1、12014 年 7-8 月1.已知 是等腰三角形，且 ， 在 上的投影为 ， 为ABCABCDP内一点，且 ， 。设直线 与 分D90PDPB,CA别交于点 ， 是线段 上一点， 是 延长线上的点，且满足 ，,QRTSTRQ，证明 。2PSRT2.已知非等腰 的内切圆 与边 分别切于点 ，直线 与ABCIA,CA1,I的外接圆 分别交于点 ，直线 与 分别交ABO2,1,BBCA于点 ，直线 与 分别交于点 ，证明3,233,O4,三线交于一点。44C3.已知 的内切圆 与边 分别切于点 ，过点 作 ，与ABIA,BC,DEPBC交于点 ，直线 与 交于点 。 为边 上一点，且 ，直线IPMN
2、AN与 分别交于点 ，其中 在 之间，证明 。N,M,QR,RABRPQMS4.已知非等腰 的外心、内心分别为 ，边 的中点分别为,OI,C， 在边 上的投影为 ， 的外心为 ，线段 的中点为 ，若,DEFIABTDEFI三点共线，证明 。APQ4CO5.已知四边形 内接于圆 ，点 是 的延长线上一点，且 与圆 相PA,PBD切，过点 作圆 的切线，分别与直线 交于点 ，直线 与圆 的另一个C,D,QRA交点为 ，证明 三点共线。E,BR6.已知四边形 内接于圆 ， 和 的内心分别为 ， 和AACB12,ICD的内切圆半径分别为 ，且 。圆 与边 相切，且与圆 内切于C12,r12r,AD点
3、，过 分别与圆 相切的直线交于点 ，证明 三点共线。T, K12I7.在圆内接凸四边形 中， ，以 为圆心的圆 与 相切， 为ABCDCBI的内心，证明过点 ，且与 平行的直线与 相切。ABDIA8.已知圆 与圆 内切于点 ，圆 在圆 的内部，圆 的弦 与圆 切于点 ，PC直线 与圆 的另一个交点为 ，圆 的弦 分别为圆 的切线， 分别PCQ,RS,IXY2为 的内心，证明 。,APBRS 90PXIY9.已知 为锐角 的外接圆， 与 内切于点 ，且与 切于点 ，OABC1OAABCD设 的内心为 ， 的外接圆 与 交于两点 ，证明 四CI2,EF12,OF点共圆。10.已知 的内切圆与边 分
4、别切于点 ，点 关于点 的对称AB,BA,DB点为 ，点 关于点 的对称点为 ，证明 的内心在 的内切圆的内部或TESTAC的内切圆上。C11.设 是锐角 内任意一点， 关于边 的对称点分别为 ，PCP,B1,C证明 的重心在 的内部。1ABAB12.已知非等腰锐角 的外心为 ， 是边 上一点，满足 ，OAOPAB是边 上一点，满足 ， 的外接圆为 ，证明 关于QQK对称的直线与 相切。PKA13.已知 是 的角平分线 的中点，以 为直径的圆 与线段 交于点MBCADC1BM，以 为直径的圆 与线段 交于点 ，证明 四点共圆。E2F,BE14.在非等腰 中，其内切圆 与边 分别切于点 ，过点A
5、IA,DF且垂直于 的直线与 交于点 ，过点 且垂直于 的直线与 交于点 ，BIIKCIIAL是线段 的中点，证明 三点共线； 若 为定点， 为平面上满足JKL1,DJ2,B（ 为给定常数）的动点，且 三点不共线，直线 与 分别交于点AkC,A,IEFI，直线 与 分别交于点 ，则 的中垂线恒过一个定点。,MN,IBCPQ15.设 中， 内的旁心分别为 ，直线 与 的外接圆交于1,BC1ABC点 ，过点 分别垂直于 的直线交于点 ， 为 的外接圆，DA1,AED过点 与圆 相切的直线交直线 于点 ，过点 且垂直于 的直线交 于点 ，EFDEG交圆 于点 ， 的外接圆与圆 交于点 ，若 在 上的
6、投HGIH影为 ，证明 过线段 的中点。JIDJ16.设两个锐角三角形的六个顶点在同一个圆上，若其中一个三角形的两边中点在另一个三角形的九点圆上，证明这两个三角形的九点圆重合。317.已知锐角 的外心为 ， 分别为边 的中点， ，ABCO,MNP,BCAOBC的外接圆交于两点 ，且 在 的内部，证明 。MNP,XYXY18.已知 是圆 上一点，以 为圆心的圆 与圆 交于 两点，圆 与圆O121,PQ3外切于点 ，与圆 内切于点 ，且直线 过点 ，若直线 与圆 的第二2RSRRO1个交点分别为 ，证明 。,XY/QY19.已知 的内切圆 与边 切于点 ， 的中点为 ，过点 且垂直于ABCIABC
