1、-无界闭区域上的积分中值定理数学与应用数学 200410700102 张薇 指导老师 范江华D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D本文主要运用了区域的道路连通性证明了文中所得结论.因为 D?是道路连通的，所以存在连续映射 c:0,1?D?，又因为函数 f:D?Rn?R在 D 上连续，故 f?c:0,1?R 连续. 所以存在 t0?0,1，使得 c(t0)?P0，故在 D?内存在一点 P0，使得D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D【关键词】 积分中值定理；无界闭区域；Lebesgue 积分；道路连通性一 引言积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，其结果表现形式
2、多样.文献1中的积分中值定理叙述为：设 f:a,b?R 在a,b 上连续，则至少存在一点?a,b，使得?baf(x)dx?f(?)(b?a).文献1也给出了推广的积分中值定理的表述：定理 1 若 f:a,b?R 和 g:a,b?R 都在a,b上连续，且 g:a,b?R在a,b上不变号，则至少存在一点 ?a,b，使得-?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. ab1文献6给出了如下更强的结果：定理 2 设 f:a,b?R 在a,b上连续， g:a,b?R 在a,b 上可积且不变号，则至少存在一点?(a,b)，使得?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. ab同样，二重积分
3、中值定理通常有如下表述方式：定理 3 设 D 为平面上的有界闭区域， f:D?R2?R 在 D 上连续， g:D?R2?R 在 D 上可积且不变号，则至少存在一点(?,?)?D，使得?f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)?g(x,y)dxdy.DD定理 4 设 D 为平面上的有界闭区域， f:D?R2?R 在 D 上连续， g:D?R2?R 在 D 上可积且不变号，则至少存在一点(?,?)是 D 的内点，使得?f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)?g(x,y)dxdy.DD由于 f(x)在区域 D 上 Riemann 可积必定 Lebesgue 可积，因此定理 2 和定理
4、4 可以推广到 Lebesgue 积分上.定理 5 设 f:a,b?R 在a,b上连续，g:a,b?R 在a,b 上 Lebesgue可积，且 g(x)?0a.e.，则至少存在一点 ?(a,b)，使得?b-af(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx. ab定理 6 设 D 为平面上的有界闭区域， f:D?R2?R 在 D 上连续， g:D?R2?R 在 D 上 Lebesgue 可积，且 g(x,y)?0a.e.，则至少存在一点(?,?)是 D 的内点，使得?f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)?g(x,y)dxdy.DD文献5叙述的 n 重积分中值定理为：定理 7 设 D 是
5、Rn 中的有界闭区域， m(?D)?0，f:D?Rn?R 在 D上连续，g:D?Rn?R 在 D 上 Lebesgue 可积， 且 g(P)?0a.e.，则至少存在一点 P0 是 D 的内点，使得2D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D上述定理均是在有界闭区域上讨论的积分中值定理，但在一般的无界闭区域上，要求 f:D?Rn?R 在 D 上有界， g:D?Rn?R 在 D 上Lebesgue 可积，且 g(x,y)?0a.e.时，同时要求 f(P)?g(P)在 D 上也Lebesgue 可积，那么，能否找到 P0?D?，有D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d? 0D呢？以
6、下将证明这种推广是成立的.二 符号、基本定义与定理为了证明本文所得结论还需要以下定义和引理：定义 11 具备下列性质的非空点集 D 称为开区域：（1） D 为开集；-（2） D 中任意两点可用全在 D 中的折线连接 .定义 21 开域 D 加上它的边界 C 称为闭域，记为 ?D?C.定义 34 如果区域 D(开的或闭的) 能被一个中心在原点，半径适当大的圆包围在里面，则称区域 D 是有界的，反之称为是无界的.在下文中，如不作特别说明，区域 D 均是指无界闭区域.定义 41 设 S 是 R 中的一个数集，若数?满足：(1) 对一切 x?S，有 x?，即?是 S 的上界；(2) 对任何?，存在 x
