1、1配餐作业(四十八) 利用空间向量求空间角(时间：40 分钟)1. (2016东北三省三校联考)如图，菱形 ABCD 中， ABC60， AC 与 BD 相交于点O， AE平面 ABCD， CF AE， AB AE2。(1)求证： BD平面 ACFE；(2)当直线 FO 与平面 BED 所成角的大小为 45时，求 CF 的长度。解析 (1)证明：四边形 ABCD 是菱形， BD AC。 AE平面 ABCD， BD平面ABCD， BD AE。又 AC AE A， BD平面 ACFE。(2)如图，以 O 为原点， ， 为 x， y 轴正方向， z 轴过 O 且平行于 CF，建立空间直角坐标系OA
2、OB Oxyz，则 B(0， ，0)， D(0， ，0)， E(1,0,2)， F(1,0， a)(a0)， (1,0， a)。3 3 OF 设平面 EDB 的法向量为 n( x， y， z)，则有Error!即Error!令 z1， n(2,0,1)，由题意 sin45|cos ， n| ，解得 a3 或 。由OF |OF n|OF |n| |2 a|a2 15 22 13a0，得 a3。所以 CF3。答案 (1)见解析 (2)32. (2016全国卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB5， AC6，2点 E， F 分别在 AD， CD 上， AE CF ，
3、EF 交 BD 于点 H。将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位54置， OD 。10(1)证明： D H平面 ABCD；(2)求二面角 B D A C 的正弦值。解析 (1)证明：由已知得 AC BD， AD CD。又由 AE CF 得 ，故 AC EF。AEAD CFCD因此 EF HD，从而 EF D H。由 AB5， AC6，得DO BO 4。AB2 AO2由 EF AC 得 。OHDO AEAD 14所以 OH1， D H DH3。于是 D H2 OH23 21 210 D O2，故 D H OH。又 D H EF，而 OH EF H，所以 D H平面 ABCD。(2)如图，以
4、H 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 的方向为 y 轴正方向， 的方向为 zHF HD HD 轴正方向，建立空间直角坐标系 H xyz，则 H(0,0,0)， A(3，1,0)， B(0，5,0)，C(3，1,0)， D(0,0,3)，(3，4,0)， (6,0,0)， (3,1,3)。AB AC AD 设 m( x1， y1， z1)是平面 ABD的法向量，则Error!即 Error!所以可取 m(4,3，5)。设 n( x2， y2， z2)是平面 ACD的法向量，则3Error!即 Error!所以可取 n(0，3,1)。于是 cos m， n ，mn|m|n| 145010 7
5、525sin m， n 。29525因此二面角 B D A C 的正弦值是 。29525答案 (1)见解析 (2)295253如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 D1D 的中点，点 F 在棱B1B 上，且满足 B1F2 BF。(1)求证： EF A1C1；(2)在棱 C1C 上确定一点 G，使 A， E， G， F 四点共面，并求此时 C1G 的长；(3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值。解析 (1)证明：因为 A1C1 B1D1， A1C1 DD1， B1D1 DD1 D1，所以 A1C1平面BB1D1D。因为 EF平面 BB1D1D
6、，所以 EF A1C1。(2)如图，在平面 BCC1B1内，过点 F 作 FG AE 交棱 C1C 于点 G，此时 A， E， G， F 四点共面，且C1Ga a a 。12 13 16(B1F 2BF， 则 BF 13a)(3)解法一：延长 DB， EF 相交于 H，连接 AH，则 AH 为平面 AEF 与平面 ABCD 的交线，过点 B 作 BI AH(垂足为 I)，连接 FI，则 FIB 为所求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角。因为 BF a， DE a， DB a，则 BH2 a， AH a，13 12 2 2 134由 S ABH BIAH ABBHsin45 a2
7、，解得 BI a。所以12 12 21313tan FIB ，FBBI 136cos FIB 。67解法二：建立如图所示空间直角坐标系，则 A(a,0,0)， F ， E ， (a， a，a3) (0， 0， a2) AF ， 。设平面 AEF 的一个法向量为 n1( x， y， z)，则 n10，(0， a，a3) AE ( a， 0， a2) AF n10，即Error!取 z6，则 n1(3，2,6)；又平面 ABCD 的法向量 n2(0,0,1)，设AE 平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角为 ，则 cos 。n1n2|n1|n2| 67答案 (1)见解析 (2)过点 F 作 F
8、G AE 交棱 C1C 于点 G， C1G a (3)16 674. (2016浙江高考)如图，在三棱台 ABC DEF 中，平面 BCFE平面ABC， ACB90， BE EF FC1， BC2， AC3。(1)求证： BF平面 ACFD；(2)求二面角 B AD F 的平面角的余弦值。解析 (1)证明：延长 AD， BE， CF 相交于一点 K，如图所示。5因为平面 BCFE平面 ABC，平面 BCFE平面 ABC BC，且 AC BC，所以，AC平面 BCK，因此， BF AC。又 EF BC， BE EF FC1， BC2，所以 BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则BF
