1、新人教版八年级上学期全等三角形中考证明题一解答题（共 10 小题）1 （2013泉州）如图，已知 AD 是 ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD 的延长线于点 F，求证：BE=CF2 （2013河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 _ ；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 _ （2）猜想论证当DEC 绕点 C
2、旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4 ，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长3 （2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F， G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG ，延长 CF与 DG
3、 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数4 （2012阜新） （1）如图，在 ABC 和 ADE 中，AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90 ） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90；乙：AB：AC=AD
4、：AE 1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 905 （2009仙桃）如图所示，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N ，使 DM= BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD 与 CE 的数量关系是 _ ；在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 AB=kAC（k1） ，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关
5、系、MAN与BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明6 （2008台州） CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E ，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE _ CF；EF _ |BEAF|（填“”， “”或“ =”） ；如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 _ ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，= BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线
6、段数量关系的合理猜想（不要求证明） 7 （2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60，B 与D 互补，求证：AB+AD= AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B= D”，如图 2，可证 AB+AD= AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）8 （2007常德）如图，已知 AB=AC，（1）若 CE=BD，求证：GE=G
7、D；（2）若 CE=mBD（m 为正数） ，试猜想 GE 与 GD 有何关系 （只写结论，不证明）9 （2006泰安） （1）已知：如图 ，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD ，AOB=COD=60 ，求证：AC=BD； APB=60 度；（2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD ， AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 _ ；APB 的大小为 _ ；（3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=kOB，OC=kOD（k1） ，AOB= COD=，则 AC 与BD 间的等量关系式为 _ ；APB 的大小为 10 （2005南宁） （A 类）如
8、图，DE AB、DF AC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；BD=CD； BE=CF已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B 类）如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；DE=DF； BE=CF已
9、知：EGAF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF参考答案与试题解析一解答题（共 10 小题）1 （2013泉州）如图，已知 AD 是 ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD 的延长线于点 F，求证：BE=CF考点： 全等三角形的判定与性质1125860专题： 证明题分析： 根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用“ 角角边”证明 BDE 和CDF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答： 证明：AD 是ABC 的中线，BD=CD，BEAD，CF AD，BED=CFD=90，在BDE 和CDF 中，BDECDF（AAS） ，BE=CF点评： 本题考查
10、了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用2 （2013河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 S 1=S2 （2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC
11、 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4 ，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长考点： 全等三角形的判定与性质1125860专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）根据旋转的性质可得 AC=CD，然后求出 ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60 ，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC= AB，然后求出 AC=BE
12、，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得 BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边” 证明ACN 和DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点 D 作 DF1BE，求出四边形 BEDF1 是菱形，根据菱形的对边相等可得 BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1 为所求的点，过点 D 作 DF2BD，求出 F1DF2=60，从而得到DF 1F2 是等边三角形，然后求出 DF1=DF2，再求
13、出 CDF1=CDF2，利用“边角边”证明CDF1 和 CDF2 全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2 也是所求的点，然后在等腰BDE中求出 BE 的长，即可得解解答： 解：（1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD 是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30， C=90，CD=AC= AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2；故答案为：DE AC；S 1
14、=S2；（2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+ BCN=18090=90，ACN=DCM，在 ACN 和DCM 中，ACNDCM（AAS） ，AN=DM，BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1 是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF 1 上的高相等，此时 SDCF=SBDE，过点 D 作 DF2BD，ABC=60，F1DF2=ABC=60，DF1F2 是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点 D 是角
15、平分线上一点，DBC=DCB= 60=30，CDF1=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在 CDF1 和CDF 2 中，CDF1CDF2（SAS ） ，点 F2 也是所求的点，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD= 60=30，又 BD=4，BE= 4cos30=2 = ，BF1= ，BF 2=BF1+F1F2= + = ，故 BF 的长为 或 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全
16、等三角形的面积相等是解题的关键， （3）要注意符合条件的点 F 有两个3 （2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG ，延长 CF 与DG 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数考点： 全等三角形的判定与性质1125860分析： （1）在CBF 和DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得DHF=CBF=60，从而求解解答：
17、 （1）证明：在CBF 和DBG 中，CBFDBG（SAS） ，CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB= DFH，DHF=CBF=60，FHG=180DHF=18060=120点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键4 （2012阜新） （1）如图，在 ABC 和 ADE 中，AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90 ） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请
18、说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90；乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 90考点： 全等三角形的判定与性质1125860专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）BD=CE ，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD 和 CDF 中，由三角形内角和定理可以求得CFD=90，即 BD