7、0?S，使得 x0?，即?又是 S 的最小上界，则称数?为数集 S 的上确界，记作?supS.定义 51 设 S 是 R 中的一个数集，若数?满足：(1) 对一切 x?S，有 x?，即?是 S 的下界；(2) 对任何?，存在 x0?S，使得 x0?，即?又是 S 的最大下界，则称数?为数集 S 的下确界，记作3?infS.定义 62 设 X 是一个拓扑空间，从单位闭区间0，1 到 X 的每一个连续映射 f:0,1?X 叫做 X 中的一条道路，并且此时 f(0)和 f(1)分别称为道路 f 的起点和终点.当 x?f(0)和 y?f(1)时，称 f 是 X 中从 x 到y 的一条道路. 起点和终点
8、相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点( 也是它的终点) 称为闭路的基点 .如果 f 是 X 中的一条道路，则道路 f 的象集 f(0,1)称为 X 中的-一条曲线或弧，并且这时道路 f 的起点和终点也分别称为曲线 f(0,1)的起点和终点.定义 72设 X 是一个拓扑空间，如果对于任何 x，y，存在着 X中的一条从 x 到 y 的道路( 或曲线)，我们则称 X 是一个道路连通空间. X 中的一个子集 Y 称为 X 中的一个道路连通子集，如果它作为 X 的子空间是一个道路连通空间.推论 1 区域是道路连通的 .证明 根据道路连通的定义，结论显然成立.推论 2 无界闭区域是道路连通的 .证明 无
9、界闭区域是区域，从而是道路连通的.定理 82 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，其中 X 是道路连通的，f:X?Y 是一个连续映射，则 f(x)是道路连通的 .定义 81 设函数 f 在 U(x0)上有定义，若对任意?0，存在?0，使得当 x0?x?时，有 f(x)?f(x0)?，则称 f 在点 x0 连续.定义 91 若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续，则称 f 为 I 上连续函数.定理 91（介值性定理） 设函数 f 在闭区间a,b上连续，且f(a)?f(b).若?为介于 f(a)与 f(b)之间的任何实数(f(a)?f(b)或 f(a)?f(b)，则至少存在一点 x0?(a,b)，使
10、得f(x0)?.4定义 103 如果存在 P0 的某一邻域 U(P0)，使得 U(P0)?D，则-称 P0 为 D 的内点. 定义 113 设 E 是 Rn 中一点集， P0 为 Rn 中一定点，如果 P0 的任一邻域内都含有无穷多个属于 E 的点，则称P0 为 E 的一个聚点.定义 123 设 E 是 Rn 中一个点集，有(1) E 的全体内点所成的集合，称为 E 的开核，记为 E?；(2) E 的全体界点所成的集合，称为 E 的边界，记为?E；(3) E 的全体聚点所成的集合，称为 E 的导集，记为 E；(4) E?E称为 E 的闭包，记为.定理 103 凡开集、闭集皆可测.为证明本文结论
11、还需要如下几个引理.引理 1 设 D 为 Rn 上的无界闭区域， g:D?Rn?R 在 D 上可积，g(P)?0 且 D?g(P)d?0，则 g(P)?0a.e.于 D.证明 D 可表示为1D?Dg(P)?Dg(P)?0. nn?1令 Dn?Dg(P)?，则 Dn 为可测集( 闭集均可测).因为 ?1n0?g(P)d?g(P)d?DDn1g(P)d?g(P)d?mDn, ?nD?DnDn所以mDn?0.即1m(?Dg(P)?)?mDg(P)?0?mDg(P)?0?0. nn?1-所以 g(P)?0a.e.于 D.引理 2 设 D 为 Rn 上的无界闭区域， f:D?Rn?R 是 D 上的连续函
12、数，m 是它的下 5 ?确界，实数?满足：?m，则存在 P0)?m. 0?D?，使得?f(P证明 若存在 P1?D，有 f(P1)?m.有以下两种情况：1? 若 P1?D?，取 P0?P1 即可.2? 若 P1?D，则 P1 的邻域 B(P1?eD?，对于任意 r?0，使 P1,r)?D?.因为 f:D?R 是 D 上的连续函数，则对任意 ?0，存在 r1?0，使对任意 P0?B(P1,r1)?D?，有f(P0)?f(P1)?.取?m?0，则有f(P0)?f(P1)?m，所以f(P0)?m?f(P1)?.命题得证.若对任意 P?D，有 f(P)?m，由于 m 为 f(P)在 D 上的下确界，令
