1、11.4 全称量词与存在量词全称量词和全称命题提出问题观察下列语句：(1)2x 是偶数；(2)对于任意一个 xZ,2 x 都是偶数(3)所有的三角函数都是周期函数问题 1：以上语句是命题吗？提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题问题 2：上述命题中强调的是什么？提示：(2)强调“任意一个 xZ” ，(3)强调“所有的三角形” 导入新知全称量词和全称命题全称量词 所有的、任给、每一个、对一切符号 全称命题 含有全称量词的命题形式“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立” ，可用符号简记为 x M， p(x)化解疑难全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说
2、的.存在量词与特称命题提出问题观察下列语句：(1)存在一个 x0R，使 2x0210；(2)至少有一个 x0R，使 x0能被 5 和 8 整除问题 1：以上语句是命题吗？提示：都是命题问题 2：上述命题有什么特点？提示：两命题中变量 x0取值有限制，即“存在一个 x0R” ， “至少有一个 x0R” 导入新知2存在量词和特称命题存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示 特称命题 含有存在量词的命题形式“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立” ，可用符号简记为 x0 M， p(x0)化解疑难特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说
3、的含有一个量词的命题的否定提出问题观察下列命题：(1)有的函数是偶函数；(2)三角形都有外接圆问题 1：上述命题是全称命题还是特称命题？提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题问题 2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？提示：有的；所有的所有的；存在一个导入新知含有一个量词的命题的否定化解疑难一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论 p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词全称命题与特称命题3例 1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题(1)凸多边形的外角和等于 360；(2)
4、有的向量方向不定；(3)对任意角 ，都有 sin2 cos 2 1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于 360，故为全称命题(2)含有存在量词“有的” ，故是特称命题(3)含有全称量词“任意” ，故是全称命题(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题类题通法判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断活学活用用全称量词或存在量词表示下列语
5、句：(1)不等式 x2 x10 恒成立；(2)当 x 为有理数时， x2 x1 也是有理数；13 12(3)等式 sin( )sin sin 对有些角 ， 成立；(4)方程 3x2 y10 有整数解解：(1)对任意实数 x，不等式 x2 x10 成立(2)对任意有理数 x， x2 x1 是有理数13 12(3)存在角 ， ，使 sin( )sin sin 成立(4)存在一对整数 x， y，使 3x2 y10 成立.全称命题、特称命题的真假例 2 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假(1)xN,2 x1 是奇数；(2)存在一个 x0R，使 0；1x0 1(3)存在一组 m， n
6、的值，使 m n1；(4)至少有一个集合 A，满足 A 1,2,34解 (1)是全称命题因为对任意自然数 x,2x1 都是奇数，所以该命题是真命题(2)是特称命题因为不存在 x0R，使 0 成立，所以该命题是假命题1x0 1(3)是特称命题当 m4， n3 时， m n1 成立，所以该命题是真命题(4)是特称命题存在 A3，使 A 1,2,3成立，所以该命题是真命题类题通法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)要
7、判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题活学活用判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列 an的公比 q0；(3)p： x0R， x 2 x030.20解：(1) p 是全称命题，是假命题若两个单位向量 e1， e2方向不相同，虽然有| e1| e2|1，但 e1 e2.(2)p 是全称命题，是真命题根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项 an0，所以其公比q 0( n1,2,3，)an 1an(3)p 是特称命题，是假命题因为对于綈 p： xR， x2 2x30 是真命题，
8、这是因为 x22 x3( x1)2220 恒成立.全称命题与特称命题的否定例 3 写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p： xR， x2 x 0；14(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r： x0R， x 4 x060；205(4)s：至少有一个实数 x，使 x310.解 (1)綈 p： x0R， x x0 0，假命题2014因为 xR， x2 x 20 恒成立14 (x 12)(2)綈 q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题(3)綈 r： xR， x24 x6 0，真命题(4)綈 s： xR， x310，假命题，因为 x1 时， x310.类题通法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定
9、，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定活学活用判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被 3 整除；(2)xZ， x2与 3 的和不等于 0；(3)有些三角形的三个内角都为 60；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除(2)是全称命题，否定为： x0Z， x 与 3 的
10、和等于 0.20(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角(5)是全称命题，省略了全称量词“任意” ，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线” ，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线全称命题与特称命题的应用例 4 若命题“ x1， )， x22 ax2 a”是真命题，求实数 a 的取值范围解 法一：由题意， x 1，)，令 f(x) x22 ax2 a 恒成立，所以 f(x)( x a)22 a2 a 可转化为 x1，) ， f(x)min a 恒成立，而 x1，)，6f(x)minError!
