1、1高考达标检测（二十） 正、余弦定理的 3 个应用点高度、距离和角度一、选择题1.(2017东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )A a km B. a km2C2 a km D. a km3解析：选 D 依题意知 ACB1802040120，在 ABC 中，由余弦定理知 AB a(km)，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 a km.a2 a2 2aa( 12) 3 32.如图所示为起重机装置示意图，支杆 BC10 m，吊杆
2、AC15 m，吊索 AB5 m，起吊的货物与岸的距离 AD 为( )19A30 m B. m1532C15 m D45 m3解析：选 B 在 ABC 中， AC15 m， AB5 m， BC10 m，19由余弦定理得 cos ACBAC2 BC2 AB22ACBC .152 102 519 221510 12sin ACB .32又 ACB ACD180.sin ACDsin ACB .32在 Rt ADC 中， AD ACsin ACD15 m.32 15323(2017江西联考)某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高
3、层的高度为( )A20 m B20(1 )m(1 33) 3C10( )m D20( )m2 6 2 6解析：选 B 如图，设 AB 为阳台的高度， CD 为小高层的高度， AE 为水平线由题意知 AB20 m， DAE45， CAE60，故 DE20 2m， CE AEtan 6020 m所以 CD20(1 )m.故选 B.3 34如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )A8 km/h B6 km/
4、h2C2 km/h D10 km/h34解析：选 B 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.61 35 452 21 22 21 ，解得 v6 .(110v) (1102) 110 45 25.(2017武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A14 h B15 hC16 h D17 h解析：选 B 记现在热带风暴中心的位置为点
5、 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在 OAB 中， OA600， AB20 t， OAB45，根据余弦定理得OB2600 2400 t2220 t600 ，令 OB2450 2，即 4t2120 t1 5750，解得22 2 t ，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302 152 302 152 15(h)，故选 B.302 152 302 1526一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是
6、( )A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选 A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， A60，AC h， AB100， BC h，根据余弦定理得，( h)2 h2100 22 h100cos 60，3 33即 h250 h5 0000，即( h50)( h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.二、填空题7.(2017郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角 CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 m 至 S 点，又测得山顶仰角 DSB75，则山高 BC 为_ m.解析：由题图知 BAS453015， ABS451530， ASB135，
7、在 ABS 中，由正弦定理可得 ，1 000sin 30 ABsin 135 AB1 000 ，2 BC 1 000.AB2答案：1 0008.如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和BB1.已知从塔 AA1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为_；塔 BB1的高为_ m.解析：设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，则 AA160tan ， BB160tan 2 .从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，
8、 A1ACCBB1， ， AA1BB1900，3 600tan tan 2 900，tan (负值舍AA130 30BB1 13去)，tan 2 ， BB160tan 2 45.34答案： 45139.如图，为了测量河对岸 A， B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A， B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A， C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B， C.并测量得到一些数据： CD2， CE2 ， D45， ACD105，3 ACB48.19， BCE75， E60，则 A， B 两点之间的距离为_.(其 中 cos 48.19取 近 似 值 2
9、3)解析：依题意知，在 ACD 中， A30，4由正弦定理得 AC 2 .CDsin 45sin 30 2在 BCE 中， CBE45，由正弦定理得 BC 3 .CEsin 60sin 45 2在 ABC 中，由余弦定理 AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB10，所以 AB .10答案： 10三、解答题10.已知在东西方向上有 M， N 两座小山，山顶各有一个发射塔A， B，塔顶 A， B 的海拔高度分别为 AM100 米和 BN200 米，一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 米后到达点 Q，在点 Q
10、 处测得发3射塔顶 B 处的仰角为 ，且 BQA ，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A， B 之间的距离解：在 Rt AMP 中， APM30， AM100， PM100 ，在 PQM 中， QPM60，3又 PQ100 ，3 PQM 为等边三角形， QM100 .3在 Rt AMQ 中，由 AQ2 AM2 QM2，得 AQ200.在 Rt BNQ 中，tan 2， BN200， BQ100 ，cos .555在 BQA 中， BA2 BQ2 AQ22 BQAQcos (100 )2， BA100 .5 5即两发射塔顶 A， B 之间的距离是 100 米511某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救
11、信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. (sin 21.83314)解：如图所示，根据题意可知 AC10， ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则AB21 t， BC9 t，在 ABC 中，根据余弦定理得AB2 AC2 BC22 ACBCcos 120，所以212t210 281 t22109 t ，125即 360
12、t290 t1000，解得 t 或 t (舍去)23 512所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.23此时 AB14， BC6.在 ABC 中，根据正弦定理，得 ，BCsin CAB ABsin 120所以 sin CAB ，63214 3314即 CAB21.8或 CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮2312某高速公路旁边 B 处有一栋楼房，某人在距地面 100 米的 32 楼阳台 A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15方向上，且俯角为 30的C 处，10 秒后测得该客车
13、位于楼房北偏西 75方向上，且俯角为 45的 D 处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速 80 千米/时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向 E 处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在 Rt ABC 中， BAC60， AB100 米，则 BC100 米3在 Rt ABD 中， BAD45， AB100 米，则 BD100 米在 BCD 中， DBC751590，则 DC 200 米，BD2 BC2所以客车的速度 v 20 米/秒72 千米/时，CD10所以该客车没有超速(2)在 Rt BCD 中， BCD30，又因为 DBE15，所以 CBE105，所以 CEB45.在 BCE 中，由正弦定理可知 ，EBsin 30 BCsin 456所以 EB 50 米，BCsin 30sin 45 6即此时客车距楼房 50 米6
