1、1第四章 数系的扩充与复数的引入(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 i21，则 i(1 i)( )3A. i B i3 3C i D i3 3解析： i(1 i)i i2 i.3 3 3答案： B2 z1( m2 m1)( m2 m4)i， mR， z232i，则 m1 是 z1 z2的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析： 因为 z1 z2，所以Error!，解得 m1 或 m2，所以 m1 是 z1 z2的充分不必要条
2、件答案： A3已知复数 z 满足| z|2 z2，则 z 是( )A0 B任意实数C任意复数 D实数和纯虚数解析： 设 z a bi(a， b 为实数)，则|z|2 a2 b2， z2 a2 b22 abi.| z|2 z2，Error!即 aR 且 b0，故 z a 是任意实数答案： B4i 是虚数单位，复数 ( ) 1 3i1 2iA1i B55iC55i D1i解析： 1 3i1 2i 1 3i 1 2i5 1i5 5i5答案： A25复数 2( )(3 i1 i)A34i B34iC34i D34i解析： 3 i1 i 3 i 1 i2 2 4i212i 2(12i) 234i(3 i
3、1 i)答案： A6(1i) 20(1i) 20的值是( )A1 024 B1 024C0 D1 024i解析： (1i) 20(1i) 20(1i) 210(1i) 210(2i) 10(2i) 10(2i)10(2i) 100.答案： C7若 z1( x2) yi 与 z23 xi( x， yR)互为共轭复数，则 z1对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： 由 z1， z2互为共轭复数，得Error!，解得Error!，所以 z1( x2) yi3i.由复数的几何意义知 z1对应的点在第三象限答案： C8若复数 z 满足 i，则|1 z|等于( )1 z1 zA
4、. B12C0 D2解析： 由 i，得 1 zii z，1 z1 z(1i) z1i， z i，1 i1 i|1 z|1i| .2答案： A9设 z1i 4i 5i 6i 12， z2i 4i5i6i12，则 z1， z2的关系是( )A z1 z2 B z1 z2C z11 z2 D无法确定3解析： z1 i 41，i4 1 i91 i i4 1 i1 iz2i 456712 i 721.答案： B10定义运算 ad bc，则符合条件 42i 的复数 z 为( )|a c b d| |1 z 1 zi|A3i B13iC3i D13i解析： zi z z(1i)42i，|1 z 1 zi|
5、z 3i.4 2i1 i 4 2i 1 i2 4 2 2i2答案： A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)11若复数 z1429i， z269i，其中 i 是虚数单位，则复数( z1 z2)i 的实部为_解析： ( z1 z2)i(429i)(69i)i(220i)i202i，( z1 z2)i 的实部为20.答案： 2012若复数 z 满足 z(1i)1i(i 是虚数单位)，则其共轭复数 _.z解析： 设 z a bi，则( a bi)(1i)1i，即 a b( a b)i1i.由Error! 解得Error!所以 zi， i.z答案： i
6、13若复数 (bR)在复平面上对应的点在直线 y x 上，则 b 的值为2 bi31 i_解析： 2 bi31 i 2 bi 1 i2 ，2 2i bi b2 2 b b 2 i2由题意得(2 b) b2， b0.答案： 014设 zC， z| |2i，则 z_.z解析： 设 z a bi(a， bR)，则| | ，z a2 b24 a bi 2i，a2 b2Error!Error! ， z i.34答案： i34三、解答题(本大题共 4 小题，满分 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知 z1( x y)( x2 xy2 y)i， z2(2
7、x y)( y xy)i，问 x， y 取什么实数值时，(1)z1， z2都是实数；(2)z1， z2互为共轭复数解析： (1)由Error!解得Error!或Error!，所以当Error! 或Error! 时， z1， z2都是实数(2)由Error! 解得Error! 或Error! ，所以当Error! 或Error! 时， z1， z2互为共轭复数16(本小题满分 12 分)计算： (5i 19) 22.i 231 23i (1 i2)解析： 原式 (5i 3)i 1 23i1 23i 2i 11211i(5i)i5i.17(本小题满分 12 分)已知复数 z . 1 i 2 3 1
8、 i2 i(1)求复数 z；(2)若 z2 az b1i，求实数 a， b 的值解析： (1) z 1i； 2i 3 3i2 i 3 i2 i 3 i 2 i5(2)把 z1i 代入得(1i) 2 a(1i) b1i，即 a b(2 a)i1i，所以Error! ，解得Error! .18(本小题满分 14 分)已知| z1|1，| z2|1，| z1 z2| .求| z1 z2|.3解析： 方法一：设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)由已知得 a2 b21， c2 d21.(a c)2( b d)23，又( a c)2( b d)2 a2 b2 c2 d22 ac2 bd22 ac2 bd3.2 ac2 bd1.5又| z1 z2|2( a c)2( b d)2 a2 b2 c2 d22 ac2 bd211，| z1 z2|1.方法二：在复平面内设 z1， z2分别对应向量 、 ，则对角线 对应 z1 z2， 对OZ1 OZ2 OZ Z2Z1 应 z1 z2，由已知| |1，| |1，| OZ| .OZ1 OZ2 3 OZ1Z120. Z2OZ160.在 OZ1Z2中| |1，即| z1 z2|1.Z2Z1 方法三：由教材中的习题得结论| z1 z2|2| z1 z2|22(| z1|2| z2|2)，得|z1 z2|21.| z1 z2|1.
