orden es considerado a partir del desorden y cuyo resultado es la complejidad misma, y segundo, los fractales son “la geometra del caos”, pero de una clase especial de caos en el que el orden emerge mediante leyes que gobiernan la d
36、escripcin autosimilar del sistema con base en paradigmas deterministas aun que admiten influencias externas al sistema y azar.Empezando por referirnos a las propiedades de un fractal y que le dan sus caractersticas, tenemos:1. El valor de su dimensin est entre 1 y 2 dependiendo del espacio ocupado p
37、or la trayectoria y su dinmica (dimensin Hausdorff-Besicovith).2. Otra de sus caractersticas es la autosimilitud lo cual significa que la forma no cambia aun que la escala lo haga, en especial en aquellos en los que complejidad aumenta como es el caso de fractales no-lineales cuyo valor est cercano
38、al 2.3. Esta autosimilitud implica de hecho una relacin potencial entre la amplitud y la medicin o escala.4. Su dimensin es fraccional o fractal, es decir, no tiene que ser un nmero entero.5. Tienen longitud infinita, lo cual implica la presencia en el fractal de una escala de caractersticas invaria
39、ntes y propiedades estadsticas en una curva en la que opera un factor escalante cuyo valor est entre 1 y 2 conocido como “exponente de Hurst”.Esta escala invariante y sus patrones puede ser obtenida y comprobada examinando los sets de figuras en diferentes extensiones de escalas o escalantes, lo cua
40、l puede ser hecho con el “Sistema Benoit de Anlisis Fractal” que en este trabajo fue utilizado para obtener la informacin verificando, primero, si las figuras en estudio son en efecto fractales o no, observando los resultados de las diferentes mediciones de dimensin fractal mencionadas, y obteniendo
41、 el exponente. Se observ tambin la posible existencia de un patrn reconocible o dentro de un rango determinado que pudiese estar indicando un posible marcador o unidad.Las Dimensiones.- El “Mtodo de Interfase de Estimacin de Dimensin de Caja” del programa Benoit, en s lo que nos muestra es el nmero
42、de “cuadros o cajas” en distintas escalas, o sea de distintos anchos, necesarias para cubrir el set en los puntos distribuidos en un plano de dos dimensiones. En este programa cada caja y red giran rotando 90 grados conforme la maya se divide hasta obtener un valor mnimo de la dimensin “X”.El “Mtodo
43、 de Interfase de Estimacin de Informacin” asigna de hecho “peso” a las cajas en base al nmero de puntos contenidos en cada una que, dado que es diferente y en algunas partes de la figura existe menos informacin que en otras, se refiere a la “entropa” de la misma en esos trminos, ya que la informacin
44、 vara segn la masa contenida en cada caja.El “Mtodo de Interfase de Estimacin de Masa” implica el nmero de puntos que encontramos dentro de un crculo en un punto dado de la figura vista en dos dimensiones en que a partir de la existencia de un centro, las mediciones se estn efectuando en crculos cuy
45、os radios se van incrementando.5Los tres mtodos de anlisis a la vez nos estn revelando el grado de complejidad del elemento analizado, y la estimacin de las dimensiones de caja y masa estn tambin en relacin con el anlisis de un posible patrn de autosimilitud. En la grfica, la dimensin fractal es exp
46、resada como la pendiente obtenida. El factor “Y” expresa la lagunaridad o relacin de espacios vacos contra los ocupados; el exponente de la ecuacin representa la dimensin fractal.RESULTADOS.-Coatlicue.-En la Tabla 1 podemos ver los valores obtenidos para la Dimensin de Caja (DC), la Dimensin de Info
47、rmacin (DI) y la Dimensin de Masa (DM) en cuatro ngulos estudiados: Cara frontal, cara posterior, cara lateral y cara inferior o base. Figura 1.CARA DC DI DMAnterior 1.922 D.S.0.002 1.906D.S.0.006 1.870D.S.0.010Posterior 1.949D.S.0.008 1.945D.S.0.004 1.995D.S.0.059Lateral 1.947D.S.0.015 1.941D.S.0.0
48、07 1.964D.S.0.102Inferior 1.938D.S.0.009 1.930D.S.0.005 1.920D.S.0.040Promedios 1.939D.S.0.008 1.930D.S.0.005 1.937D.S.0.052A B C D Figura 1. Coatlicue. Caras sujetas a anlisis fractal.(Dibujos A y C Len y Gama, B y D Gerardo Burkle).En el caso de las esculturas, en que cada cara estudiada resulta tener una dimensin fractal propia y diferente al resto, podemos hablar de mu
