1、1课时作业 46 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1一条直线和一个圆的两条直径都垂直，则这条直线和这个圆所在的平面的位置关系是( )A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定解析：因为一个圆的两条直径一定相交于圆心，由线面垂直的判定定理知这条直线和这个圆所在的平面垂直答案：B2已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线 m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A AB m B AC mC AB D AC 解析：如图所示， AB l m； AC l， m lAC m； AB lAB ，只有 D 不一定成立，故选 D.答案：D3设 m、 n 是两
2、条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则( )A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 解析：A 中，由 m n， n ，可得 m 或 m 或 m 与 相交，错误；B 中，由m ， ，可得 m 或 m 或 m 与 相交，错误；C 中，由 m ， n ，可得 m n，又 n ，则 m ，正确，D 中，由 m n， n ， ，可得 m 与 相交或 m 或 m ，错误2答案：C4如图，已知 ABC 为直角三角形，其中 ACB90， M 为 AB 的中点， PM 垂直于ABC 所在平面，那么( )A PA PBPCB P
3、A PBPCC PA PB PCD PA PB PC解析： M 为 AB 的中点， ACB 为直角三角形， BM AM CM，又 PM平面ABC，Rt PMBRt PMARt PMC，故 PA PB PC.答案：C5如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BD AC； BAC 是等边三角形；三棱锥 D ABC 是正三棱锥；平面 ADC平面ABC.其中正确的是( )A B C D解析：由题意知， BD平面 ADC，故 BD AC，正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC上的高，平面 ABD平面
4、 ACD，所以 AB AC BC， BAC 是等边三角形，正确；易知DA DB DC，又由知正确；由知错故选 B.答案：B6如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2， AC BC1， ACB90， D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点， AB1， DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为( )3A. B112C. D232解析：设 B1F x，因为 AB1平面 C1DF， DF平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可以得 A1B1 ，2矩形 ABB1A1中，tan FDB1 ，B1FB1Dtan A1AB1 .A1B1AA1 22又 FD
5、B1 A1AB1，所以 .B1FB1D 22故 B1F .故选 A.22 22 12答案：A二、填空题7如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)4解析：连接 AC， BD 交于 O，因为底面各边相等，所以 BD AC；又 PA底面 ABCD，所以PA BD，又 PA AC A，所以 BD平面 PAC，所以 BD PC.所以当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD.答案： DM
6、PC(或 BM PC)8(2017上饶质检)已知 m， n 是两条不相同的直线， ， 是两个不重合的平面，现有以下说法：若 ， n ， m ，则 m n；若 m ， m ， n ，则 n ；若 m n， m ， n ，则 ；若 m ， n ， ，则 m n；若 ， m ， n ，则 m n.其中正确说法的序号为_解析：对于，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此不正确；对于，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知 ， 平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n ，因此正确；对于，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平
7、面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，正确；对于，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此不正确；对于， m 与 n 有可能平行，因此不正确综上所述，其中正确的说法有.答案：9(2017泉州模拟)点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列命题：5三棱锥 A D1PC 的体积不变； A1P平面 ACD1； DP BC1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题序号是_解析：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 DC1交 D1C 于点 O1，连接 OO1，则 OO1 BC1，所以BC1平面 AD1C，动点 P 到平面 AD1C 的
8、距离不变，所以三棱锥 P AD1C 的体积不变又因为 VP AD1C VA D1PC，所以正确因为平面 A1C1B平面 AD1C， A1P平面 A1C1B，所以 A1P平面 ACD1，正确由于当点 P 在 B 点时， DB 不垂直于 BC1即 DP 不垂直 BC1，故不正确；由于DB1 D1C， DB1 AD1， D1C AD1 D1，所以 DB1平面 AD1C.DB1平面 PDB1，所以平面 PDB1平面 ACD1，正确答案：三、解答题10如图，几何体 EF ABCD 中， CDEF 为边长为 2 的正方形， ABCD 为直角梯形，AB CD， AD DC， AD2， AB4， ADF90.
