1、第 1 页 共 11 页线性代数(同济第 5 版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章 行列式基本结论1行列式的性质（1） 互换行列式的两行，行列式变号.（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.2行列式按行按列展开定理 3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即inii AaAaD21 ),21(n3克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即 0212112nnnaa 那末，线性方程组有唯一的解 ,21DxxDn主要计算计算行列式：1数字行列
2、式化为上三角形； 2计算有规律的 n 阶行列式.例1 （例 7）计算行列式 35024213D第 2 页 共 11 页2 （例 8）计算行列式 31DP.26， 4(2)(4)，6(2)(4)(5)，8第二章 矩阵及其运算基本概念注意：1矩阵可乘条件、乘法规则2. 矩阵乘法不满足交换律 BA3矩阵乘法有零因子出现： ，但却有O,AB4消去律不成立： ，推不出C基本结论1转置(i) AT)(ii) TB(iii) Tk)(iv) TA2方阵的行列式(i) （行列式性质 1） ；|T(ii) ;|An(iii) |B3 的伴随矩阵 EA|第 3 页 共 11 页4逆矩阵 初初 isEAnR21)(
3、0|推论 若 （或 ） ，则B1AB方阵的逆阵满足下述运算规律：（i）若 可逆，则 亦可逆，且 . 11)(（ii）若 可逆，数 ，则 可逆，且A0A11A（iii ）若 为同阶方阵且均可逆，则 亦可逆，且 B, B1)(B（iv）若 可逆，则 亦可逆，且T TT)()(1基本计算用上面基本结论进行简单计算主要计算求 ：公式法1AA|1基本证明用上面基本结论进行简单证明例 1. （例 11）求矩阵的逆矩阵 3412AP.54, 1，2，4，5，8，9，10，11，12，14，22，23，24 第 4 页 共 11 页第三章 矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1. 元非齐次线
4、性方程组nbAX有解 .bAX)(BR有解时， （记 ）r)(（1） 时， 有唯一解nrb（2） 时， 有无穷多解AX2齐次线性方程组 （ 是 的特殊情形）0bAX由于 永远满足 ，故 总有解（至少有零解）从而0)(BR0（1） 时， 有唯一零解nr（2） 时， 有（无穷多）非零解0AX基本计算1会求矩阵的秩2会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解3会用初等变换求矩阵的逆 初等变换 )|()|(1AE初(包括求矩阵方程 ，用 ；BX)|()|(1BAE初主要计算1设非齐次线性方程组 ，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ bA2会用初等变换求矩阵的逆例1 （例 5）设 16
5、1350230A求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶非零子式第 5 页 共 11 页2用初等变换求矩阵 的逆矩阵3412A3 （例 12）设有线性方程组 ,)1(3,0)(21xx问 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解P.78，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14，16第四章 向量组的线性相关性基本概念1向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关向量组的等价2向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩3向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法向量组 所生成的向量空间为m,21 ,|),
6、( 2121 RkkkL mm 4线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构基本结论1线性表出 定理 1 向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩bA ),(21mA阵 的秩),(2Bm第 6 页 共 11 页定理 2 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵lB,:21 mA,:21的秩等于矩阵 的秩. 即 .),(1mA ),()1lmA ),()BAR推论 向量组 与向量组 等价的充分必要条件是l,:21 ,:2 )()(BAR定理 3 设向量组 能由向量组 线性表示，则lB,:21 m,:21.)(),(21lR 2向量组的线性相关性定
7、理 4 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵m,21秩小于向量个数 ；向量组线性无关的充分必要条件是),(21mA mAR)(定理 5 （1）若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关mA,:21 11,:B（2） 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 时一定线性相关nn（3） 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必m,:21 ,:21m 能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的A3向量组的秩定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩推论 （最大无关组的等价定义）设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，BAB且向量组 能由向量组 线性表示
8、，则向量组 是向量组 的一个最大无关组AB4解的结构（1）齐次线性方程组性质 1 若 为 的解， 则 也是 的解2,0Ax210Ax性质 2 若 为 的解， 为实数，则 也是 的解kk的基础解系： ，通解是0Axrn,1 rnkX1定理 7 设 矩阵 的秩 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩mArR)( OAXS.rnRS（2）非齐次线性方程组性质 3 设 及 都是 的解，则 为导出组 的解12bAx210Ax第 7 页 共 11 页性质 4 设 是方程 的解， 是方程 的解，则 仍是方程 的解bAx0AxbAx的通解是：bAxrnkX15向量空间向量组 所生成的向量空间为m,21 ,|)(
9、 2121 RkkkL mm 基本计算1. 一般地，要判别一个向量 是否可由向量组nb21nsssnn aa 21212121,线性表出？设 skk21按分量形式写出来就是（*）nsnnsbkakakk 21 22212 1,定理 可由向量组 线性表出 （*）有解s,21 2. 一般地，要判别一个向量组nsssnn aa 21212121,是否线性相关？ 设第 8 页 共 11 页021sxx按分量写出来就是（*）02122121snnn skakakk 定理 向量组 线性相关 齐次线性方程组（*）有非零解s,21 3. 基和维数的求法),(21mL4线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础
10、解系 rn,1（2）非齐次线性方程组解的结构的求法 rnkX1主要计算1设矩阵 ，求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大A无关组线性表示2设非齐次线性方程组 ，试问bX（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章内容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章内容） 基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明向量空间的基、维数的证明基础解系、解的结构的证明主要证明1线性无关的证明2 的列是 的解BA00AX例1 （例 11）设矩阵第 9 页 共 11 页9763424112A求矩
11、阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示A2 （例 16）设非齐次线性方程组 ，试问2143210xx（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3 （例 6） 已知向量组 线性无关， , , ，试证向321,213213量组 线性无关321,（第五章 1 定理 1、2 定理 2）4 （例 13）设 ，证明： .0ABnBRA)(P.106，3，4，5，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20（1） （2） ，21，22，25，26，27，30，35，37第
12、五章 相似矩阵及二次型基本概念一内积内积的定义： nyxyxYX21,向量的长度： 、当 时，称 为单位向量21, 1X向量的夹角： Yarcos向量的正交： 时，称向量 与 正交0,XX正交向量组、正交基、规范正交基正交矩阵 ：A)(1TTAE初二矩阵的特征值、特征向量特征值、特征向量第 10 页 共 11 页基本结论一内积（i） ；,XY（ii） （iii ） ,ZZ1非负性：对任意 都有 ; 当且仅当 时, X0OX02齐次性: ;|3三角不等式： Y定理 1 若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关nr,21 r,21二特征值、特征向量定理 2 设 是方阵 的 个特征值， 依次是与之对应的特征向量如m,21 Amp,21果 各不相同，则 线性无关m,1 mp,21基本计算1向量的长度： 221, nxxX2向量的夹角的求法： Y,arcos3正交化方法：设 线性无关r,21 112123133122 , rrrrr 第 11 页 共 11 页4单位化： rreee 1,1,1225特征值的求法、特征向量的求法例1 （例 2） 设 ，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交014,3,12化。2 （例 7）求矩阵 31402A的特征值和特征向量P.134，1-7