11、由 f(x)的最小值 f(x)min a，知 a3,1法二： x22 ax2 a，即 x22 ax2 a0，令 f(x) x22 ax2 a，所以全称命题转化为 x 1，)，f(x)0 恒成立，所以 0 或Error!即2 a1 或3 a2.所以3 a1.综上，所求实数 a 的取值范围是3,1类题通法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在” “是
12、否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设活学活用若存在 x0R，使 ax 2 x0 a0，求实数 a 的取值范围20解：当 a0 时，显然存在 x0R，使 ax 2 x0 a0；20当 a0 时，需满足 44 a20，得1 a1，故 0 a1.综上所述，实数 a 的取值范围是(，1)3.量 词 否 定 的 易 误 点典例 (浙江高考)命题“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式是( )A xR， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x
13、2C xR ， nN *，使得 n x2D xR ， nN *，使得 n x27解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式为“ xR ， nN *，使得 n x2”答案 D易错防范1因只否定了一个量词，而误选 B 或 C.2对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律成功破障命题“存在 xR，使得 2x2 x12n，则綈 p 为( )A nN， n22n B nN， n22 nC nN， n22 n D nN， n22 n解析
14、：选 C 因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“nN ， n22n”的否定是“ nN， n22 n”，故选 C.2下列语句是真命题的是( )A所有的实数 x 都能使 x23 x60 成立B存在一个实数 x 使不等式 x23 x60 成立C存在一条直线与两个相交平面都垂直D有一条直线和两个相交平面都垂直解析：选 A 0， x23 x60 对 xR 恒成立，故排除 B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除 C，D.3有下列四个命题： xR,2 x23 x40； x1 ，1,0,2x10； x0N，使 x x0； x0N *，使 x0为
15、29 的约数其中真命题的个数为( )20A1 B2 C3 D4解析：选 C 对于，这是全称命题，由于 (3) 24240，所以2x23 x40 恒成立，故为真命题；9对于，这是全称命题，由于当 x1 时，2 x10 不成立，故为假命题；对于，这是特称命题，当 x00 或 x01 时，有 x x0成立，故为真命题；20对于，这是特称命题，当 x01 时， x0为 29 的约数成立，所以为真命题4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数 x，使 x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数 x，使 21x解析：选 B A 中锐角三角形的内角是锐角
16、或钝角是全称命题；B 中 x0 时， x20，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为 ( ) 0，所以 C 是假命题；D 中对于任3 3一个负数 x，都有 0，所以 D 是假命题1x5已知 a0，函数 f(x) ax2 bx c.若 x0满足关于 x 的方程 2ax b0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A xR ， f(x) f(x0)B xR ， f(x) f(x0)C xR， f(x) f(x0)D xR， f(x) f(x0)解析：选 C 由题意知： x0 为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)为函数的b2a最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x) f(x0)，
17、因此 xR， f(x) f(x0)是假命题二、填空题6命题“ xR,3 x22 x1 0”的否定是_解析：“ x M， p(x)”的否定为 “x0 M，綈 p(x0)”，其否定为x0R,3 x 2 x010.20答案： x0R,3 x 2 x010207下列命题中，是全称命题的是_；是特称命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形；正数的平方根不等于 0；至少有一个正整数是偶数解析：可表述为“每一个正方形的四条边相等” ，是全称命题；是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形” ；可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；是特称命题10答案： 8
18、已知命题“ x0R,2 x ( a1) x0 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是2012_解析：由题意可得“对 xR,2 x2( a1) x 0 恒成立 ”是真命题令 ( a1)12240，得1 a3.答案：(1,3)三、解答题9用“” “”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)a， bR，方程 ax b0 无解解：(1) f(x) 二次函数， f(x)的图象不是抛物线它是假命题(2)在直角坐标系中， l直线， l 不是一次函数的图象它是真命题(3)x四边形， x 不存在外接圆它是假命题(4
19、)a， bR，方程 ax b 0 至少有一解它是假命题10已知命题 p：“至少存在一个实数 x01,2，使不等式 x22 ax2 a0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围解：法一：由题意知， x22 ax2 a0 在1,2上有解，令 f(x) x22 ax2 a，则只需 f(1)0 或 f(2)0，即 12 a2 a0，或 44 a2 a0.整理得 a3 或 a2，即 a3.故参数 a 的取值范围为(3，)法二：綈 p： x1,2， x22 ax2 a0 无解，令 f(x) x22 ax2 a，则Error! 即Error!解得 a3.故命题 p 中， a3，即参数 a 的取值范围为(3，)
