1、第 1 页 共 11 页三角形四心的一种向量表示几个记法：在ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结 AO 并延长交 BC于 D，连结 BO 并延长交 CA 于 E，连结 CO 并延长交 AB 于 F。记： ， ， ；ABFtBCDtCAtE， ， ；CE且有： 1ABACBCttt记： ， ，ODECOF引理 1.线段的定比分点的向量关系式（1） (1.1.1)；1BCBCtAAt； (1.1.2)1ACACtEt。 (1.1.3)ABABtFt（2）若 ， ， ，则有：BCDCAE(1.2.1)；(1)BCD； (1.2.2)AAE。 (1.2.3)(1)BBF证明：只证明（1.1
2、.1） ，其它同理。 BCDtFDECA BO图 1第 2 页 共 11 页 则有1BCtD1()11BCBCAttAtt引理 2. (2.1.1)1ACABCBttO(2.1.2)1ABCt(2.2.1)1BBACACttO(2.2.2)1BCAt(2.3.1)1CBCABAttO(2.3.2)1CABt且有 (2.4)2C证明：点 B、 O、 E 共线，且 BE第 3 页 共 11 页 (1)(1)1ACBBtAOAE同理，点 C、 O、 F 共线，且 CF (1)(1) (1)1ABABC CCttA ，解得： 1ABBCAtt1ACBBCACtt代入得： 11()ACACABBCttt
3、O11ACABCBtt又由引理 1： BCBCtDt共线得：AO与 1()1ABCABCAtttt由塞瓦定理得： 代入上式得： 1ACBCABtt 1ABCt由得 121CACABABCABBCttt式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1) 、(2.3.2)可同理证明。第 4 页 共 11 页定理 1. 若 O 是三角形 ABC 的重心，则 ，且 .13AOBC23AOD当 O 为三角形 ABC 的重心时，有 ，代入引理 2 可得。BCt定理 2. 若 O 是三角形 ABC 的内心，则 ，bcaab且 .bcADa当 O 为三角形 ABC 的内心时，内三角形的内角平分线定理，有 ，代入
4、,ABCctta引理 2 可得。定理 3. 若 O 是三角形 ABC 的垂心，则： . (3.1)cot(cot)ACAB且 .sinD证明：当三角形不为直角三角形时O 为三角形 ABC 的垂心时，有： ，代入引理 2 有：coscos,ABACbttaa=cossco11bAaBAbCcs coscososcoscosABABACabaCb 再由正弦定理得： 2in,i,2inaRbR代入上式，分子、分母同除以 2RsinAsinBsinC，可得： 。cotcotAOC把 ，代入引理 2 整理得：ss,BAbtaa cosinAODBC若三角形为直角三角形，第 5 页 共 11 页当 A 为
5、直角时，ABC 的垂心即为点 A，所以 ，而 cotA=0，故（3.1）成立O当 B 为直角时，ABC 的垂心即为点 B， ，cotB=0， （3.1）成立；当 C 为直角时，ABC 的垂心即为点 C， ，cotC= 0， （3.1）成立。引理 3. 0ABACOttO证明：由引理 2： 11ACBABtt1BCBACAtt= ()1BCBACAt t=()1BCBACAtt由前边的记法及由塞瓦定理得： ， 代入上式得：1BAt1ACBCBtt11ACACBBttO同理： AABBCCtt由平面向量的基本定理，可设 Oxy第 6 页 共 11 页于是有：111ACAB ABCBCABACABt
6、t txyttt即： 解得：(1)()CBACAAtxtytACxty 0BCOttO定理 4. O 是三角形 ABC 的重心的充要条件是： 。0OB证明：必要性：若 O 是ABC 的重心，则 ，由引理 3 得1ABCt0AOC充分性：由 得： （其中 F 是 AB 的中点）0ABC2F点 O、 C、 F 共线，即点 O 在中线 CF 上；同理，点 O 在中线 AD、BE 上，O 为ABC 的重心。定理 5. O 是三角形 ABC 的内心的充要条件是： (其中0aOAbBcCa、b、c 分别是角 A、 B、 C 的对边)。证明：必要性：O 是三角形 ABC 的内心，由内角平分线定理 ，,ABC
7、ctta由引理 3 得： 0bOBCa即： c充分性：由 0aAb变形得： ()()OBcOAC第 7 页 共 11 页 () ()|ABCabcAOBcCb由向量加法的平行四边形法则，点 O 在角 A 的平分线上；同理，点 O 在角 B 和角 C 的平分线上，点 O 是ABC 的内心。定理 6. O 是三角形 ABC 的垂心的充要条件是：。 （6.1）tantatan0BCO注：当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形，可把结论改为：= 。 (6.2)sincoscosiscosiABCABCA事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。证明：必要性：当三角形不为直角三角形时O 是三
