1、高等数学,绪论,高等数学发展简史微积分的基本思想和方法学习方法,初等数学时期 （公元前3世纪17世纪）,初等数学的主要研究对象： 匀速的运动（速度不变）； 匀加速运动（速度均匀变化）； 直边图形（不弯曲）；圆弧形图形（均匀弯曲）；有限次四则运算。,xi,微积分的基本思想和方法,速度问题,面积问题,瞬时速度,曲边图形的面积,？,？,一、高等数学与初等数学的初等数学研究的常量与固定图形，即常量数学,区别,思维.它的方法是孤立的静止的，属形式逻辑。,高等数学 研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法是运动 的联系的，辩证的，属辩证逻辑。,求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。求曲线在一点的切线（光线
2、穿过凸透镜的一系列问题）求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星离开太阳的最远、最近距离等）求面积、体积、物体的重心等,这四个问题引起了当时大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。,牛顿,牛顿对微积分的研究偏重物理方向。,伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。,莱布尼兹是哲学博士、外交官、法学家、历史学家 、语言学家、地质学家、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学、航海学、计算机方面也做了重要工作。莱布尼兹对微积分的研究偏重于哲学
3、方向。,莱布尼兹,有人说:牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后的一步。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。,而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精确了。他们不能正确解释这些概念，而是依靠成果的彼此一致和方
4、法的多产，没有严密地向前推进。,十八世纪也是糊里糊涂。,十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。,教学内容决定教学方法，因此我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。,高等数学（上册） 各章的知识结构和联系,极限与连续,函数,目的,掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 培养空间想象能力。 培养分析问题和解决问题的能力。 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。,学习方法,课前课堂课后 华罗庚讲：学习数学，若不
5、做习题，如入宝山而空返。,第一章 函数与极限,第一节 函 数,常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。,还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t 等。,在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。,常量与变量,区间和邻域,几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整
6、数构成的集合, 称为整数集. Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.,有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为闭区间, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, ba称为区间的长度. 无限区间: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | . 区间在数轴上的表示:,邻域:以点 a 为
7、中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。设0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。,去心邻域:,(a,) =x |0| x-a |。,：All，任意一个，或任意，所有； ：Exist，存在，能找到。,函数举例,例1. 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。,设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做
8、这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。,函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。,1.1.1. 函数的定义,值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。,定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,函数值：当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。,函数概念,应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和
9、因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xD”或“y=f(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “”等. 此时函数就记作y (x), yF(x).,函数的两要素,函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,注意,确定值域：根据定义域和对应法则 确定定义域：1. 有实际
10、意义的：根据实际问题有意义来确定2. 无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值,例如: y=arcsin(X2+2),例：下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等,，,，,(A),(B),(C),(D),题型一：判断函数的等价性,解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是两个函数。,例：若函数的定义域是0，1，则函数 的定义域是( ),题型二：求函数的定义域,解题方法： （1）对于一般函数， （2）对于复杂函数.， （3）直接代入， （4）对于复合函数f(x)，可用已知的y=f(x)的定义域，令t= (x)，解出x的变化范围即可
