1、1. 有两个相距为 2a，电荷均为+q 的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上放置另一个点电荷 q，q与连线相距为 b。试求： （1）q所受的电场力； （2）q放在哪一位置处，所受的电场力最大？解：解法一 用直角系分解法求解。取直角坐标系，两 q 连接的中点为坐标原点 O，如图所示。(1) 由库仑定律可知，两电荷 q 施加给 q的电场力 F1 和 F2 的大小分别为: F1 和 F2 分别在 X 轴和 Y 轴上的投影为:于是电荷 q所受的合力 F 在 X 轴方向的分量为:因此，电荷 q所受的合电力 F 的为在 Y 轴方向的分量,大小为:方向沿 Y 轴方向。(2) 根据 q所受的电力 F=Fj,设
2、式中 b 为变量，求 F 对变量 b 的极值，有:可得: 得: 由于： 所以，当 q放在 处时，所受的电场力最大。解法二 本题也可以直接用矢量合成法求解。 (1) 根据库仑定律，q所受的电力 F1 和 F2 分别为 有电场力叠加原理可知，q所受的合力 F 为:此结果与解法一相同。如果选取的电荷 q与 q 同号，F 方向与 Y 轴同向；如果 q与 q 异号，F 方向与Y 轴反向。(2) 同解法一（略）。. 如图所示，在边长为 a 的正方形的 4 个顶点上各有一带电量为 q 的点电荷。现在正方形对角线的交点上放置一个质量为 m，电量为 q0(设 q0 与 q 同号)的自由点电荷。当将 q0 沿某一
3、对角线移动一很小的距离时，试分析点电荷 q0 的运动情况。解: 如图所示，取坐标轴 OX，原点 O 在正方形的中心，顶点上的点电荷到 O 电的距离为 。沿 X 轴方向使 q0 有一小位移 x(xR） ，带宽为 dr，则圆环带的面积为 dS=2rdr,其上带电量为 dq=dS=2rdr; 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式， 可得该圆环带在轴线上 P 点产生电场的大小: ，因此，该系统在 P 点产生总场强的大小为:方向沿 X 轴正方向。解法二 半径为 R 的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为+ 和- 的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为 R、电荷面密度为+ 的圆盘，则 P 点处的场强可以
4、看成是电荷面密度为+的无限大均匀带电平面在 P 点产生的场强 E1 和电荷面密度为 -、半径为 R 的带电圆盘在 P 点产生的场强 E2 的矢量和，由于 E1 和 E2 方向均沿 X 轴方向， P 点的总场强 E 的大小为: 方向沿 X 轴正方向。7.如图所示，一半径为 R 的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为 ，试求球心处的电场强度 E。解: 取坐标轴 OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为:为便于计算，可采用角量描述。因为: ,dl=Rd,所以 dq=2R2sind.又带电圆环在轴线上一点的场强公式，可得该带电圆环在 P 点产生场强dE
5、 的大小为: ,由于 dq 为正，故 dE 方向沿 X 轴正方向。将 dq 带入上式，可得: ,为所有圆环在 P 点产生场强的矢量和，则整个半球面在球心 P 点处产生的场强的大小为:方向沿 X 轴正方向 8. 如图所示，一点电荷 Q 处于边长为 a 正方形平面的中垂线上，Q 与平面中心 O 点距a/2。试求通过正方形平面的电通量。解: 以正方形为一面，取一个立方体状的闭合面 S 将 Q 包围起来。由高斯定理可知，通过该闭合面的电通量为:由于立方体的六个表面均相等，且对中心（即 Q 所在处）对称，所以，通过每一面的电通量为 Q/60 ，也就是通过正方形面积的电通量。9.一个电荷按体密度对称分布的