13、?m?0，则 m?m，由下确界的定义知，存在 P. 1)?m?1?D，使f(P22?由 f(P)在 D 上连续，存在 r1?0，使对任意 P0?B(P1,r1)?D?，有f(P0)?f(P1)?所以有 ?2，-f(P0)?f(P1)?m?m?. 222?即存在 P0)?m. 0?D?，有?f(P综合知存在 P0)?m. 0?D?，使得?f(P引理 3 若 f:D?Rn?R 是 D 上的连续函数，其中 D 为无界闭区域， M 是它的上确界，实数?满足：?M，则存在 P0)?M. 0?D?，使得?f(P6证明 若存在 P1?D，有 f(P1)?M.有以下两种情况：1? 若 P1?D?，取 P0?P
14、1 即可.2? 若 P1?D，则 P1 的邻域 1?eD?，对于任意 r?0，使 PB(P1,r)?D?.因为 f:D?R 是 D 上的连续函数，对任意 ?0，存在 r1?0，使对任意P0?B(P1,r1)?D?，有f(P0)?f(P1)?，取?M?0，则有f(P0)?f(P1)?M?，所以f(P0)?f(P1)?M?.命题得证.若对任意 P?D，有 f(P)?M，由于 M 为 f(P)在 D 上的上确界，令?M?0，则 M?M，由上确界的定义知，存在 P. 1)?M?1?D，使-f(P22?由 f(P)在 D 上连续，存在 r1?0，使对任意 P0?B(P1,r1)?D?，有f(P0)?f(
15、P1)?所以有 ?2，f(P0)?f(P1)?M?M?. 222?即存在 P0?D?，有?f(P0)?M.综合知存在 P0?D?，使得?f(P0)?M.引理 4 设 D 为 Rn 上的无界闭区域， f:D?Rn?R 在 D 上连续， m 和 M 分别为它的下确界和上确界，对任意实数?，满足 m?M，则存在 P使得 f(P0)?. 0?D?，7证明 因为函数 f:D?Rn?R 在 D 上连续，由引理 2、引理 3 知，存在 P1?D?，满足 f(P2?D?，满足 f(P1)?；存在 P2)?.又因为 D?是道路连通的，则存在连续映射 c:0,1?D?，有c(0)?P1，c(1)?P2.因为函数
16、f:D?Rn?R 连续，所以 f?c:0,1?R 也连续，且有f?c(0)?f(P1)?，f?c(1)?f(P2)?，由连续函数的介值性定理知，存在 t0?0,1，有f?c(t0)?fc(t0)?.取 c(t0)?P0，则 P0)?. 0?D?，从而有 f(P-三 定理的证明下面给出无界闭区域上积分中值定理的证明.定理 设 D 是 Rn 中的无界闭区域，m(?D)?0,f:D?Rn?R 在 D 上连续且有界， g:D?Rn?R 在 D 上 Lebesgue 可积，g(P)?0a.e. ，且 f(P)?g(P)在D 上也 Lebesgue 可积，则至少存在一点 P0 是 D 的内点，使得D?f(
17、P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D证明 设 f 在 D 上的上确界为 M，下确界为 m.因为 g(P)?0a.e.于 D，所以 g(P)d?0.D? 若 g(P)d?0，由引理 1 知 g(P)?0a.e.于 D.D?因为 m 和 M 分别为 f 在 D 上的下确界和上确界，所以由不等式mg(P)?f(P)g(P)?Mg(P)8可得m?g(P)d?f(P)g(P)d?M?g(P)d? . （1） DDD所以D?f(P)g(P)d?0.此时任取 P0?D?，有D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D若 g(P)d?0，设-D?f(P)g(P)d?， ?g(P)d?DD则
18、只需证存在 P0?D?，有 f(P0)?即可.由（1）知m?M.下面分两种情况来论证：1? 若 m?M，则由引理 6 知存在 P0?D?，使得f(P0)?，此时定理成立.2? 若?m 或?M，不妨先设?m. 因为?f(P)g(P)d?， ?g(P)d?DD所以D?f(P)g(P)d?g(P)d?0， D即D?f(P)?g(P)d?0.9因为f(P)?g(P)?0a.e. 于 D，则存在?使得 mDg(P)?0. 反之，若对任一 n?N，有-1mDg(P)?0， n令 Dn?Dg(P)?，则 1n1D?Dg(P)?Dg(P)?0?Dg(P)?0， nn?1所以?1mD?m(?Dg(P)?)?mD
19、g(P)?0?mDg(P)?0nn?1?1?mDg(P)?mDg(P)?0?mDg(P)?0.nn?1?因为 Dg(P)?0?D，所以 mDg(P)?0?mD.从而有mDg(P)?0?mD.又由 g(P)d?0 得D?D?g(P)d?D?Dg(P)?0?g(P)d?0，从而m(D?Dg(P)?0)?mD?mDg(P)?0?0，即 mD?mDg(P)?0，矛盾.令 Dg(P)?E1，则 E1?D 且 E1 可测，且对任意，有 g(P)?0， f(P)?g(P)?0 a.e.于 E1.所以有 f(P)? a.e.于 E1.因为 m(?D)?0，所以 m(E1?D)?mE1.从而对任意 P?E1?D