11、。,例题： 设 ， ，且 求 定义域。,题型三：求函数f(x)的表达式,解题方法：利用变量代换法和变量无关性。,例题： 设f（x）满足方程 其中a、b、c为常数，且 求f（x）。,函数的定义域为D=(-, +)。函数的值域为W=0, + )。,称为绝对值函数。,例3. 函数,函数的定义域为D=(-, +)。函数的值域为W=-1, 0, 1。,例5.函数y=x称为取整函数。,函数的定义域为D=(-, +)，函数的值域为W =Z,函数的定义域为 D=0, 1(0, +)=0, +)。,f (3) = 1+3 = 4。,在自变量的不同变化范围，对应法则用不同的式子来表示的函数，成为分段函数。,1.1
12、.2. 函数的几种特性,图形特点：y=f(x)的图形在 直线y=K1的下方。,y=K1,y=f(x),1. 函数的有界性设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。,如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。,图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方,有界函数的图形特点：函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。,如果存在数 M0，使对任一 xX，有 | f(x) |M，则
13、称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1X，使|f(x)|M。,函数的有界性举例：,例1. f(x) = sin x在(-, +)上是有界的：即| sin x | 1。,例2.,函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。,无界函数举例：,函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。这是因为，任取M1，总有0M，所以函数无上界。,但此函数在(1, 2)内是有界的。,注意： 若函数f(x)在区间I上有界函数f(x)在区间I上既有上界，又有下界,题型：函数的有界性解题思路,定义法：利用定义，对函数取
14、绝对值，再对不等式进行缩放。 利用极限（后面章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲） 利用导数（后面章节讲）例如：判断 在定义域(-,+)内的有界性,2. 函数的单调性,如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。,f(x1) f(x2)，,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,函数单调性举例,函数y=x2.,题型：判别函数的单调性,利用定义 利用导数法（后面章节讲述）,设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,3. 函数的奇偶
15、性,偶函数举例：y=x2，y=cos x 都是偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,奇偶函数举例：y=x3，y=sin x 都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,函数奇偶性的判别,利用定义 利用奇偶函数的运算性质： 1.奇函数的代数和， 2.偶函数的代数和； 3.偶函数之积.； 4.奇函数和偶函数之积； 5.f(x)+f(-x); f(x)-f(-x); f(x)+f(-x)=0时，f(x)是函数。 函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否则 例如,设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(
16、xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。周期函数的图形特点：,4. 函数的周期性,1.1.3. 反函数与复合函数,对于任一数值 yV，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。,如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x= f -1(y)= j(y)。,1. 反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为V。,单调函数的反函数是单值函数,什么样的函数存在单值的反函数？,y=x2 的反函数是多值函数：,x= 。,把 x限制在区间 0
17、,)， 则y=x2 的反函数是单值的， 即x= 。它称为函数 y=x2 的反函数的一个单值 分支。,反函数的单值分支：,另一个单值分支为 x=- 。,在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数写为y= 。,反函数的图形：反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。,关于反函数的变量符号：,例:设函数y=f（x），求其反函数y=f-1（x）,对于任一 x -1，1，先计算 u=1-x2，然后再计 算 y= ，这就是说函数 y= 的对应法则是由函 数u=1-x2和y= 所决定的，我们称函数
18、 y= 是 由函数u=1-x2和y= 复合而成的复合函数，变量 u称 为中间变量,例 函数 y= 表示 y是 x的函数，它的定义域为-1，1设 u=1-x2，则函数 y= 的值可以按如 下方法计算：,2复合函数,复合函数：,一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果u | u= j(x)， xD2 D1 则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y =f j(x) ，其中定义域为D2(?)，u称为中间变量,复合而成的其中u，
19、 v 都是中间变量,函数y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnx,函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数,问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？,y =,例 函数y=arctan (x)2可看作是由y=arctanu和u=x2 复合而成的,1.1.4. 初等函数,1. 幂函数,函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数在（0，+）内总有定义最常见的幂函数：,常用的指数函数为 y=ex.,2指数函数函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数 指数函数的定义域：D=（- ，+ ）单调性：若a1，则指数函数单调
