1、1一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),记 =b 2-4ac.则有:0 方程有两个不等实数根;=0 方程有两个相等实数根;0 方程没有实数根.注意：（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c 的值。（2）如果说方程 有实数根 ，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac0 切勿丢掉等号.(3)根的判别式 b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件 a0.(4)显然,当 、 异号时，ac0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心.二.根的
2、判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况.例 1.不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0;(2) .210xa 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例 2.求 k的何值时,关于 x的方程 2(k+1)x2+4kx+2k-1=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；(4) 有一根. 证明字母系数方程有实数根或无实数根.例 3求证方程(m 2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系).若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个根分别为 、 ，则有：1x2， .12bx
3、a1cx注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程(a0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足 0)四.韦达定理的应用. 求根或参数的值.例 4.(1)已知方程 的两个根为 和 ,求 、 的值.20xpq24pq(2)已知方程 的一个根是 ,求方程的另一个根及 m 的值.4m3(3)若方程 的一个根是 2, 求方程的另一个根及 k 的值.5k说明:这 3 个题目均有两种解法 ,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根法更简单 .2 求与两根有关的对称式的值.例 5.设 、 是方程 的两根,试求下列各式的值:1x22430x(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;
4、(5) ;(6) ;12112x12()x12x(7) ;(8) ;(9) .32231xx4说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值 ,对于此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比如方程替换为 ,则230x宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程 ax2+bx+c=0(a0), 当 时,有 =012= ,此结论及其推导22111()()4()4bcxxxa2ac过程必须牢记于心. 分析一元二次方程根的范围(主要指符号).例 6.已知关于 的方程 .根据下列各条件分别求 的取值范围.x2()10kxk(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两
5、根异号,且负根绝对值大.构造一元二次方程.理论依据是:以 x1、x 2为根的一元二次方程是 x2-（x 1+x2）x+x1x2=0.例 7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 和 1+ .5 53例 8.解下列方程组:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .56xy56xy231xy2135xy五.作业1一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )2(1)10kxkA B C Dk,k且2k2,1k且2若 是方程 的两个根，则 的值为( )12,x2631xA B C D2923已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于
6、 的x方程 的根，则 等于( )22(1)30xmxmA B C D53且53且4若 是一元二次方程 的根，则判别式 和完全平方t 0abxca24bac式 的关系是( )2()MtA B C D大小关系不能确M定5若实数 ，且 满足 ，则代数式 的ab,22850,850ab1ab值为( )A B C D20且 20且6如果方程 的两根相等，则 之间的关系是 2()()cx,bc_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 的两个根，则这个直2870x角三角形的斜边长是 _ 8若方程 的两根之差为 1，则 的值是 _ 2(1)30xkk9设 是方程 的两实根， 是关于 的方程1,pxq2
7、,x的两实根，则 = _ ， = _ 20qq10已知实数 满足 ，则 = _ ， = _ ， = _ ,abc26,9bcabc11对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可2106xx能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由412若 ，关于 的方程 有两个相等的的正实数根，求0nx21()04mnx的值m13已知关于 的一元二次方程 x2(41)20xmx(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,1214已知关于 的方程 的两根是一个矩形两边的长x221()04kx(1) 取何值时，方程存在两个正实
8、数根？(2) 当矩形的对角线长是 时，求 的k 5k值15已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 x2(1)(3)10kxkx12,x(1) 求 的取值范围；k(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存k在，请您说明理由16已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 11求证：关于 的方x230xm x程 有实数根2(3)64k17若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于12,xx22(1)0kx12,x1(1) 求实数 的取值范围；k5(2) 若 ，求 的值12xk练习答案: 1 B 2 A 3A 4A 5A6 ,acbc且7 3 8 9 或 91,3pq10 11正确 124,0c13 2(1)65 ()2m14 3 ()k15 (2) 不存在()12且16 (1)当 时，方程为 ，有实根； (2) 当 时， 也有实310x3k0根17(1) ； (2) 34k且7k