6、球体，试求带电球体场强的分布。解:由于电荷分布具有球对称性，所以它所激发的电场也具有球对称性，其场强的方向沿径向，而且在同一球面上场强处处相等。因此，可用如图所示求解 E。设球内任意点 P 到球心 O 的距离为 r，如图所示，在以 O 为中心，r 为半径的球面上各点的场强数值相等，而方向均垂直于球面。因此可以选择此球面作为高斯面，根据高斯定理可得:由于电荷沿径向分布，所以:代入上式得:若球体半径为 R，求解球外一点 P 的场强时，由高斯定理可知:此时 :10. 如图（ a）所示，在一电荷体密度为 e 的均匀带电球体中，挖去一个球体，形成一球形空腔，偏心距为 a。试求腔内任一点的场强 E。解:
7、可用补偿法求解。由题意可知，可以设想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷。这样本题就可归结为求解一个体电荷密度为 e 的均匀带电大球体和一个体电荷密度为-e 的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加。设 P 点为空腔内任一点，大球 O 的场强分布具有球对称性，小球 O的场强分布也具有球对称性，于是可分别以 O 和 O为球心，以 r 和 r为半径（均通过 P 点） ，作高斯面S 和 S。根据高斯定理，可求得大球在 P 点产生的场强为:同理，可求得小球在 P 点产生的场强为:如图（b）所示， ，由电场叠加原理可知，P 点的总场强为:结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小为 ，其方
8、向为平行于两球心的连线 a，由 O 指向 O， 如图（b）所示。11.有一半径为 R 的均匀带电球体，电荷体密度为+，今沿球体直径挖一细隧道，设挖隧道前后其电场分布不变，如图所示。现在洞口处由静止释放一点电荷-q，其质量为m，重力在此忽略不计。试求点电荷在隧道内的运动规律。解: 沿隧道取坐标轴 OX，以球心为坐标原点 O，如图所示。若点电荷-q 位于某位置 x 处时，以 x 为半径，可作一球形高斯面 S，由高斯定理可求出 x 处的场强大小为:其方向沿 X 轴正方向。因此在此处点电荷-q 受到的电场力为:不难看出，F 的方向始终是指向球心的。若令 k=q/30 ，则 F 为:F=-kx,这表明点
9、电荷受的力 F满足线形回复力的关系，则-q 以 O 点为平衡位置作简谐振动。由简谐振动知识可知，点电荷-q在隧道中谐振的圆频率为:, 响应的运动周期为: 12. 半径为 R 的无限长圆柱体，柱内电荷体密度 =ar-br 2,r 为某点到圆柱轴线的距离，a、b 为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。解: 因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为 r 的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向，因此可用高斯定理求解。选取长为 l，半径为 r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面 S，由高斯定理可知:当 rR 时，高斯面 S 内所包围电荷的代数和为: 代入(1)可得: 13.三块面积均为 S，且靠的很近的导体平面
10、 A、B、C 分别带电 Q1、Q2、Q3，如图所示。求：(1)6 个导体表面的电荷面密度 1， 2， 6 (2) 图中 a,b,c 三点的场强。解： （1）因 3 导体板靠的很近，可将 6 个导体表面视为 6 个无限大带电表面。导体表面电荷分布可认为是均匀的，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图虚线所示的圆柱型高斯面，因导体在到达静电平衡后内部场强为零，又导体外的场强方向与高斯面的侧面平行，故由高斯定理可得 2 = 3 ，4 = 5，再由导体板 A 内 d 点场强为零，可知:所以:1=6 ，故点 a 的场强为 6 个导体表面产生场强的矢量和:根据上述已知结果，可知： ，再由于 :得: (2)
