1、 附录五 高等数学下（网络专科） 历年试卷历年试卷（一）课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2005 年题号 一 二 三 四 总分题分 15 15 54 16 100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 函数 在 处可微是在该处连续的( )条件),(yxf,0A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的2. 函数 在 处的全微分 （ ） 3z)1,(dzA B C D dyxyx2dyx3dyx233. 设 D 为 ，二重积分 =（ ） 2DA B C 3D 214. 微分方程 的特解可设为
2、 ( )xey“*yA. B. C. D. xaxaxea2xeba5. 若正项级数 收敛，则（ ） 1nkA 1 B 1 C 1 D 1kk二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1设 ， ，则 = 3,2a1,bba2曲面 在点（1，1，0）处的法线方程： xyez3微分方程 的通解为 cos4设 2 为方程 的特征方程的二重根，则其通解为 qyp5幂级数 的收敛半径 1nxR三、计算下列各题（本题共 9 小题，每小题 6 分，共 54 分）1.求极限 . xdtetx02)(lim2. 求过 , , 的平面方程.)(A)31(B)2,0(C3. 写出直线 的对称式方程
3、与参数式方程.42:zyxL4.设 ，求 和 .1yz5. 设 ， 具有二阶连续偏导数，求 .),2(xff yxz26. 计算二重积分 ，其中 是由 , 及 所围成的闭区域.DydxI 127. 求微分方程 满足 的特解.0)(8在区间 内求幂级数 的和函数.)1,( nnx019. 将 展开成 的幂级数(提示： ).xf5201,1nx四、应用题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1计算由 所围平面区域的面积.1,ey2设生产某种产品需要原料 A 和 B，它们的单位价格分别是 10 元和 15 元，用 单位x原料 A 和 单位原料 B 可生产 单位的该产品现要以最低成本生产
4、112 单y2820yx位的该产品，问需要多少原料 A 和 B?答案及评分标准一、选择题1.A； 2.C； 3.A； 4.B； 5.A二、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4,12zyx1cxysin4. ； 5.1xec2)(三、计算题1. -(3 分) 20()limxtd20li1xe=0.- -(6 分)2. 设平面方程为 ，代入点得-(2 分)AxByCzD-(4 分)023解得平面方程为 -(6 分)50xyz3. ，-(2 分)2,3(0P-(4 分)1S所以对称式方程为 ；- (53521yzx分)参数式方程为 -(62352xtyzt分)4. ，-(3 分)yxz-(6 分
5、)5. ，-(321fxz分) -(6 分)“122fyz6. -(3 分)DxdI21xyd= -(5 分)213)(= -(68分)7. -(3 分)Cdxeydx)1()1(= -(5 分)x1x代入 ，得(0)y特解为 .-(6 分)1xe8. - -(3 分)00()()nnn= = - (6()1x2(1)x分)9 -(3()5(2)3fxx分)-(6 分)10011(2)()333nnnxx四、应用题1. -(4 分)dxesx10)(= = .-(8 分)10212设拉格朗日函数 ，-(3 分)2(,)105(081)Fxyyxy分别对 、 、 求导，并令其为零，得， -(6
6、分)21056810xyfxyf解得 由实际问题知最值一定存在，所以要以最低成本生产 112 单位的该4,x产品，需要 A 原料 4 单位和 B 原料 2 单位- (8分)历年试卷（二）课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2006 年题号 一 二 三 四 总分题分 21 21 42 16 100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（本题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1. 函数 在 处可微是在该处连续的( )条件),(yxf,0A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的2. 函数 在 处的全微分 （ ） 3z)1,(dzA B C
7、 D dyxyx2dyx3dyx233. 设 D 为 ，二重积分的值 =（ ） 42DA4 B C 3D 214.下列级数中发散的级数是（ ）A B C D 1)(n1)(n1n12n5.方程 可化为形如（ ）的微分方程1xydA B C D 12xey0)(y1)(y6. 微分方程 的特解可设为 ( )xey“*yA. B. C. D. xa xaexea2ebx7. 由抛物线 和直线 所围平面区域的面积为( ) .xy24xyA. 10. B. 16. C. 18. D. 20.二、填空题（本题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1设 ， ，则数量积 = 3,2a1,bba2曲面
