1、0习题九答案1. 求函数 u=xy2+z3-xyz 在点（ 1，1,2）处沿方向角为 的方向导数。,343解： (1,2) (1,2)(1,2)coscoscosuuylxz2(,)(,) (1,2)cos5.(3343xyz zxy 2. 求函数 u=xyz 在点（5,1,2）处沿从点 A（5,1,2）到 B（ 9，4，14）的方向导数。解： 4,3121.ABB 的方向余弦为 4312cos,cos,cos1313 (5,2)(5,2)(,1)(,1)(5,2)(5,2)0uyzxuxyz故 4398210.13ul3. 求函数 在点 处沿曲线 在这点的内法线方向的2xyzab,2ab21
2、xyab方向导数。解：设 x 轴正向到椭圆内法线方向 l 的转角为 ，它是第三象限的角，因为 220,xyxabay 所以在点 处切线斜率为,2ab2,2.ababy法线斜率为 .cosab于是 22tan,sinab 1 22,zzxyab 2,2 2222 1().b ababl a 4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y33( x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6xx 2)(4yy 2); (4)z=(x2+y2) ;2()e(5)z=xy(ax y),a0.解：（1）解方程组2360xyz得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=
3、6x6, zxy=0, zyy=6y6在点（0，0）处，A=6，B=0，C=-6，B 2AC =360，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B 2AC =360，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B 2AC =360,所以函数有极小值 z(2,2)=-8.(2)解方程组2e(41)0)xyzy得驻点为 .1,22224e(1)xxyxzy在点 处,A=2e,B=0,C=2e, B2-AC=-4e20,所以函数有极小值 .12 e1,2z(3) 解方程组 2(6)4)0(xyzy得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6
4、,0),(6,4).Zxx=2(4 y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6 xx 2)在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B 2AC =8180，所以(0,0) 点不是极值点.2在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B 2AC 0，所以(0,4) 不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B 2AC 0，所以(6,0) 不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B 2AC 0，所以(6,4) 不是极值点.(4)解方程组2()2e1)0xy得驻点 P0(0,0),及 P(x0,y0),其中 x02+y02=1，在点 P0 处有 z=0，
5、而当（x,y）(0,0)时，恒有 z0，故函数 z 在点 P0 处取得极小值 z=0.再讨论函数 z=ue-u由 ，令 得 u=1,d(1)d当 u1 时， ；当 u1 或 x2+y20 时负定，故此时 P2 是 z 的极大值点，且 .3,5. 设 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数 z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对 x,y 求导，解得 484,21281yzzx3令 解得 ,0,zxy0,2xz将它们代入原方程，解得 .16,7从而得驻点 .16(2,0),72 22222(81)(48)(14,(81).()zzzxxxyzxzzyyx在点（-2，0）处，
6、 B2-AC0 取得最小值.故在点 处，S 取得最小值.11,iixy即所求点为 .11,0nnii11. 已知平面上分别带有质量 m1,m2,m3 的三个质点 ，问点123(,)(,)(,)pxypxy的位置如何才能使该质点系对于 p 点的转动惯量为最小。(,)pxy解：该质点系对于 p 点的转动惯量为 2222221 331()()I mxyxyy 23 3112() 0xymxmI 解上式得驻点 123123,xxymyp 因驻点唯一，故转动惯量在 点处取得最小值.123123,m*12. 已知过去几年产量和利润的数据如下：7产量 x(千件) 40 47 55 70 90 100利润 y
7、(千元) 32 34 43 54 72 85试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到 120 千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设 f(x)=ax+b，求 的最小值，即求解方程组621()iiiuyaxb66211,.iiiiixyab把(x i,yi)代入方程组，得 2983402436ab解得 a=0.884, b=-5.894即 y=0.884x-5.894,当 x=120 时，y =100.186(千元).13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点 ;4(2)x2
8、+y2+z2=6,x+y+z=0,点 M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点 M0(x0,y0,z0).解： sincos2,cosintbtt曲线在点 的切向量为4 ,044Txyzac当 时， 4t,2ab8切线方程为.220abcxyz法平面方程为 ()0.22abcxyz即 .2cz（2）联立方程组 2260xyz它确定了函数 y=y(x),z=z(x)，方程组两边对 x 求导，得d2210yzx解得 dd,yzxyz 在点 M0（1，-2，1）处， 00,1Mxx所以切向量为1，0，-1.故切线方程为 1210yz法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1
9、)=0即 x-z=0.(3)将方程 y2=2mx,z2=m-x 两边分别对 x 求导，得dd2,1mzx 于是 ,yx曲线在点（x 0,y0,z0）处的切向量为 ,故切线方程为01,2yz9000,112xyzm法平面方程为.000()()()xyz14. t(0t2)为何值时，曲线 L：x=t-sin t, y=1-cost,z=4sin 在相应点的切线垂直于平面2t，并求相应的切线和法平面方程。20xyz解： ,1cos,in,2costtytz在 t 处切向量为 ,itTt已知平面的法向量为 .1,2n且 ,故Tcoscositt解得 ，相应点的坐标为 .且2t1,21,2T故切线方程为
10、 122.xyz法平面方程为 ()02xyz即 .4215. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z=x2+y2,点 M0(1,2,5);(2)z=arctan ,点 M0(1,1, );4解：（1） 0 00 02,4.yxmmz 故曲面在点 M0(1,2,5)的切平面方程为10z-5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法线方程为 1541（2） 0 00 02 2, .yxmmmmyxzz故曲面在点 M0(1,1, )的切平面方程为4z- =- (x-1)+ (y-1).412法线方程为.4112z16.指出曲面 z=xy 上何处的法线垂直于平面 x-2y+z=6
11、,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：z x=y,zy=x.曲面法向量为 .1,n已知平面法向量为 .2,1且 ，故有12yx解得 x=2,y=-1,此时，z=-2.即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为.212xyz切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.17. 证明：螺旋线 x=acost,y=asint,z=bt 的切线与 z 轴形成定角。证明： sin,cos,.xatytzb螺旋线的切向量为.sin,co,Tatb与 z 轴同向的单位向量为 0,1k两向量的夹角余弦为11222cos .(sin)(cos)bbatta为一定值。故螺旋线的切线与 z 轴形成定角。18. 证明：曲面 xyz=a3 上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F(x,y,z)=xyz-a3.因为 Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点 M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在 x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为 3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为 300011192727.3662Vzaxy它为一定值。