20、增加；若0a1，则指数函数单调减少,3对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1)对数函数的定义域是区间(0，+ )自然对数函数：y=ln x=loge x.,常用的三角函数有： 正弦函数： y=sin x,1,-1,y=cos x,余弦函数： y=cos x,4三角函数,正切函数： y=tan x,余切函数： y=cot x,正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, ),正割函数：,p 2,余割函数：,内是无界函数,反正弦函数的主值：y=arcsin x，x ， .,反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数.,反正弦函数： y=Arc
21、sin x，定义域为-1，1.,反余弦函数： y=Arccos x定义域为-1，1,反余弦函数的主值：y=arccos x，x(0，p),5反三角函数,反正切函数的主值：y=arctan x，,反正切函数： y=Arctan x, 定义域为(- ， ).,反余切函数的主值：y=arccot x， 其值域规定为(0，p),反余切函数： y=Arccot x，,定义域为(- ， +).,6基本初等函数与初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数,都是初等函数,
22、例如,，,，,第一节总结 重点、难点及基本要求,理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念,第二节 极 限,主要内容,极限的概念：数列极限；函数极限。 极限的性质与运算（无穷小概念及比较）,一、数列的概念,二、数列的极限,三、用定义证明极限举例,四、收敛数列的性质,数列、,数列举例、,数列的几何意义,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义,极限的唯一性、,收敛数列的有界性,收敛数列与其子数列间的关系,1.2.1 数列的
23、极限,一、数列极限的概念,如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：,1. 数列 一个实际问题,数列：,如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn ，则得到一列有次序的数x1，x2，x3， ，xn ， 这一列有次序的数就叫做数列，记为xn，其中第n 项xn 叫做数列的一般项 数列举例：,数列举例：,2，4，8， ，2n ， ； 一般项为2n,一般项为,1 2n,1，-1，1， ，(-1)n+1， ； 一般项为(-1)n+1,一般项为,数列的几何意义：,数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3， ，xn ，,通常，在数列Xn
24、中Xn的数值随下标n的不同而不同，所以数列Xn可以理解为一个变量但是，由于数列的项的下标是按正整数顺序排列的，所以它又不同于一般的变量，这种变量叫做整序变量. 数列Xn既然可以理解成随下标n而变的整序变量，也就可以把它理解为一个函数，它的自变量是n，因变量是Xn ，定义域是全体正整数，因此数列又叫整标函数,数列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数：xn=f (n)， 它的定义域是全体正整数,数列与函数：,x1=f(1)，,x2=f(2)，,x3=f(3)，,x4=f(4)，,，,xn=f(n),例如,如果数列没有极限，就说数列是发散的,xn=a,而2n， (-1)n+1，是发散的,数列的极限
25、的通俗定义：对于数列xn，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列xn的极限，或称数列xn收敛a 记为,对无限接近的刻划：,“当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够大， |xn-a |就能有多小,极限的精确定义：,定义 如果数列xn与常a 有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切xn，不等式|xn-a |e都成立，则称常数a 是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a ，记为,或 xn a (n ) 如果数
26、列没有极限，就说数列是发散的,数列极限的几何意义：,对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时，所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a- e , a+e)以外.,对于任意给定的正数e0，,要使,只需,故取,4、用定义证明极限举例,分析：,证明：因为对于任意给定的e0， 存在N=1/e，使当nN时，有,所以,对于任意给定的e 0，要使,只需,故取,分析：,所以，,证明：因为对任意给定的正数e0， 存在,使当nN时， 有,例 3 设|q |1，证明等比数列1，q ，q2， ，qn-1， 的极限是0
27、,对于任意给定的正数e0，,分析：,要使,使当nN时，有 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1e ，,所以,1.定理1(极限的唯一性)数列xn不能收敛于两个不同的极限,存在正整数N2 ，,这是不可能的这矛盾证明了本定理的断言,二、收敛数列的性质,数列的有界性：对于数列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式|xn|M， 则称数列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列xn是无界的,数列xn=2n(n=1，2， )是无界的,2.定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界,证明：设数列xn收敛，且收敛于a根据数列极 限的定义，对于，存在正整数N，使对
28、于nN时的一切 xn， 不等式| xn- a |N时，| xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |1+| a | 取M=max| x1 |， | x2 |， , | xN |， 1+| a |， 那么数列 xn中的一切 xn都满足不等式| xn | M 这就证明了数列xn是有界的,3.定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a ,子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列,例如，数列 xn ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1，
29、 的一子数列为x2n：-1，-1，-1，(-1)2n+1， ,证明：设数列 是数列xn的任一子数列,由于,，故对于任意给定的正数,e,，,存在,正整数,N,，,当,n,N,时，有,|,x,n,-,a,|,e,这就证明了,证毕,2如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,3数列的子数列如果发散， 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何? 发散的数列的子数列都发散吗？,4如何判断数列1，-1，1，-1， ，(-1)n+1， 是发散的？,讨论：,1.2.2 函数的极限,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,1.自变量趋于有限