8、在点 处的法线方程为 zexy(20)3微分方程 的通解为 cos4由曲面 及 所围成的立体体积为 2yxz23yxz5幂级数 的收敛半径 0!nR6设 ， 具有二阶连续偏导数，则 ； = yxfz,f xzyxz2三、计算下列各题（本题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）1. 求曲面 与平面 平行的切平面方程2z04zyx2. 求过点 且平行于直线 的直线方程.(4,13)51233.设 ，求 .tveuvzt,dtz4. 计算二次定积分 20xy5. 求微分方程 满足 的特解.3y(1)06在区间 内求幂级数 的和函数.)1,(1n7. 将 展开成 的幂级数(提示： ).xf)(2
9、1,10xxn四、应用题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1要做一个容积为 的圆柱形罐头筒，底直径与高的比为多少时才能使所用材料最V省？2求抛物线 上的点，使它与直线 相距最近xy4204yx答案及评分标准一、选择题1A； 2.B； 3.A； 4.C； 5.D； 6.B； 7.C.二、填空题1.2； 2. ； 3. ； 120xyz212cosyxc4. ； 5.0； 6. , .312f12()ff三、计算题1. -(2 分)2(,)Fxyzxy- (4 分),1xyzn因为与已知直线平行，所以 214xy切点 ，切平面方程为 .-(6(1,25) 50z分)2. 直线过点
10、，直线的方向向量 ，- (3 分)(4,3)2,1s直线方程为 . -(6 分)1325xyz3. -(3 分)dzudzvttt-(6ve分)4. = -(3 分)20xyd220yedx= -(6 分)415. 标准化得 ，其中 ，- (2 分)3yx13(),()PxQx通解为 ()()PddeQeC.- - - - - - - - - - - - - - - (4 分)lnl3)xx代入初始条件 ，得所求特解为 .-(6 分)0,1yxy36. 设 ，则 ， -(31()nxf1()nfx分)-(6100() ln(1)xxnfdx分)7. -(3 分)()(2)1fxx-(5 分)0
11、1()nn-(6 分)10()(2)nnnx四、应用题1. 设底半径为 ,高位 ，表面积为 ，则 .即求做成体积为 ，表rhA2rhV面积 最小的圆柱形罐头筒.A由于 ，所以 ，-(22V2Vr分)从而 ，求导得 ，2,(0)vAr3224vrvAr令 得唯一驻点为 ；-(4 分)0302r当 时， ；当 时， 因此 为极小值点，32vrA3v0A302vr而且它是 的唯一极值点，故它也是最小值点. - -(6 分)()这时 ，因而底直径与高的比为 时材料最省.- -(832vhr2:1rh分)2. 设在抛物线上一点 ，则过 与直线垂直的直线为A2(,)aA- (22yax分)与直线 交点 -
12、 (4 分)4022(,)aBa所以 ，- (522()aABf分)由 ，得 （唯一驻点） - (7()0fa1分)由实际问题知，最小值一定存在，故抛物线上的点 与直线相距最近-(8 分)(1,2)历年试卷（三）课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2007 年题号 一 二 三 四 总分题分 15 15 56 14 100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 函数 在 处可微是在该处连续的( )条件),(yxf,0A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的2. 函数 在（0，1）处的全微分
13、（ ） xyzsindzA B C Dddxy3. 设 D 为 ，二重积分的值 =（ ） 24xyDxdyA4 B C 232D 214. 微分方程 的特解可设为 ( )“xye*yA. B. C. D. xae()xabxea2()xb5. 若正项级数 收敛，则（ ） 1()knA 1 B 1 C 1 kkkD 1二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）6 .12ln()xdx7设 ， ，则 = 3,a1,b2ab8曲面 在点 处的法线方程为 2zxy(4)9设 为方程 的特征方程的根，则其通解为 i10qyp10幂级数 的收敛半径 1()nnxR三、计算下列各题（本题共
14、 8 小题，每小题 7 分，共 56 分）11. 计算广义积分 .20xed12. 求平行于 轴且经过点 和 的平面方程.x(4,)(5,1)13. 设 ，求 .tveuvzt,1dtz14. 设 ， 具有二阶连续偏导数，求 .(,)fxyf yxz215. 计算二重积分 ，其中 D 是由 、 及 所围成的闭区DxdyI 12域.16. 求微分方程 满足 的特解.xysectan0)(17求幂级数 在 的和函数.1()n，18. 将 展开成 的幂级数.)lfx2x（提示： ）10ln(1)(),(,nnx四、应用题（本题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）19求由曲面 及 所围成的立体