9、CK，又 AC CK C，所以 BF平面 ACFD。(2)如图，延长 AD， BE， CF 相交于一点 K，则 BCK 为等边三角形。取 BC 的中点 O，连接 KO，则 KO BC，又平面 BCFE平面 ABC，所以 KO平面 ABC。以点 O 为原点，分别以射线 OB， OK 的方向为 x 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz。由题意得 B(1,0,0)， C(1,0,0)， K(0,0， )，3A(1，3，0)， E ， F 。(12， 0， 32) ( 12， 0， 32)因此 (0,3,0)， (1,3， )， (2,3,0)。AC AK 3 AB 设平面 ACK 的
10、法向量为 m( x1， y1， z1)，平面 ABK 的法向量为 n( x2， y2， z2)。由Error! 得Error!取 m( ，0，1)；3由Error!得Error!于是，cos m， n 。mn|m|n| 34所以，二面角 B AD F 的平面角的余弦值为 。34答案 (1)见解析 (2)346(时间：20 分钟)1. (2016天津高考)如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB BE2。(1)求证： EG平面 ADF；(2)求二面角 O EF C 的正弦值；(3)设 H 为线段 AF 上的点，且
11、 AH HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值。23解析 依题意， OF平面 ABCD，如图，以 O 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴、AD BA OF y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，依题意可得 O(0,0,0)， A(1,1,0)，B(1，1,0)， C(1，1,0)， D(1,1,0)， E(1，1,2)， F(0,0,2)， G(1,0,0)。(1)证明：依题意， (2,0,0)， (1，1,2)。设 n1( x， y， z)为平面 ADF 的AD AF 法向量，则Error!即Error! 不妨设 z1，可得 n1(0,2,1)，又 (0,1
12、，2)，可EG 得 n10，又直线 EG平面 ADF，所以 EG平面 ADF。EG (2)易证， (1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量。依题意， (1,1,0)，OA EF (1,1,2)。CF 设 n2( x， y， z)为平面 CEF 的法向量，则Error!即Error!不妨设 x1，可得n2(1，1,1)。因此有 cos ， n2 ，OA OA n2|OA |n2| 637于是 sin ， n2 。OA 33所以二面角 O EF C 的正弦值为 。33(3)由 AH HF，得 AH AF。因为 (1，1，2)，所以 ，进23 25 AF AH 25AF (25， 25， 45)而
13、有 H ，从而 ，(35， 35， 45) BH (25， 85， 45)因此 cos ， n2 。BH BH n2|BH |n2| 721所以，直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 。721答案 (1)见解析 (2) (3)33 7212如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC BAD ， PA AD2， AB BC1。 2(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长。解析 以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直
14、角坐标系 A xyz，则各点的AB AD AP 坐标为 B(1,0,0)， C(1,1,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)。(1)由题意知， AD平面 PAB，所以 是平面 PAB 的一个法向量， (0,2,0)。AD AD 因为 (1,1，2)， (0,2，2)，PC PD 8设平面 PCD 的法向量为 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，PC PD 即Error! 令 y1，解得 z1， x1。所以 m(1,1,1)是平面 PCD 的一个法向量。从而 cos ， m ，AD AD m|AD |m| 33所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 。33(2)
15、因为 (1,0,2)，BP 设 ( ，0,2 )(0 1)，BQ BP 又 (0，1,0)，则 ( ，1,2 )。CB CQ CB BQ 又 (0，2,2)，DP 从而 cos ， 。CQ DP CQ DP |CQ |DP | 1 210 2 2设 12 t， t1,3，则 cos2 ， 。CQ DP 2t25t2 10t 929(1t 59)2 209 910当且仅当 t ，即 时，|cos ， |的最大值为 。95 25 CQ DP 31010因为 ycos x 在 上是减函数，(0， 2)所以此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值。又因为 BP ，12 22 5所以 BQ BP 。25 255答案 (1) (2)33 255
