1、1配餐作业(四十三) 空间几何体的表面积与体积(时间：40 分钟)一、选择题1将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A4 B3C2 D解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为 1，高为 1，其侧面积S2 rh2112。故选 C。答案 C2用平面 截球 O 所得截面圆的半径为 3，球心 O 到平面 的距离为 4，则此球的表面积为( )A. B.1003 5003C75 D100解析 依题意，设球半径为 R，满足 R23 24 225， S 球 4 R2100。故选 D。答案 D3(2016安庆二模)一个几何体的三视图如图所示，其体积为(
2、)A. B.116 116 3C. D.32 12解析 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，2其体积为 V 212 111 ，故选 A。12 13 12 116答案 A4(2016北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. B.16 13C. D112解析 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥 A BCD，将其放在长方体中如图所示，其中 BD CD1， CD BD，三棱锥的高为 1，所以三棱锥的体积为 111 ，13 12 16故选 A。答案 A5在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB， AC， AD 两两垂直， ABC， ACD， ADB 的面积分别为 ，
3、， ，则三棱锥 A BCD 的外接球的体积为( )22 32 62A. B2 6 6C3 D4 6 6解析 三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB， AC， AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径。设长方体同一顶点处的三条棱长分别为 a， b， c，由题意得： ab ， ac ， bc ，6 3 2解得 a ， b ， c1，3 2所以球的直径为 ， 3 2 2 2 1 63它的半径为 ，球的体积为 3 。故选 A。62 43(62) 6答案 A6.如图，正方体 ABCDA B C D的棱长为 4，动点 E， F 在棱 AB 上，且 EF2，动点 Q 在棱
4、D C上，则三棱锥 A EFQ 的体积( )A与点 E， F 位置有关B与点 Q 位置有关C与点 E， F， Q 位置都有关D与点 E， F， Q 位置均无关，是定值解析 因为 VA EFQ VQ A EF 4 ，故三棱锥 A EFQ 的体积13 (1224) 163与点 E， F， Q 的位置均无关，是定值。故选 D。答案 D二、填空题7某几何体的三视图如图所示，则其体积为_。解析 该几何体为一个半圆锥，故其体积为 V 1 22 。13 12 3答案 38(2016天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m 3。4解析 根据三视图
5、可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m、高为 1 m 的平行四边形，四棱锥的高为 3 m，故其体积为 2132(m 3)。13答案 29(2016河南八市质检)正方形 ABCD 的边长为 4，点 E， F 分别是边 BC， CD 的中点，沿 AE， EF， FA 折成一个三棱锥 B AEF(使点 B， C， D 重合于点 B)，则三棱锥 B AEF 的外接球的表面积为_。解析 沿 AE， EF， FA 折成一个三棱锥 B AEF，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体 B AEF 的外接球的直径为以 BA， BE， BF 为棱的长方体的体对角线，则长方体的体对角线 2R 2 ，所以 R ，故四面体
6、 B AEF 的外接球BA2 BE2 BF2 42 22 22 6 6的表面积为 S4( )2 24。6答案 24三、解答题10如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)。(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积。解析 (1)这个几何体的直观图如图所示。(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q A1D1P 的组合体。5由 PA1 PD1 cm， A1D1 AD2 cm，可得 PA1 PD1。故所求几何体的表面积2S52 222 2 ( )2224 (cm2)，212 2 2体积 V2 3 ( )2210(cm 3)。12 2答案 (1
7、)见解析 (2)表面积为(224 ) cm22体积为 10 cm311.如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AB DC， AD AB，侧棱 SA底面 ABCD，且 SA2， AD DC1，点 E 在 SD 上，且 AE SD。(1)证明： AE平面 SDC；(2)求三棱锥 B ECD 的体积。解析 (1)证明：因为侧棱 SA底面 ABCD， CD底面 ABCD，所以 SA CD。因为底面 ABCD 是直角梯形， AB DC， AD AB，所以 AD CD。又 AD SA A，所以 CD侧面 SAD。又 AE侧面 SAD，所以 AE CD。又 AE SD， CD SD
8、 D，所以 AE平面 SDC。(2)由(1)知， CD平面 ASD，所以 CD SD，所以 S EDC EDDC。12在 Rt ASD 中， SA2， AD1， AE SD，所以 ED ， AE ，所以 S15 25EDC 1 。12 15 510Error!AB平面 SCD，故点 B 到平面 SCD 的距离等于点 A 到平面 SCD 的距离 AE，故VB ECD S ECDAE 。13 115答案 (1)见解析 (2)115(时间：20 分钟)61(2017营口模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B383C. D6103解析 由三视图可知，此几何体(如图所示)是
9、底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，所以 V 1 243。故选14 34B。答案 B2. (2016浙江高考)如图，在 ABC 中， AB BC2， ABC120。若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD DA， PB BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是_。解析 由 AB BC2， ABC120，可得 AC2 ，要求四面体 PBCD 的体积，关键3是寻找底面三角形 BCD 的面积 S BCD和点 P 到平面 BCD 的距离 h。易知 h2。设 AD x，则 DP x， DC2 x， S DBC (2 x)2sin30 ， 其312 3
10、 23 x2中 x(0,2 )，且 h x，所以 VP BCD S BCDh h x313 23 x6 23 x6 162 ，当且仅当 2 x x，即 x 时取等号。故四面体 PBCD 的体积的最大(23 x x2 ) 12 3 3值是 。127答案 123(2017江西师大附中模拟)已知边长为 2 的菱形 ABCD 中， BAD60，沿对角3线 BD 折成二面角 A BD C 的大小为 120的四面体，则四面体的外接球的表面积为_。解析 如图，取 BD 的中点 E，连接 AE， CE。由已知条件可知，面 ACE面 BCD。易知外接球球心在平面 ACE 内，如图，在 CE 上取点 G，使 CG
11、2 GE，过点 G 作 l1垂直于CE，过点 E 作 l2垂直于 AC，设 l1与 l2交于点 O，连接 OA， OC，则 OA OC，易知 O 即为球心。分别解 OCG， EGO 可得 R OC ，外接球的表面积为 28。7答案 284(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍。(1)若 AB6 m， PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解
12、析 (1)由 PO12 知 O1O4 PO18。因为 A1B1 AB6，所以正四棱锥 P A1B1C1D1的体积 V 锥 A1B PO1 62224(m 3)。13 21 13正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积 V 柱 AB2O1O6 28288(m 3)。所以仓库的容积 V V 锥 V 柱 24288312(m 3)。(2)设 A1B1 a m， PO1 h m，则 00， V 是单调递增函数；3当 2 h6 时， V0， V 是单调递减函数。3故 h2 时， V 取得极大值，也是最大值。3因此，当 PO12 m 时，仓库的容积最大。3答案 (1)312 m 3 (2)当 PO12 m 时，仓库的容积最大3
