1、 2010 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成 为高考 压轴题及各级各类竞赛试题命题 的极好素材。 这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk解析:(1) 因为 ,所以)(112142nkn(2)因为 ,所以2422 nn 35512 nk奇巧积累:(1) (2) 1122 )1()1(21 nCn(3) )(!
2、)(!1 rrnrCTrnr(4) 25123)(5) (6) nn12nn(7) (8) )()( nn2)3(1)2(13(9) kkknk1,1(10) (11)!)(!)( 2121)2( nnn(11) )()(1)()12()(2 nnnn(12) 113 nnn(13) 3212)(32)1(21 n(14) (15) !kk )(1)(15) 1)1)(222 jijijji例 2.(1)求证: )(67)(53122 nn(2)求证: 4164(3)求证: 1262)(532 n(4) 求证： )12(312)(2nn解析:(1) 因为 ,所以 1 )123()(1 ni(2
3、) )(4)1(4364222 nn(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案653n 2(4)首先 ,所以容易经过裂项得到1)(1n32)2再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以2121)(1nn)(32例 3.求证: 3594)1(62nn解析:一方面:因为 ,所以1223515312 nkn另一方面: 1)1(4294 nn当 时, ,当 时, ,n)(62946当 时, ,所以综上有221)1(359462nn例 4.(2008 年全国一卷) 设函数 .数列 满足 . .设 ，整数 .证明:()lnfxna10()nfa1)b， 1lnabk.1kab解
4、析:由数学归纳法可以证明 是递增数列,故存在正整数 ,使 ,则nakmb,否则若 ,则由 知k1)(kmb101ba, ,因为 ,lln1am kmk1lnl )ln(l11akkm于是 k)(|n|1例 5.已知 ,求证: .mnSxN32, )(11mnS解析:首先可以证明: n1)(所以要证 kmmmn 1111 )(0)(只要证: 1)(1mnmS故只 nkmmmmknk nn1111111 )(2)()()()( 要证 ,即等价于nmmk11 )(,即等价于)( 11)(,)(1mmkk而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 , ,求证: .na24naT21 23321nT解析
5、: )21(4)(4)(31 nn 所以 3)(23234)2(4 21111 nnnnnn 3从而 21272321 nnT例 7.已知 , ,求证:x)(1Zkn *)(4124532 Nxn证明: ,因为nxn 214)(12,所以 )(412xn 所以 *)1(5432 Nx二、函数放缩例 8.求证： .)(653ln4l32ln*Nn解析:先构造函数有 ,从而xx1l )312(3l4l2nn因为 nn 198751 632983651n所以 5l4lln例 9.求证:(1) )2(1l,2n解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案xfl)(2ln2函数构造形式:
6、,1lnx)2(ln例 10.求证: n11l32解析:提示: 2lll)l( 函数构造形式: xn,当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,xf1)(首先: ,从而,niABCFS)ln(|lixinin取 有, ,1i)1l(所以有 , , , ,相加后可以得到: 2n3)1l(nnl)l( )1ln(312另一方面 ,从而有inABDExS|ixiin取 有, ,1i)1l(所以有 ,所以综上有2)l( nn12)l(132例 11.求证: 和 .e)!(3! en389(解析:构造函数后即可证明例 12.求证: 2)1()21() n解析: ,叠加之后就可以得到答案3)1(ln
7、函数构造形式: (加强命题 )013)ln(0lxx例 13.证明: *,45l432N解析:构造函数 ,求导,可以得到:)()1(f,令 有 ,令 有 ,)( xf 0f2x0(f2x所以 ,所以 ,令 有,)2(f)ln(1nl所以 ,所以1ln)*(4)l543N例 14. 已知 证明 .21,().nnaa2ne解析: ,n)1(然后两边取自然对数,可以得到 nnal)21(l1然后运用 和裂项可以得到答案 )x)l(放缩思路： nna21nll(21FE DCBAn-i nyxO。于是 ，nna21lnna21l1.2)()()(1 niiii即 .l21enn注：题目所给条件 （
8、）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论l()x0来放缩：)(21ann )1(1nna，.)(ll 1)ln(1l)()1l(l 222 ainiii即 3)(enn例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.)(xf0xf0(I)求证：函数 上是增函数；,0(在xfg(II)当 ；)():, 212121 f证 明时(III)已知不等式 时恒成立，)ln且在求证： ).()(ln)(43*222 Nn解析:(I) ,所以函数 上是增函数0)(xfg,0在xfg(II)因为 上是增函数,所以在fx)()(2121
9、21fxf ()2fx两式相加后可以得到 )()(2121f(3) )() 2121 nnn xfxf ()(212xfxf )() 2121 nnnn xfxf 相加后可以得到:)()(21nxfxf所以 令 ,有 )l()(lll 2121321 nnn x 2)1(nx 22 )(43ln2222 1(3ln)1 n)(12(2n所以 ).(2)1(l)14l3l *22 Nn(方法二) 4n()(12所以 )2(4ln14ln)l(14ln312l 22 又 ,所以4n .)(*222 N例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若.l)(xf)(l:,0bfafba证 明解析:设