7、DITI的直线与 分别交于点 ，过点 且垂直于 的直线与 分别交于D,KLTA,BAC点 ，证明 。,MNLMN20.设四边形 有内切圆 ，对角线 交于点 ，若线段 的ABCIA,CBDE,DEI中点共线，证明 。D21.在 中，已知过点 且与边 切于点 的圆为 ，过点 且与边 切于A1CAB点 的圆为 ，圆 与圆 的另一个交点为 ，直线 与 的外接圆的另一个212 交点为 ，证明 是线段 的中点。EAE22.已知四边形 的对角线 交于点 ，点 分别在边BCD,BP,XYZ上，使得 ，若 分别为 的外接圆的,AB2XYZ,CB切线，证明 。P23.已知 的边 上的点 满足 平分 ， ， 的中垂
8、线,HADHAD与以 和 为直径，且在 的外部的半圆分别交于点 ，证明四边形ACBC,XY为圆内接四边形。XYDH24.在 中， 内的旁切圆 与射线 分别切于点 ， 内的旁切BA,BC,PQB圆 与射线 分别切于点 ，点 在直线 上的投影分别为 ，证,MNN,KL明 四点共圆。,MKLP25.已知 为锐角三角形， 为边 上的高线， 为 中 内的旁心，ABCAHBCJABH为 中 内的旁心，若 的内切圆与边 切于点 ，证明 四点IHP,IJ共圆。426.已知两个半径不等的圆 外离， 的一条内公切线 与两条外公切,OA,OAl线 分别交于点 ，过点 且与 均外切的的圆 与 的第二个交点为 ，12,
9、l,BC,1AP过点 且与 均外切的圆 与 的第二个交点为 ， 证明 四点共圆。A2lQ,BC27.已知凸四边形 的对角线 交于点 ，且 。BD,ACBEDEAD若 是线段 上一点，且满足 ，证明 四点共圆。FCFF,AB28.在 中， ，其外接圆为 ，以 为半径的圆 与边 交于AOC点 ，与 交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与 分别交于点KOEKA,KE，直线 交于点 ，证明 四点共圆，且 五点共圆。,LM,BFD,LMFBDM29.设 为锐角 的外心， 的延长线分别与 交于点C,OBC,CA，若 ，证明 是正三角形。,DEFABEFA30.已知 是直角 的斜边 内一点，满足 ， 为 的
10、外心，DBOD的延长线交于点 ，过点 作 的垂线，与 的延长线交于点 ，若,OCPQ四点共圆，证明四边形 是正方形。PQCQ31.已知 的内切圆与边 分别切于点 ， 是该内切圆的直AB,BA1,ABC径，直线 交于点 ，证明 。1,CDE132.在等腰 中，已知顶角 ， 的外心和垂心分别为 ，点,OH分别在边 上，且四边形 是菱形，求 （用 表示） 。,PQ,ABAPHQP33.在圆内接六边形 中，已知 ， 。设直线 分CDEFBDCEF,BCEF别与 交于点 ，且 在点 的同侧，点 在另一侧，若 的中点为 ，D, AS的内心分别为 ，证明 。,BPSEQKL9034.已知 的内切圆圆 与边
11、分别切于点 ，一条过点 的直AC,BCA,DEF线与弧 （不含点 ）交于点 ，圆 在点 处的切线与直线 交于点 ，过点 且FDTP5平行于 的直线与 交于点 ，证明 。ABTH90EF35.在锐角 中， ，已知 于点 ， 于点 ，过CABABCACB点 的圆与边 切于点 ，若 ，证明 。, DDS36.在凸四边形 中，对角线 交于点 ，证明过点 的直线 被四边形,Ol截得的线段的长度不超过四边形 的较长对角线的长度。ABD37.在 中， ， 的角平分线与对边 分别交于点C30B,BC,ACB， 交于点 ，若 ， 的内切圆半径为 ，求边 的长的最,E,PDEA1大值。38.已知 的内接正方形和内
12、接正三角形的七个顶点构成一个 的内接凸多边形OA OA，当正方形和正三角形是什么位置关系时， 的面积分别取得最大值和最小值。HH39.已知 是锐角 内一点，直线 与 分别交于点PBC,APBC,B，证明 的面积不超过 的面积的 ； 的内切圆半径不,DEF1DEF142DEF超过 的外接圆半径的 。A440.已知锐角 的外心和垂心分别为 ，点 分别在线段 和123,OH,iPQiOA上，使得四边形 是平行四边形，其中 ， ，证明12iiOPHQ123ii。312OQP41.设 是锐角三角形，其内心、外心、垂心分别为 ， 的内切圆与ABC ,IOHABC边 切于点 ，若 ， ， 与 交于点 ，线段 的中点为D/AOHDAEI，证明 四点共圆。F,EI
