1、“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例 1如图 1，BD、CE 是ABC 的两条高，M 是 BC 的中点，N 是 DE 的中点试问：MN 与 DE 有什么关系？证明你的猜想二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质例 2如图 2，在 RtABC 中，C=90 0，ADBC，CBE=
2、ABE，12请同学们试一试吧！1如图 5，ABC 中，AB=AC，ABD=CBD，BDDE 于 D，DE 交 BC 于 E，求证：CD= BE22如图 6，ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 是 BC 的中点，求证：AB=2DM直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中图 1BA DCEF图 2BACDE图 5ACB D M图 6线的性质及应用。一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图 1，
3、在 RtBAC 中，BAC= 90，D 为BC 的中点，则 BC21AD。2、性质的拓展：如图 1：因为 D 为 BC 中点，所以 ，所以 AD=BD=DC= BC2，所以1=2，3= 4，因此ADB=23=24，ADC=21=22。因而可得如下几个结论：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的 2 倍二、性质的应用1、求值例 1、（2004 年江苏省苏州市中考）如图 2，CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中线，若 CD=4，则 AB= 2、证明线段相等例 2、（20
4、04 年上海市中考）如图 4，在ABC 中，BAC=90，延长 BA 到 D 点，使AB1D，点 E、F 分别为边 BC、AC 的中点。（1）求证：DF=BE；（2）过点 A 作 AGBC，交 DF 于 G。求证：AG=DG。3、证明角相等及角的倍分关系例 3、已知，如图 5，在ABC 中，BAC90，BD、CE 分别为 AC、AB 上的高，F 为 BC 的中点，求证：FED= FDE。GFECBA例 4、（2003 年上海市中考题）已知：如图 6，在ABC 中，AD是高，CE 是中线。DC=BE ， DGCE ，G 为垂足。求证：（1）G 是 CE 的中点；（2）B=2BCE 。4、证明线段
5、的倍分及和差关系例 5、（2007 年呼和浩特市中考）如图 7，在ABC 中，C=2 B，D 是 BC 上的一点，且ADAB ，点 E 是 BD 的中点，连 AE。求证：（1）AEC=C ；（2）求证：BD=2AC。5、证明线段垂直例 6、如图 9，在四边形 ABCD 中，ACBC，BDAD，且 AC=BD，M、N 分别是 AB、DC 边上的中点。求证：MNDC。三、尝试训练1、（黑龙江中考）在ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8 ，则斜边上中线长为 2、（2006 年重庆市中考）如图 11 所示，一张三角形纸片 ABC，ACB=90，AC=8，BC=6 ，沿斜边 AB 的中线把这张纸张剪成AC 1D1 和BC 2D2 两个三角形（如图 12 所示），将纸张AC 1D1 沿直线 D2B（AB）方向平移（点 A，D 1，D 2，B 始终在同一条直线上），当点 D1 与点 B 重合时，停止平移，在平移过程中，C 1D1 与 BC2 交于点 E，AC 1 与 C2D2、BC 2 分别交于点 F、P。（1）当AC 1D1 平移到如图 13 所示时，猜想图中 D1E 与 D2F 数量关系，并证明猜想：GEDCBA