10、函数 (),gxfk.201,0)(,ln)l(n.,l kxkxgf 则 有令函数 ）上单调递增，在 上单调递减.2在 ,( 的最小值为 ，即总有)()g).gx而 ,2ln(l(n2l(kfkfkg,)(x即 .lff令 则,bkan)()(a.2lnff三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.例 19. 姐妹不等式: 和12)()513(n也可以表示成为2)641(2n和53n 12)(n解析: 利用假分数的一个性质 可得)0,mab1264 67453 (53即)5312(n .12)1()(n
11、例 20.证明: 37(3n解析: 运用两次次分式放缩:(加 1)18956.23178452n(加 2)n304相乘,可以得到:)13(28754138057.243178452 nnn所以有 .)()(四、分类放缩例 21.求证: 21321n解析: )21()4133n2()( nn例 22.(2004 年全国高中数学 联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ 0）上的点xoynAxy2列 满足 ，直线 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .nBOAn1nBAnaBnbN(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 0,b0,求证： .12nnb
12、解析: 因为 a+b=1,a0,b0,可认为 成等差数列，设 ，b,21dba21,从而 nnnd121例 47.设 ，求证 .N, )(18)3(n解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得n)(2，86)2(12121( 3 nCn即 ，得证.8)n例 48.求证: .nl)1l(3l解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 ，满足：*(),yfxyN对任意 ，都有 ；*,abN)(abaf对任意 都有 .n3fn（I）试证明： 为 上的单调增函数；)(x*（II ）求 ；2861ff（III ）令 ，试证明：.*3,na12144nn
13、a解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.(1)运用抽象函数的性质判断单调性:因为 ,所以可以得到 ,)()(bff 0)()(bffb也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数.0aaa)(xf*N(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么 结论,一发现就有思路了!由(1)可知 ,令 ,则可以得到)()(bf)1(f,又 ,所以由不等式可以得到 ,又01fxf 3f 3)1(f,所以可以得到 *)1N2接下来要运用迭代的思想:因为 ,所以 , , 2(f)(ff 6)2(ff 9)
14、(ff, , ,8)697954188)27f在此比较有技巧的方法就是:,所以可以判断 754815)8(f当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.所以,综合有 =2)1(f6(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.na,所以数列 的方程为 ,从而nnnaffff 3),(3)()3(,)( 11 *(3),nfNna32,412n一方面 ,另一方面)(2)2(10Cnn所以 ,所以,综上有41)13n.12144nna例 49. 已知函数 fx的定义域为0,1，且满足下列条件： 对于任意 0,1，总有 ，且 ；3fx14f
15、 若 则有1210,x122()3.x（）求 f0的值；（）求证：fx4；（）当 时，试证明： .1(,23)n()3fx解析: （）解：令 ，0x由对于任意 0,1，总有 ， 3fx(0)f又由得 即()2,ff(); 03.（）解：任取 且设12,x12,x则 2 1()()()3,ff因为 ，所以 ，即1021320 . x当 0,1时， . ()4fx（）证明：先用数学归纳法证明： 1()(*)3nfN（1） 当 n=1 时， ，不等式成立；003（2） 假设当 n=k 时， 1()(*)3kf由 1()33kkkkf f()63kkf得 1()9.kkf即当 n=k+1 时，不等式成
16、立由（1） 、 （2）可知，不等式 对一切正整数都成立.1()3nf于是，当 时， ，1(,23nx 113()nnxf而 0,1， 单调递增f 所以， 1()3nf1()3.nfx例 50. 已知： 2,0niaa 2,求证： 21131n解析:构造对偶式：令 1212321 aaAnn321aBn则 121n BAan,0)()()()(321又 （2jijia,i1212321)()BAnn)(41321 an十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 .,ab0fx0bafxd例 51.求证： .e解析: ， ， lnlnllnee21lex时， ，
17、 ，,x210x2dx ， .le利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例 52. 求证： ， .12123n ,N解析: 考虑函数 在区间 上的定积分 .fx,i,3如图，显然 -1idi对 求和，i1nii x1n.12例 53. 已知 .求证： .,4nN117230nn解析:考虑函数 在区间 上的定积分.fx,i, -1ni1ind .1ini1inix1100lndx7l2例 54. （2003 年全国高考江 苏卷）设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的点 的横坐标为 （aayl:C2xy1Q1a）.从 上的点