8、角形 ABC 的垂心 ，coscos,ABACbttaa由引理 3 可得 s0AOBC即： coscoscosbBO再由正弦定理得： 2in,si,2inaRRc代入上式，然后两边同除以 2RcosAcosBcosC得： tantt0AOB当三角形为直角三角形时，经验证，(6.2)成立。充分性：若三角形不为直角三角形由 tantatan0ABCO变形得： ()tatanABCA第 8 页 共 11 页即： tantanttttBCAOAACB由引理 1 得： =1BBCCDtt cos1cosBbCb= coscosbAACb由正弦定理得： 2in,i,2sinaRcR上式化为 sicoons
9、iicsBCCBA= sicoiAA而tasintntnsico(tatta)cosBCBCtasintntnsico(tatta)cosAAB 共线，即点 O 在 BC 边的高线上；OD与同理，点 O 也在 CA、 AB 边的高线上，O 为 O 是三角形 ABC 的垂心。若三角形为直角三角形，当 A 为直角时，点 A 即为三角形的垂心。 （6.2）化为： ，即 O 与 A 重合，0所以 O 为三角形的垂心。对 B 和 C 为直角时，同时可得。定理 7. O 是三角形 ABC 的外心的充要条件是：（7.1）sin2sisin20BOC证明此定理需要下面的引理：第 9 页 共 11 页引理 4.
10、如图 2：在ABC 中， D、 E、 F 分别是边 BC、 CA、 AB 的中点，若 O 是ABC的外心，则 O 是DEF 的垂心。证明：D 、 E、 F 分别是 BC、 CA、 AB 的中点EFBC，FDCA，DEAB ，OABC 的外心，ODBCODEF，同理：OEFD，OF DE，O 为DEF 的垂心。逆定理：如图 3：设 O 是ABC 的垂心，过点 A、 B、 C 分别作 BC、 CA、 AB 的平行线，交于 D、 E、 F 三点，则 O 是DEF 的外心。证明：EFBC，FDCA，DEAB ，四边形 ACBF、 ABCE 分别是平行四边形，AF = BC = AE，即 A 是 EF
11、的中点，同理，B 是 FD 的中点，C 是 DE 的中点，O 是ABC 的垂心，OAEF，OBFD，OCDE，OA=OB=OC，O 是DEF 的外心。定理 4 的证明：必要性：O 是ABC 的外心，O 是DEF 的垂心，当三角形不为直角三角形时由定理 7 得： ，tantatan0DOEFO又由 D=A，E=B，F=C 有： tan0ADBECF ， ， ，2BC22A代入上式整理得： 。(tant)(tant)(tant)0OOBOODEFAB C图 2ODEF AB C图 3第 10 页 共 11 页把各切化弦可得： sin2sisin20AOBCO若三角形为直角三角形，当 A 为直角时，
12、有 ，而外心 O 为,siin2ABCBC 边的中点， ，所以 。0BCsi 0当 B 或 C 为直角时，同理可证。充分性：当三角形不为直角三角形时由 sin2sisin20AOO用二倍角公式将 sin2A、sin2B、sin2C 展开，两边同除以 cosAcosBcosC可得： (tat)(tat)(tant)0ABO于是： nn如图 2： ， ， ，且ODBC2OE2FABD=A，E=B ，F=C，代入上式得： tantatan0O 是是DEF 的垂心，由引理 4 的逆定理，则 O 是 ABC 的外心。当三角形为直角三角形时。若 A 为直角，有 ， （7.2）化为： ，则 O 为 BCsi
13、n20,siin2ABC 0BC边的中点，所以 O 为三角形的外心。当 B 或 C 为直角时，同理可证。定理 8. 若 O 是ABC 的外心， AO、 BO、 CO 的延长线分别交 BC、 CA、 AB 于点D、 E、 F。则有：coscos2in2inCAABABDEFOAB C第 11 页 共 11 页coscos2in2inABCOCCB1iAcos2nB1iCB且 ； ；sn2AFsin2CDsin2AEC证明：由 O 是ABC 的外心得：sisisi0O变形得： n2()sin2()0ABAA即 (siisi)CC siin2iin2in2iOBD 、 B、 C 共线，设 DtB (1)AtA又 共线，则有：AOsin2(1)iiiABt C解得：sin2isiiABCt由三角变换及向量变换得： ，cos12inABCsin2CDB其它同理可证。