19、CF；BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于H）BH 构建对顶角ABF= HCF，再根据三角形内角和定理证得 BHC=90；（2）根据结论、的证明过程知，BAC= DFC（或FHC=90 ）时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE 90不合适解答： 解：（1）结论：BD=CE ，BDCE ；结论：BD=CE ，BDCE 1 分理由如下：BAC= DAE=90BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE1 分在ABD 与 ACE 中
20、，ABDACE（SAS）BD=CE1 分延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H在ABF 与 HCF 中，ABF=HCF，AFB= HFCCHF=BAF=90BDCE3 分（2）结论：乙AB：AC=AD：AE， BAC=DAE=902 分点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质SSS，SAS ，ASA，AAS ，HL 均可作为判定三角形全等的定理 注意：在全等的判定中，没有 AAA（角角角）和 SSA（边边角） （特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于 SSS） ，因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分
21、别对应相等的两个三角形也全等5 （2009仙桃）如图所示，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N ，使 DM= BD，EN=CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD 与 CE 的数量关系是 ；在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若 AB=kAC（k1） ，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、MAN与BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明考点
22、： 全等三角形的判定1125860专题： 压轴题；探究型分析： （1）根据题意和旋转的性质可知 AECADB，所以 BD=CE；根据题意可知CAE=BAD，AB=AC ，AD=AE，所以得到BAD CAE，在ABM 和ACN中，DM= BD，EN= CE，可证ABMACN，所以 AM=AN，即MAN=BAC（2）直接类比（1）中结果可知 AM=kAN， MAN=BAC解答： 解：（1）BD=CE ；AM=AN，MAN= BAC，DAE=BAC，CAE=BAD，在BAD 和 CAE 中CAEBAD（SAS ） ，ACE=ABD，DM= BD，EN= CE，BM=CN，在ABM 和ACN 中，AB
23、MACN（SAS） ，AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；（2）AM=kAN，MAN=BAC点评： 本题考查三角形全等的判定方法和性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目6 （2008台州） CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E ，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=（1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题
24、：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 BE = CF；EF = |BE AF|（填“”， “”或“=”） ；如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，= BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明） 考点： 直角三角形全等的判定；三角形内角和定理1125860专题： 几何综合题；压轴题分析： 由题意推出CBE=ACF ，再由 AAS 定理证 BCECAF，继而得答案解答： 解：（1）BCA=90， =90，BCE+CBE=
25、90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC= CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BE AF|所填的条件是：+BCA=180证明：在BCE 中，CBE+BCE=180BEC=180 BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA ，CBE=ACF，又 BC=CA，BEC= CFA，BCECAF（AAS ）BE=CF，CE=AF ，又 EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF 点评： 本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用7 （2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，
26、己知四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，DAB=60，B 与D 互补，求证：AB+AD= AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B= D”，如图 2，可证 AB+AD= AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为 E、F （请你补全证明）考点： 直角三角形全等的判定1125860专题： 证明题；压轴题；开放型分析： （1）如果：“B= D”，根据 B 与D 互补，那么B=D=90 ，又因为DAC= BAC=30，因此我们可
27、在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD=AB= AC，那么 AD+AB= AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形 CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条件根据 AAS 可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可解答： 证明：（1）B 与D 互补，B=D ，B=D=90，CAD=CAB= DAB=30，在 ADC 中， cos30= ，在ABC 中，cos30= ，AB= AC，AD= AB+AD= （2）由（1）知，AE+AF= AC，AC 为角平分线， CFCD，CEAB，CE=CF而ABC 与D 互补，ABC 与CBE 也互补，D=CBE在
28、 RtCDF 与 RtCBE 中，RtCDFRtCBEDF=BEAB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF= AC点评： 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键8 （2007常德）如图，已知 AB=AC，（1）若 CE=BD，求证：GE=GD；（2）若 CE=mBD（m 为正数） ，试猜想 GE 与 GD 有何关系 （只写结论，不证明）考点： 全等三角形的判定与性质1125860专题： 证明题；压轴题；探究型分析： （1）要证 GE=GD，需证GDFGEC，由已知条件可根据 AAS 判定（2）若 CE=mBD
29、（m 为正数） ，那么 GE=mGD解答： 证明：（1）过 D 作 DFCE，交 BC 于 F，则E= GDFAB=AC，ACB=ABCDFCE，DFB=ACB，DFB=ACB=ABCDF=DBCE=BD，DF=CE，在GDF 和GEC 中，GDFGEC（AAS） GE=GD（2）GE=mGD 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS、HL本题的辅助线是解决题目的关键9 （2006泰安） （1）已知：如图 ，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD ，AOB=COD=60 ，求证：AC=BD； APB=60 度；（2）如图，在
30、AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD ， AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 AC=BD ； APB 的大小为 ；（3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=kOB，OC=kOD（k1） ，AOB= COD=，则 AC 与BD 间的等量关系式为 AC=kBD ； APB 的大小为 180 考点： 全等三角形的判定；三角形内角和定理1125860专题： 探究型分析： （1）分析结论 AC=BD 可知，需要证明AOC BOD，围绕这个目标找全等的条件；（2）与图比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明AOCBOD，方法类似；（3）转化为证明AOC BOD解答： 解：
31、（1）AOB= COD=60，AOB+BOC=COD+BOC即：AOC=BOD又 OA=OB，OC=OD ，AOCBODAC=BD由得：OAC=OBD，AEO=PEB，APB=180 （BEP+ OBD） ，AOB=180（OAC+ AEO） ，APB=AOB=60（2）AC=BD，（3）AC=kBD，180 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件10 （2005南宁） （A 类）如图，DE AB、DF AC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中
32、，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；BD=CD； BE=CF已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B 类）如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；DE=DF； BE=CF已知：EGAF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF友情提醒：若
33、两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是 A 类类题考点： 全等三角形的判定与性质1125860专题： 证明题；开放型分析： 本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论解答： 解：（A 类）已知：，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF证明：AB=AC ，B=CDEAB，DFAC，BED=CFD=90在BDE 和CDF 中BDECDFBE=CF已知：，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF证明：EG AF，GED=F，BGE=BCAAB=AC，B=BCA，B=BGE，BE=EG在DEG 和 DFC 中DEGDFC，EG=CF，BE=CF点评： 这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种同时还考查了全等三角形的性质