18、 作直线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 .a10C1nQxl1nP1nyC1nQ的横坐标构成数列 .,2nQ na（）试求 与 的关系，并求 的通项公式；1n（）当 时，证明 ；,ankk123)(（）当 时，证明 .a解析: （过程略）.12()nna证明（II）：由 知 ， ， .21n1231,46a当 时， ，1k236k .111()()()32nnkknaa证明（）：由 知 .2 恰表示阴影部分面积，121()()kkk显然 1kaxd .212()()nnk1kna20xd31奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等” 证明，如： ；
19、1idxi ；ni11lnli ；21sii1si2i ix .131()kakkd十二、部分放缩(尾式放缩 )例 55.求证: 7421n解析: 1213823313 nn7482例 56. 设 求证：an1.2,3an .n解析: 132又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩） ， ，),(2kkkkk1)(12于是 )1()321(3122 nnan .2例 57.设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ；Nan1 31a,1n2)(nai1)(2naai解析: 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时)(i kn2k1k，成立。312)(2(1) kkk利用上述部分放
20、缩的结论 来放缩通项，可得1a)(1a.4(2111 kkkaa.2)(11ninini注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接)( 31)2(1kka)(i使用了部分放缩的结论 1ka十三、三角不等式的放缩例 58.求证: .)(|sin|Rx解析:(i)当 时,0x(ii)当 时,构造单位圆,如图所示:2因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积所以可以得到 |sin|ixx当 时|所以当 时 有0i|i|(iii)当 时, ,由(ii)可知: x|sx所以综上有 )(|sn|Rx十四、使用加强命题法证明不等式(i)同侧加强对所证不等式的同一
21、方向(可以是左侧,也可以是右侧) 进行加强 .如要证明 ,只要证明 ,其中 通过Axf)( )0()(Bxf寻找分析,归纳完成.例 59.求证:对一切 ,都有 .*)(Nn31nk解析: 1)1()()()(123 kkk 211)()( k21kk从而 3121534 kknk 当然本题还可以使用其他方法,如:TPBAOyx kkkkkk 111)(1122所以 .3)1(12 kknnk(ii)异侧加强 (数学归纳法)(iii)双向加强有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:欲证明 ,只要证明: .
22、BxfA)( ),0()(BACxfA例 60.已知数列 满足: ,求证:nanna1,1).2(32nan解析: ,从而 ,所以有212knn ,所以1)()()()( 212 1n又 ,所以 ,所以有3112knnaa32na所以2)()()()( 2122 n 3an所以综上有 .引申:已知数列 满足: ,求证: .nanna,11k解析:由上可知 ,又 ,所以2233212nn从而 )(531 ank 又当 时, ,所以综上有 .1 11nank同题引申: (2008 年浙江高考 试题) 已知数列 , , , .01a)(122Nnan记 , .求证:当 时.nnaS21 )()(22
23、1T(1) ; (2) ; (3) .S3n解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:121nna(i)当 时, ,结论成立;(ii)假设当 时, ,则 时,)(kk)1(k212kka从而 ,所以121nkaa0k所以综上有 ,故0nna12(2)因为 则 , , ,相加后可以得到: 121n 2233121nna,所以1321 )( nnn Saa,所以21naSnSn(3)因为 ,从而 ,有 ,所以有a1 12nana21,从而23113)()( nn,所以1321 )(naa,所以221)()( n 31522432 nnT 所以综上有 .n例 61.(2008 年陕西省高考 试题
24、) 已知数列 的首项 , , na132na， ，(1)证明:对任意的 , , ;0x21()nax ， ，(2)证明: .212解析:(1)依题 ,容易得到 ,要证 , , ,nn310x21()3nnax 1， ，即证 22 )()(13xxnn 即证 ,设 所以即证明02t1 )10(2tttnn从而 ,即 ,这是显然成立的.0)(3n所以综上有对任意的 , ,x2()3nax ， ，(法二) 21()n1, 原不等式成立xa2)(2nax (2)由(1)知，对任意的 ，有012222111()3()3()3n nx nxx取 ，2133nn则 2121nna 原不等式成立十四、经典题目
25、方法探究探究 1.(2008 年福建省高考 )已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,令 .求xxf)1l()(f*)(,0Nnnbnba)1l(证: .1264215314231 naaa证明:首先:可以得到 .先证明n1264)(53n(方法一) )(2)( 所以 1264531n(方法二)因为 ,相乘得: 121,543, nn,从而 .2)5312 62)(方法三) 设 A= ,B= ,因为 A1, 求 a 的取值范围. 1()exf解析:函数 f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为 .a)(2() 当 0 f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. () 当 a2 时, f (x ) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0(0, 1) a2 210x且 f (x0) f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求 .() 当 a0 时, 对于任意 x(0, 1) 恒有 , 这时 a 满足要求.1exf综上可知, 所求 a 的取值范围为 a2.
