1、1高考达标检测（十九） 正、余弦定理的 3 个基础点边角、形状和面积一、选择题1(2017兰州一模)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若b2 asin B，则 A( )A30 B45C60 D75解析：选 A 因为在锐角 ABC 中， b2 asin B，由正弦定理得， sin B2sin Asin B，所以 sin A ，又 0A90，所以 A30，故选 A.122(2017浙江金丽衢十二校联考)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，若 ，则该三角形的形状是( )cos Acos B ba 2A直角三角形 B等腰三角形C等边
2、三角形 D钝角三角形解析：选 A 因为 ，由正弦定理得 ，所以 sin 2Asin 2B.由cos Acos B ba cos Acos B sin Bsin A ，可知 a b，所以 A B.又 A(0，)， B(0，)，所以 2A1802 B，即ba 2A B90，所以 C90，于是 ABC 是直角三角形故选 A.3(2017太原模拟)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若b2 c2 a2 bc，且 b a，则下列关系一定不成立的是 ( )3 3A a c B b cC2 a c D a2 b2 c2解析：选 B 由余弦定理，得 cos A ，则 A30.又
3、b2 c2 a22bc 3bc2bc 32b a，由正弦定理得 sin B sin A sin 30 ，所以 B60或 120.当3 3 332B60时， ABC 为直角三角形，且 2a c，可知 C，D 成立；当 B120时， C30，所以 A C，即 a c，可知 A 成立，故选 B.4(2016唐山一模)在直角梯形 ABCD 中， AB CD， ABC90， AB2 BC2 CD，则cos DAC( )A. B.1010 310102C. D.55 255解析：选 B 如图所示，设 CD a，则易知 AC a， AD a，在5 2 ACD 中， CD2 AD2 AC22 ADACcos
4、DAC， a2( a)2( a)2 522 a acos DAC，cos DAC .2 5310105在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为 S，且2S( a b)2 c2，则 tan C 等于( )A. B.34 43C D43 34解析：选 C 因为 2S( a b)2 c2 a2 b2 c22 ab，则由面积公式与余弦定理，得absin C2 abcos C2 ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，所以 4，解得 tan C 或 tan sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C c
5、os2C tan2C 4tan C 4tan2C 1 43C0(舍去)，故选 C.6在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b2 a2 bc， A ，则角 6C( )A. B. 6 4C. 或 D. 或 6 34 4 34解析：选 B 在 ABC 中，由余弦定理得 cos A ，即 ，所b2 c2 a22bc 32 b2 c2 a22bc以 b2 c2 a2 bc.又 b2 a2 bc，所以 c2 bc bc，即 c( 1) bb，则 a3 3 3b，所以 cos C ，解得 C .故选 B.2 3b2 a2 c22ab 22 4二、填空题7(2017吉林三校联考
6、)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若b2 c22 a2，则 cos A 的最小值为_解析：因为 b2 c22 a2，则由余弦定理可知 a22 bccos A，所以 cos A a22bc 12 (当且仅当 b c 时等号成立)，即 cos A 的最小值为 .b2 c22bc 12 2bc2bc 12 123答案：128在 ABC 中， A ， AC4， BC2 ，则 ABC 的面积等于_ 3 3解析：由正弦定理 ，得 ，解得 sin B1， B ，所以 ABCBCsin A ACsin B 2332 4sin B 2为直角三角形，所以 AB 2，所以 S A
7、BC ABBC 22 2 .AC2 BC212 12 3 3答案：2 39(2016北京高考)在 ABC 中， A ， a c，则 _.23 3 bc解析：在 ABC 中， A ，23 a2 b2 c22 bccos ，即 a2 b2 c2 bc.23 a c，3 c2 b2 c2 bc， b2 bc2 c20，3( b2 c)(b c)0， b c0， b c， 1.bc答案：1三、解答题10(2016天津高考)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 asin 2B bsin A.3(1)求 B；(2)若 cos A ，求 sin C 的值13解：(1)由
8、 asin 2B bsin A 及正弦定理得32asin Bcos B bsin A asin B，3 3所以 cos B ，所以 B .32 6(2)由 cos A ，可得 sin A ，则13 223sin Csin( A B)sin( A B)sin (A 6) sin A cos A32 124 .26 1611在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 csin B bcos C3.(1)求 b；(2)若 ABC 的面积为 ，求 c.212解：(1)由正弦定理得 sin Csin Bsin Bcos C，又 sin B0，所以 sin Ccos C， C4
9、5.因为 bcos C3，所以 b3 .2(2)因为 ABC 的面积 S acsin B ， csin B3，12 212所以 a7.又 c2 a2 b22 abcos C25，所以 c5.12(2017武昌调研)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证： a， b， c 成等比数列；(2)若 b2，求 ABC 的面积的最大值解：(1)证明：在 ABC 中，cos Bcos( A C)由已知，得(1sin 2B)cos( A C)1cos Acos C，sin 2B(cos Acos Csin Asin C)cos Acos C，化简，得 sin2Bsin Asin C.由正弦定理，得 b2 ac， a， b， c 成等比数列(2)由(1)及题设条件，得 ac4.则 cos B ，a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12当且仅当 a c 时，等号成立0 B，sin B .1 cos2B1 (12)2 32 S ABC acsin B 4 .12 12 32 3 ABC 的面积的最大值为 .3