15、体积. 2yxz23yz20要造一个容量为 1000 的长方体盒子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料m最省？答案及评分标准一、选择题1A； 2B； 3A； 4D； 5A二、填空题60； 7 ； 8 ； ,05214xyz9 ； 10112(cosin)xCxe三、计算题11 = -(3 分)20xed20()xd= = -(7 分)201x12所求平面平行于 轴，方程设为 ，-(2 分)0ByCzD因经过点 和 ，代入可得 ， -(5 分)(4,2)(5,17)92C故所求方程为 .-(7 分)90yz13 -(3 分)dzudvttt-(7ve分)14 -(3 分)12zfx-(7212f
16、y分)15 -(3 分)120xId= -(7 分)10()7816 -(4(1)tantansecxdxdyeC分)-(7 分)()cosxC17 因为 显然 -(2 分)1(),nnxsx(0),s-(4 分)2,1x两边积分得 ，0()dl()xst即 ， -(7 分)()n1sln(),1.sxx18. 设 ，-(2 分)2tx则 -(4 分)()l()l2()l()2ttft1 100ln2()ln(),2nn tt= ， -(7 分)102l()nnx4x四、应用题19 由题意知在 的投影 ： xoyD21xy-(5 分)2(3)DVd.-(7 分)210r3220 设拉格朗日函数
17、 - (3(,)()(10)Fxyzyzx分)分别对 、 、 、 求导,并令其为零，得xy，-(5201yzffx分)解得 0yz由实际问题知存在最值，所以 时材料最省-(7 分)10xyz历年试卷（四） 课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2008年题号 一 二 三 四 总分题分 18 18 49 15 100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1. 函数 的定义域为（ ）.)1ln(),(2yxyfA . B . 20x2C . D ， .yxy22yx2函数 在 处可微是在该处连续的( )条件),
18、(xf,0A充分. B 必要. C 充分必要. D 无关的.3. 函数 在 处的全微分 （ ） 332zy(1,)dzA . B . C . D .dxydxyx3dyx234. 下列级数中发散的级数是（ ）.A . B . C . D .1)(n1)(n1n1n5下列微分方程中，属于可分离变量微分方程的是（ ）.A . B .0)si(ydx )l(yxC . D .yn 21ye6. 定积分 等于（ ）.ex1lA0. B1. C-1. D5.二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）：7设向量 , ,则数量积 = 12a10bab8曲面 在点 处的切平面方程为 xyez
19、()9微分方程 的通解为 02y10设 ，则 xz53z211幂级数 的收敛半径 12nR12设 有连续的一阶偏导数，而 ，则 ),(vuf ),(yxfzz三、计算下列各题（本题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分）13. 求过点 、 且垂直于平面 的平面方程(4,12)A(3,51)B62370xz14. 写出直线 的对称式方程与参数式方程.04xyz15. 设 ，求 .zlnd16. 计算二次定积分 dxeyI10217. 求微分方程 的通解.lnx18在区间 内求幂级数 的和函数.)1,(12nx19. 将 展开成 的幂级数(提示： ).()2fx 1,10xxn四、应用题（本题
20、共 2 小题，第 1 小题 10 分，第 2 小题 5 分，共 15 分）20某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌 24 米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？21某物体移动的速度为 （其中 ） ，计算它在 时段内移动的()3Vt01t0,1距离 . S答案及评分标准一、选择题1D； 2A； 3B； 4C； 5C； 6B二、填空题74； 8 ； 9 ； zyx12xe10 ； 11 1； 12 562xy 12fy三、计算题13设所求平面上点为 ，则三向量 、 及 共面，(,)xyz4,xyzAB6,3即 -(5 分)4127306x解得 -(7107zxy分)14在
21、直线上任取一点 .取 ，则 ，解得 和0(,)z01x0236yz0y.所以，点坐标为 -(2 分)02z1,2因所求直线与两平面的法向量都垂直，取 ，- (4 分)12sn4,故对称式方程为 ，0413xyz参数方程为 - (72tzt分)15. -(4 分)(ln)(l)lndxydydx-(7 分)l16. -(3 分)2211000xxIdeydy-(5 分)221100()xxeded.-(7 分)210x17. 标准化得 ，其中 ， ，-(2 分)lny1()Px()lnQx通解为 -(4 分)()()PxddeQeClnlnx. -(7 分)dxlx18 -(2 分)1 212122 )()()(nnntS-(5 分)1122)()(ntntxx 22)1()(txtxt.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (7 分)2,()19 -(3 分)1)2fx-(5 分)()1x-(7 分)100()22nn四、应用题20设长为 ,则宽为 ，x4x-(4 分)()s=0，解得 （唯一驻点） ；-(7212分)又 ，由实际问题知最值一定存在，所以长为 12 米、宽为 12 米时面积0s最大，最大值为 144 平方米-(10分)21 -(2 分)1100()3SVtdt.-(5 分)1320t