30、值时函数的极限,极限的通俗定义、,极限的几何意义、,极限的局部保号性、,极限的精确定义、,左右极限,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义、,水平渐近线,一、函数极限的概念,二、函数极限的性质,函数极限的通俗定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限当x x0时，f(x)以 A为极限记为,一、函数极限的概念,1.自变量趋于有限值时函数的极限,自变量的变化趋势： x x0，x x0-0，x x0+0，x ，x -， x +,f (x)=A或f (x) A(当x x0),f (x)=
31、A或f (x) A(当x x0),f (x)=A e0, d0, x:0|x-x0|d ，有|f (x)-A|e ,函数极限的精确定义：设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义如果对于任意给定的正数e (不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等式0|x-x0|d的一切x ，对应的函数值f (x)都满足不等式 |f (x)-A|e ， 那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，记为,函数极限的几何意义：,则e0， d0， 使当0|x-x0|d 时，,有|f (x)-A|e 的几何意义：,若 f (x)=A，,因此对于任意,给定的正数e ，任意取一正数d ，,当0|x-x0|d
32、 时，,|f (x)-A|=|c-c|=0e,成立，所以,举例：,证明: 这里|f(x)-A|=|c-c|=0，,都有,成立,|f (x)- A|=|x- x0| e,当 0|x- x0| d=e 时,的正数e ,总可取d=e ,因此对于任意给定,能使不等式,所以,证明：这里|f(x)- A|=|x- x0|，,|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|e ，,使当0|x-1|d时，有,只要 |x-1| ，即取d = ,证明： 因为e0，d = 0，,所以,分析： |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，为了使|f(x)-A|e ，,证明： 因为e 0 ， d =e 0
33、 ，,所以,只需 |x-1|d ，即取d = e ,|f(x)- 2|=|x-1|e ，,使当0|x-1|d ，有,|f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|，,要使|f (x)-2|e ，,分析：注意函数在x=1是没有定义的 但这与函 数在该点是否有极限并无关系,左右极限：,x x0-0表示x仅从x0的左侧趋于x0 ，而x x0+0 表示x仅从x0的右侧趋于x0,若当x x0-0时，f(x)无限接近于某常数A，则常 数A叫做函数 f(x)当x x0时的左极限，记为,若当x x0+0时，f(x)无限接近于某常数A，则常数 A叫做函数 f(x)当x x0时的右极限，记为,讨论
34、：,左极限的e -d 定义： 若e0， d0， x： x0- d xx0，有|f (x)-A|e , 则称常数A为函数f (x)当xx0时的左极限,左右极限的e -d 定义如何叙述?,例6 函数,当x0时f(x)的极限不存在,因为f(x)的左极限,右极限,所以极限 不存在,A叫做函数f (x)当x 时的极限，,若当x 时，f (x)无限接近于某常数A，,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,类似地有 和,记为,则常数,讨论：,极限的通俗定义：,叙述？三者之间的关系如何？,设f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果对于任 意给定的正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不 等式|x|X的一切x，对应的
35、函数数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e， 则常数A叫做函数f (x)当x 时的极限,极限的精确定义：,解不等式得 ，,所以 ,证明：,故取X= ,不等式 成立,当|x|X时，,要证存在正数X，,分析：设e是任意给定的正数,因为对e0，,X= ，,使当|x|X时，有,水平渐近线：,直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线,已知 ,如果 ，,例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：,则直线y=c是,函数y=f (x)的图形的水平渐近线,一般地，,1.2.3 极限的运算法则,一、无穷小与无穷大,二、函数极限的性质与极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小与
36、无穷大,如果函数f (x)当x x0(或x )时的极限为零， 那么函数 f (x)叫做x x0(或x )时的无穷小,讨论：无穷小的精确定义如何叙述？,1. 无穷小的通俗定义：,所以函数x-1当x1时为无穷小,例如 因为 ，,设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义 (或 |x| 大于某一正数时有定义)如果e 0，d 0 (或X0)， x ：0X)， 有 |f (x)|e ， 那么称函数f(x)当xx0 (或x ) 时为无穷小记作,无穷小的精确定义：,应注意的问题: 当x x0(或x )时为无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极
37、限是无穷大”,讨论：无穷大的精确定义如何叙述？,2. 无穷大定义： 如果当x x0(或x )时，对应的函数值的绝对值|f (x)|无限增大，就说函数f (x)当x x0 (或x )时为无穷大，记为,铅直渐近线:,正无穷大与负无穷大:,则直线x =x 0是函数y=f (x)的图形的铅直渐近线,无穷小与无穷大的关系：,定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则,为无穷小,；,反之，如果,f,(,x,),为无穷小，,则 为无穷大,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,3. 无穷小的性质:,从而,证明 考虑两个无穷小的和,设a及b 是当x x0时的两个无穷小，而g =a+b 则e 0，,