11、a,b,c 点的场强: 同理14.将一块两面总电荷面密度为 0 的无限大带电金属平板置于与板面垂直的匀强电场 E0 中，如图所示，试求金属板与电场垂直的两个面上电荷的分布以及金属板外的场强分布。解: 金属板未放入外电场 E0 中时，其两个面上的电荷均匀分布。将其放入外电场 E0 中，金属板在外电场 E0 的作用下产生静电感应，引起导体表面电荷的重新分布。设E0 方向如图所示，金属板在外电场中电荷的重新分布后，A 、B 两表面的电荷面密度分别为 A 和 B。根据无限大带电平面的场强分布公式可知，金属板 A、B 两表面在空间激发电场的场强大小分别为：方向如图所示，由静电平衡条件所知，金属板中任意点
12、 P 处的场强为零，即：又有电荷守恒定律，有 A+B=0联立求解上述关系式，得： 可见，这时金属板与外场垂直的两个表面上电荷面密度不相等。由对称性分析可知，电场强度方向仍垂直于无限大平面，由场叠加原理可知，金属板左边电场中的场强大小为：右边电场中的场强大小为：可见，静电场中放入金属板后，不仅是金属板上的电荷重新分布，而且板外电场的分布也相应改变，无限大带电平板的左方与右方分别为场强数值不同的均匀电场。15. 已知点电荷 q 与一无限大接地导体相距为 d，试求：(1)导体板外附近一点 P 处的场强 EP，q 与 P 点相距为 R； (2) 导体板面上的感应电荷 q。解 题意如图（a）所示。由于静
13、电感应，导体板上有感应电荷 q分布在导体板的表面。 设 P 点附近导体板面元?S 的面电荷密度为 P，由于 P 点靠近导体板，则该点的场强为:EP=P/0.如图（b）所示，根据导体静电平衡性质，在导体平面内与 P 点邻近的 P点处的场强：EP=0。由场叠加原理可知，P点的场强为点电荷 q 在 P点产生的场强 EP1，电荷面密度为 p 的面元?S 产生的场强 EP3 的叠加，即 EP = EP1 + EP2 + EP3 = 0.其中： （ R0 为 q 指向?S 的单位向量）（n 为平板外法向） EP3 沿 平板的切向 t。因此 EP3 又可写为:EP=EPnn + EPtt.由图（b）分析可知
14、 EPn=0 EPt=0.所以:由此可知:EP 垂直于平板指向下方，即-n 方向。导体平板上的感应电荷是以垂足 O 为中心，成圆心对称分布的。取离 O 点为 r 处，宽度为 dr 的细宽环，面积元 dS=2rd r，如图（c）所示。DS 上的带电量为:则导体板上的感应电荷为: 16. 如图所示一导体球原为中性，今在距球心为 r0 处放一电量为 q 的点电荷，试求：(1)球上的感应电荷在球内 P 点上的场强 EP 和电势 VP；(2) 若将球接地，EP 和电势VP 的结果如何。解 （1）由静电平衡条件和场叠加原理可知，P 点的场强为点电荷 q 和球面 感应电荷在该处产生的矢量和，且为零，即:所以
15、: 式中 r 为 P 点到点电荷 q 的距离。由电势叠加原理可知，P 点的电势为点电荷 q 和球面感应电荷的总电量为 O,所以感应电荷在 O 点产生的 电势为 0，即 V0=0，因此，上式为:由此，球面感应电荷在 P 点产生的电势为:即:(2) 当球体接地后，球体电势为 V=0。由上述分析可知 P 点的电势: 所以:而 EP 仍满足静电平衡条件，即: 所以:17. 如图所示，在一个接地导体球附近放一个点电荷 q，已知球的半径为日，点电荷 q与球心的距离为 a。试求导体表面上总的感应电荷 q。解: 根据静电感应规律，导体是一个等势体。因导体接地，故令导体球的电势为零，球心 O 的电势也为零。接地
16、后导体球表面的感应电荷 q在球面上的分布是不均匀的，设感应电荷面密度为 。由电势叠加原理可知，球心 O 处的电势V0 是点电荷 q 以及球面上感应电荷 q共同产生的。点电荷 q 在球心 O 处产生的电势为:因导体球上感应电荷 q在球面上的分布不均匀，各处 也不一样，所以感应电荷 q在球心的电势由积分计算，为:所以，球心 O 处的总电势为: 故 q = Rq/a （负号表示感应电荷与球外电荷 q 的符号相反）18. 如图所示，半径为 R1 的导体球面电荷为 q，在它外面同心的罩一金属球壳，其内外壁的半径为 R2 与 R3，已知 R2=2R1，R3=3R1，令在具球心为 d=4R1 处放一电量为Q