9、(1)求证： AC FB；(2)求几何体 EF ABCD 的体积解：(1)证明：由题意得， AD DC， AD DF，且 DC DF D， AD平面 CDEF， AD FC.四边形 CDEF 为正方形， DC FC，6 DC AD D， FC平面 ABCD， FC AC.又四边形 ABCD 为直角梯形，AB CD， AD DC， AD2， AB4， AC2 ， BC2 ，则有 AC2 BC2 AB2， AC BC，2 2又 BC FC C， AC平面 FCB， AC FB.(2)连接 EC，过 B 作 CD 的垂线，垂足为 N，易知 BN平面 CDEF，且 BN2. VEF ABCD VE A
10、BCD VB EFC S 梯形 ABCDDE S EFCBN ，13 13 163几何体 EF ABCD 的体积为 .16311如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积63解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD.因为 BE平面 ABCD，所以 AC BE.又 BD BE B，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 AB x，在菱形 ABCD 中，由 ABC
11、120，可得 AG GC x， GB GD .32 x2因为 AE EC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG x.由 BE平面 ABCD，知 EBG 为直角32三角形，可得 BE x.227由已知得，三棱锥 E ACD 的体积V 三棱锥 E ACD ACGDBE13 12 x3 ，故 x2.624 63从而可得 AE EC ED .6所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .5故三棱锥 E ACD 的侧面积为 32 .51(2017兰州质检)如图，在直角梯形 ABCD 中， BC DC， AE DC，且 E 为 CD 的中点，M， N 分别是 AD， BE 的中点
12、，将三角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN平面 DEC；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN AE；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN AB；在折起过程中，一定存在某个位置，使 EC AD.解析：由已知，在未折叠的原梯形中， AB DE， BE AD，8所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BE AD，折叠后如图所示过点 M 作 MP DE，交 AE 于点 P，连接 NP.因为 M， N 分别是 AD， BE 的中点，所以点 P 为 AE 的中点，故 N
13、P EC.又 MP NP P， DE CE E，所以平面 MNP平面 DEC，故 MN平面 DEC，正确；由已知， AE ED， AE EC.所以 AE MP， AE NP，又 MP NP P，所以 AE平面 MNP.又 MN平面 MNP，所以 MN AE，正确；假设 MN AB，则 MN 与 AB 确定平面 MNBA，从而 BE平面 MNBA， AD平面 MNBA，与BE 和 AD 是异面直线矛盾，错误当 CE ED 时， CE AD，这是因为由于 CE EA， EA ED E，所以 CE平面AED， AD平面 AED，得出 EC AD，正确答案：2如图，四边形 ABCD 为正方形， EA平
14、面 ABCD， EF AB， AB4， AE2， EF1.(1)求证： BC AF；(2)试判断直线 AF 与平面 EBC 是否垂直. 若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由解：(1)证明：因为 EF AB，所以 EF 与 AB 确定平面 EABF，因为 EA平面 ABCD，所以 EA BC.由已知得 AB BC 且 EA AB A，所以 BC平面 EABF.又 AF平面 EABF，所以 BC AF.9(2)直线 AF 垂直于平面 EBC.证明如下：由(1)可知， AF BC.在四边形 EABF 中， AB4， AE2， EF1， BAE AEF90，所以tan EBAtan FAE ，则
15、EBA FAE.12设 AF BE P，因为 PAE PAB90，故 PBA PAB90.则 APB90，即 EB AF.又 EB BC B，所以 AF平面 EBC.3如图，在三棱台 ABC DEF 中， CF平面 DEF， AB BC.(1)设平面 ACE平面 DEF a，求证： DF a；(2)若 EF CF2 BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG平面 CDE？若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：在三棱台 ABC DEF 中， AC DF， AC平面 ACE， DF平面 ACE， DF平面 ACE.又 DF平面 DEF，平面 ACE平面
16、DEF a， DF a.(2)线段 BE 上存在点 G，且 BG BE，使得平面 DFG平面 CDE.证明如下：13取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD， CF EF， GF CE.在三棱台 ABC DEF 中， AB BCDE EF.由 CF平面 DEFCF DE.又 CF EF F， DE平面 CBEF， DE GF.Error!GF平面 CDE.又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE.此时，如平面图所示， O 为 CE 的中点， EF CF2 BC，10由平面几何知识易证 HOC FOE， HB BC EF.12由 HGB FGE 可知 ，BGGE 12即 BG BE.13