38、取d mind 1，d 2，,则 x: 0| xx 0 |d ，,同时有,这就证时了g 也是当x x0时的无穷小,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,例如 ，,因为 ，,而 ,所以 ,定理1 在自变量的同一变化过程x x0(或x ) 中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和； 反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该 常数就是这函数的极限,无穷小与极限的关系：,证明：,反之，设f(x)=A+a ，其中A 是常数，a是xx0时的无穷小，于是|f(x)-A|=|a|因为a是x x0时的无穷小，所以对于任意给定
39、的正数e ，存在着正数d，使当0|x-x0|d ，有|a|e 或|f(x)-A|e ，这就证明了A 是f(x) 当 x x0时的极限,则对于任意给定的正数e ， 存在着正数d ，使当0|x-x 0|d 时，有|f (x)-A|e 令a=f(x)-A，则a是x x0时的无穷小，且f (x)=A+a 这就证明了f (x)等于它的极限A与一个无穷小a之和,二、函数值与极限值的关系,函数极限值的唯一性 局部有限性 极限值与函数值的同号性（保号性）,取0eA,定理,1,如果,，而且,A,0(,或,A,0),，那么,就存在着点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，有 f(x)0(或f(x)0),极限的局部
40、保号性：,证明：设A0， 取正数e A，根据极限的定义， 对于这个取定的正数e ，必存在着一个正数d ，当00,定理2 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且,极限的局部保号性：,证明： 设f(x)0 假设上述论断不成立，即设A0， 那由定理 1 就有 x0 的某一去心邻域 ， 在该邻域内 f(x)0，这与 f(x)0的假定矛盾 所以A 0,三、极限的四则运算法则,定理3 如果lim f (x)=A，lim g (x)=B，则,（1）lim f (x)g(x)存在，且 lim f (x)g(x)=A B= lim f (x) lim g (x),（2）lim f (x)g(
41、x)存在，且lim f (x)g(x)=A B= lim f (x) lim g (x),定理3(1)的证明：,因为lim f (x)=A，lim g (x)=B ，,由无穷小与极限,f (x)=A+a，g (x)=B+b，,其中a及b 为无穷小,于是,f (x) g (x)=(A + a) (B + b) = (A B) + (a b),由本节定理1，a b 是无穷小,于是,lim f (x) g (x) = A B = lim f (x) lim g (x),关系可得,定理3可推广到有限个函数的情形，例如，如果 lim f (x)，lim g (x)，lim h (x)都存在，则由定理3有
42、lim f (x)+g (x)-h (x)=lim f (x)+g (x)-h (x)=lim f (x)+lim g (x)-h (x)=lim f (x)+lim g (x)-lim h (x),定理3(1)的推广：,推论1 如果lim f (x) 存在，而c 为常数，则 lim c f (x)=c lim f (x)推论2 如果lim f (x) 存在，而n 是正整数，则 lim f (x)n =lim f (x)n,推论：,解,1,=211,解,讨论：,当x x0 时，多项式的极限,解,解,0，,有理分式的极限,观察：,设多项式P(x)a0 xn a1 xn1 an ，则,a0 x0n
43、 a1 x0n1 anP(x0),设Q(x)也是多项式，,解,先用x3去除分子及分母,然后取极限:,解,解 应用例6的结果并根据第五节定理2即得,根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：,讨论：,其中a00、b0 0， m和n为非负整数,=,结论：当a00、b0 0， m和n为非负整数时,， 当nm,比较：,0， 当nm，,解 当x时，分子及分母的极限都不存在， 故关于商的极限的运算法则不能应用但,这是无穷小与有界函数的乘积，所以,定理4 设函数u=j(x)当x x0时,的极限存在且等于,a,即,，但存在点,的某去心邻域内,在，且,注：,三、复合函数的极限运算法则,检查下各题的解过程是否有误
44、，错误的地方如何改正？,解题评析：,1.2.5 极限存在准则与重要极限,准则 I：如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：,1.准则 I： 如果数列xn 、yn及zn满足下列条件：(1) ynxnzn(n=1，2，3，)，,2.第一个重要极限：,即 sin xxtan x,因此,于是,如图， AOB的面积扇形AOB的面积AOD，,证明：,因为，令u=a(x)，则u 0，于是,应注意问题,解,=1,3.单调数列：如果数列x n满足条件 x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调增加的；,如果数列x n满足条件 x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调减
45、少的,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛现在准则II表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛,准则 II： 单调有界数列必有极限,4. 第二个重要极限,e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ,还可证明,界根据准则II，数列x n必有极限,可以证明数列x n是单调增加并且有,这个极限我们用,e 来表示即,根据第二个重要极限，在极限,中，,应注意问题：,如果,第二个重要极限：,解 令t=-x，则x 时，t 于是,5.求极限小结,利用等价无穷小替换求极
46、限,如,不可比.,观察各极限,是无穷小.,无穷小的比较,不存在.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,例 考察 时， 趋于零的快慢,可见 最快， 次之,即,时，,是无穷小,所以 比 趋于零快,定义,记作,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,低阶的无穷小;,同阶无穷小;,等价无穷小,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,因为,二阶无穷小.,k 阶无穷小.,阶的比较举例,所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0),所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小,例,例,例,所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小,所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0),