17、 的电电荷，并将球壳接地。试求：(1) 球壳带的总电量；(2) 用导线将壳内导体球与可相连，球壳所带电量。解: （1）取球心 O 处进行分析，比较简便。球心 O 处的电势点电荷 Q 和三个导体球面上的电荷在 O 点产生电势的叠加，分别为:由高斯定理可得，球壳内表面 S2 上的总电量为 q=-q，所以:设球壳外表面 S3 上的总电量为 Q，则有:由电势叠加原理可知，球心处的总电势为:V0 = VQ + VS1 + VS2 +VS3,又因为: 其中 E 为球体与球心处的电场强度，由于球壳接地 V 壳=0，所以两者之间的电势差就等于球体的电势。 因此: , 解得 Q=-3Q/4,则球壳带的总电量为:
18、 Q+q=-3/4Q-q。(2) 当内外球用两线相连时，仍用上述的电势叠加原理计算中心球心 O 的电势,有:即: , 将 R3=3R1,d=4R1 带入上式，得:Q=-3Q/4 19. 如图 (a)所示，半径为 R1 的导体球带有电荷+q ，球外有一内、外半径分别为R1、R2、R3 的通心导体球壳，壳上代有电荷+Q。试求： (1) 两球的电势 V1 和 V2 及两球的电势差；(2) 用导线把球和球壳连在一体后，V1、V2 和?V 为多少？(3) 在情景（1）中，若外球壳接地，V1、V2 和?V 为多少？(4) 设外球面离地面很远，若内球接地，情况又如何？解: 如图(a) 所示，在导体到达静电平
19、衡后，q 分布在导体球的表面上。 由于静电感应在外球壳的内表面上感应出负电荷-q，外表面上感应出正电荷 q，则在球壳外表面上共带电荷（ q+Q） 。(1) 解法一 由于场的分布具有对称性，可用高斯定理求得各区域的场强分布为:E1 = 0 (r R3 )E 的方向均沿径向向外。导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可计算两球的电势 V1 和 V2。内球体内的任意场点P1（rR3 的空间中，即:。同时球体与球壳成为一个等势体，即 V1=V2，于是，aa V= V1-V2=0。根据电势的定义，可得:（3）在情形（1）中，若外球接地，球壳外表面的电势为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内
20、表面，此时电场只分布在 R1r R2 的空间内，如图(c)所示。由于外球壳电势 V2=0，则内球体内任意场点 P1（r R1）的电势为:（4）当内球接地时，内球的电势 V2=0。但无限远处的电势也为零这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分布，使球壳外的场强沿着径向指向无限远处，球壳内的场强沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相映减少，当球壳上的负电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系便会感应出等量的负电荷-Q ，此负电荷（-Q）的一部分（设为-q ）均匀
21、的分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷（+q）与之平衡。因此，在到达静电平衡后，内球带电荷-q,球壳内表面带电量为 +q,外表面带电量为（Q-q） ，如图(d) 所示。解法一 根据高斯定理可知，可区域内的场强为：球壳上任意场点 P2（R2r R3）相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得:连立上述两式，求得: , 将 q的结果带入 V2 的表达式中，可得:相应的球体与球壳间的电势差为: 解法二 亦可根据带电导体球的电势公式和电势叠加原理求解。根据电势叠加原理，电势 V1 是由-q(r=R1 的球面 )，+q(r= R2 的球面)和 Q-q(r= R3 的球
22、面) 在内球体任意场点 P1（r R1）共同产生的电势的叠加，由于内球接地，有:在外球壳内任意场点 P2（R2r R3）的电势为:连立上述两式，求得:与解法一相同。20. 一根无限长直导线的横截面半径为 a，该导线外部套有一内半径为 b 的同轴导体圆筒，两者互相绝缘，且外筒接地，电势为零。现若导线的电势为 V，试求导线与圆筒之间的电场强度分布。解: 如图所示，设无限长直导线单位长度上所带电量为 ，P 点为导线与圆筒之间距轴线为 r 处的任意场点，由于系统具有轴对称性,用高斯定理，可求出导线与圆筒之间的场强分布为:方向沿径向向外。因外筒接地，V 筒=0。由电势定义式可求出电势为:联立上述 E 和