20、?，使得-f(P)?0a.e.，10所以存在 P0?E1?D?，使得 f(P0)?.同理可证当?M 时，存在 P0?D?，有 f(P0)?.综上所述，至少存在一点 P0?D?，使得?f(P)g(P)d?， f(P)?g(P)d?0DD即D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0D参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.第三版，北京：高等教育出版社，2001.6.2 熊金城. 点集拓扑讲义M.第三版，北京：高等教育出版社，2003.12.3 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础M.第二版，北京：高等教育出版社，2003.12.4 郭大钧等. 数学分析M.第一版，济南：山东科学
21、技术出版社，1982.6.5 范江华，杨斌妮.多重积分中值定理J.数学实践与认识.2007，37 （ 12）：197200.6 杨彩萍. 二重积分中值定理中间点的进一步讨论J.中国民航-学院学报.2000，18（2）：57 61.11Integral Mean Value Theorem of Unbounded Closed Domain【Abstract】This article mainly promotes the integral mean value theorem of bounded closed domain to the integral mean value theore
22、m of unbounded closed domain. There are lots of literatures and results about the integral mean value theorem, but all are the integral mean value theorems in function of a single variable generally, establishes in the Riemann integral and bounded closed domain. Here we prove that the integral mean
23、value theorem of n-tuple had been established similarly in unbounded closed domain, also under the Lebesgue integral significance. So we obtain the following conclusion: We suppose D is the unbounded closed domain of Rn, m(?D)?0,f:D?Rn?R is continuous and bounded in D, g:D?Rn?R is Lebesgue integrabl
24、e in D, g(P)?0 a.e., and f(P)?g(P) is also Lebesgue integrable in D, then there will be one point P0 which is the D inner point at least, and cause:D?f(P)g(P)d?f(P)?g(P)d?. 0DHere we mainly utilize the path connectivity to prove the obtained conclusion in the article. We know it exists c:0,1?D? beca
25、use it is path-connected on D?, and the function f:D?Rn?R is continuous on D, so f?c:0,1?R is continuous, and that the existence of t0?0,1 makes c(t0)?P0, therefore, we get the conclusion : there is one point P0 in D?, -which causes the conclusion of this article to come into existence.【Key words】Integral mean value theorem; Unbounded closed domain; Lebesgue integral; Path connectedness12