23、 V 式，消去未知数 ，可得导线与圆筒之间的场强分布为 :21. 如图(a)所示，一中性导体内有一球形空腔，若在腔的中心放一点量为+q0 的点电荷，在导体外，距腔的中心为 e 处放一点量为+q 的点电荷，试求：（1）腔表面上的感应电荷，导体外表面上的感应电荷；（2）腔表面上的感应电荷、点电荷 q、导体外表面上的感应电荷分别对点电荷 q0 的作用力及合力；（3） 当点电荷 q0 的位置偏离腔的中心位置时，上述结果为多少？解: （1）围绕空腔在导体在内部做一高斯面，由于导体静电平衡后，内部场强为零，所以由高斯定理可得腔表面上的感应电荷的总电量为-q0。由静电感应分析可得导体外表面上感应电荷的总电量
24、 q0，两者的分布如图(b)所示。（2）欲求腔表面上的感应电荷、点电荷 q、导体外表面上的感应电荷分别对点电荷 q0 的作用力，就必须先求出它们在 q0 处的电场强度。由于 q0 处于空腔中心，则腔表面上的感应电荷均匀分布。因此球形表面上的感应电荷 q0 处电场强度 E1 为零，即 E1=0。点电荷 q 的场强在 q0处电场强度为: , 因导体外表面上的感应电荷和点电荷 q 在腔内的电场相互抵消，故导体外表面上的感应电荷的电场在 q0 处电场强度为:aa由 F=q0E 可知，腔表面上的感应电荷对 q0 的作用力为 F1=q0E1=0,点电荷 q 对 q0 的作用力为:导体外表面上的感应电荷对
25、q0 的作用力为 : , q0所受的合力为 F（合）=F1+F2+F3=0,这表明 q0 所受的合力为零。(3) 当点电荷 q0 偏离空腔中心时，导体外表面上的感应电荷仍为 q0，而且分布也不改变；腔表面上的感应电荷仍为-q0，但其分布改变了，如图(c)所示。 导体外表面上的感应电荷和点电荷 q在腔内的电场仍相互抵消，导体外表面上的感应电荷的电场在腔内的电场强度 E1 却不再等于零，当点电荷 q0 偏离空腔中心时，虽然导体外表面上的感应电荷和点电荷 q 在腔内的电场仍相互抵消，但由于腔表面上的感应电荷是非均匀分布的它在腔内要激发电场，故腔内的电场是点电荷q0 和腔表面上的感应电荷共同激发的其分
26、布情况，如图(c)所示。当点电荷 q0 偏离空腔中心时，点电荷 q 和导体外表面上的感应电荷对 q0 的作用力仍相互抵消，但腔表面上的感应电荷对 q0的作用力却不再为零。这个力就是 q0 所受的合力。22. 如图所示，一电容器两极板为边长为 a 的正方形平板，但两板非严格平行，其夹角为 ，若 d/a，且略去边缘效应，试求该电容器的一级近似电容 C。解: 解法一 由于两平板不平行，故不能直接用平行板电容器的电容公式求解。但可将极板分成为许多狭带，如图所示。每狭带之间电容可用平行板电容器求解。电容器的电容是这许多狭带电容并联的总电容。取直角坐标系 OXY,对应 dx 狭带的电容为dC=0adx/y
27、,因为 y=d+xtan,所以 dC=0adx/(d+xtan),因此总电容为:由题意可知，当 d/a 时，sintan=，则有:又由于: ，取一级近似，略去高阶项，得:解法二 当两极板的电势差?V 不变时，场强 E 与面电荷密度 都将随距离而变化，则 dx 狭带的电容为:所以总的电容为: ， 由d/a 的条件，可得到与解法一相同的结果。23. 如图所示，平行板电容器由面积 S=2m2 的两个平行导体板 A、B 组成。两板放在空气中，相距为 d=1cm，充电到?V=100V 够与电源断开，在放入一平行等面积的导体板 C，距 A、B 板分别为 2mm 和 6mm，并将 C 板接地。试求： (1) 放入 C 板后，A、B 板间的电势差；(2) 用一导线将 A、B 板连接，此时 A、B 板与 C 板间的电势差。解: 由平行板电容器的公式可得: ,则电容器极板上的电量为:（1）A、B 板间的电势差在未插入 C 板前，两板之间的场强为: ,插入 C板后，由于极板上的电量不改变，所以电荷面密度不变，因此两板间的场强: 也不变，A、C 板间和 B、C 板间的场强都是 。由此可得:, AB 板间的电势差为: .(2)用导线将 A、B 板连接后，两板电势相同，系统相当于两个电容器并联，所以此时系统的电容为:因为极板上的电量未变，所以 A、B 板与 C 板间的电势差为:.
