1、第五章 控制系统的稳定性分析,5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据 5.4 乃奎斯特稳定性判据(Nyquist判据) 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性,5.1 系统稳定性的基本概念,稳定的定义:如果一个系统受到扰动,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后,经过充分长的时间,这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳定的.否则,称这个系统是不稳定的.,实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上.这样,在干扰消失的时刻,系统与平衡状态的偏差可以看作是系
2、统的初始偏差.因此,控制系统的稳定性也可以这样来定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳定;否则,称该系统为不稳定的.,5.2 系统稳定的充要条件,设系统的微分方程为:,式中：xi(t)输入，xo(t)输出 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）,+系数(取决于初始条件),上式右边第一项为对应与由输入引起的响应过程。,第二项为对应于由初始状态引起的响应过程。,时域表达式为：,前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。,时域表达
3、式为：,线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根都具有负实部. 系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭环传递函数极点全部在s平面的左半面.,可见,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、参数),与系统的输入信号无关.,(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增长; (2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡; (3)上述两种情况下系统是不稳定的. (4)如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在任何状态下平衡,称为随遇平衡状态; (5)如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(
4、或临界稳定状态).,稳定区,不稳定区,临界稳定,从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定.,解系统特征方程的根:系统稳定的充要条件是系统特征方程的所有根,或闭环传递函数的所有极点均严格位于S平面的左半平面.,阿贝耳定理:五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法).,5.3 代数稳定性判据,代数判据法:根据特征方程的系数来判断特征方程根的实部符号,从而判定系统的稳定性,常用方法有Routh判据,赫尔维茨判据.几何图形的稳定性判据法:根据开环系统的乃氏图和Bode图来判断闭环系统的稳定性,常用的方法有Nyquist稳定判据,Bo
5、de判据.,5.3.1 劳斯稳定性判据 (Routh判据),这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立.设系统特征方程为,s1, s2, ,sn为系统的特征根.,(一)系统稳定性的必要条件,展开得根与系数的关系:,要使全部特征根均具有负实部,就必须满足以下两个必要条件: (1)特征方程的各项系数都不等于零; (2)特征方程的各项系数的符号都相同.,要使全部特征根均具有负实部，必须满足： （1）特征方程的各项系数都不等于0，a i 0 (i=0，1，2，n) （2）特征方程各项系数a i 的符号都相同。a i一般取正值，则上两条件简述为 a i 0必要条件！,根据这一原则,在判别系统的稳定性时,
6、可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数.假如有任何系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳定的.假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做进一步的判别.因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件.,(二)劳斯稳定性判据,1.充要条件:如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正,则系统稳定.,2. 劳斯阵列表:,按此规律一直计算到n-1行为止.在上述计算过程中,为了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论.,直至其余bi项均为零.,第一二行由特征方程的系数直接给出,例5-1 设控制系统的特征方程式为试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性.
7、,考察阵列表第一列系数的符号.假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面.假若第一列系数有负数,则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数.即:实部为正的特征根数劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数.,s4 1 17 5 s3 8 16 0 s2 15 5 s1 40/3 0 s0 5,(2)列写劳斯阵列表如下,劳斯阵列第一列中s 系数符号全为正,所以控制系统稳定.,(1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.,解:,例5-2 设控制系统的特征方程式为,试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性.,2)排劳斯阵列
8、,解:,1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.,s4 1 3 3 s3 2 4 s2 1 3 s1 -2 s0 3,第一列系数改变符号2次,闭环系统的根中有2个实部为正,控制系统不稳定.,对于特征方程阶次低(n3)的系统,劳斯判据可简化: 二阶系统特征式为 a0s2+a1s+a2 劳斯表为,s2 a0 a2 s1 a1 s0 a2,故二阶系统稳定的充要条件是a00, a10, a20,三阶系统特征式为a 0 s 3 + a 1 s2 + a 2s + a3 劳斯表为,故三阶系统稳定的充要条件是a00, a10, a30且a1a2a0a3,s3 a0 a2 s2
9、 a1 a3 s1 s0 a3,例5-3 设某反馈控制系统如下图所示,试计算使系统稳定的K值范围.,解: 系统闭环传递函数为,特征方程为 s 3 + 3 s2 + 2s + K =0,根据三阶系统稳定的充要条件,可知使系统稳定须满足:,故使系统稳定的K值范围为 0 K 6,两种特殊情况之一 在劳斯阵列表的计算过程中,如果出现: (1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零,其余各系数不为零(或没有其余项),这时可用一个很小的正数来代替这个零,从而使劳斯阵列表可以继续运算下去(否则下一行将出现).如果的上下两个系数均为正数,则说明系统特征方程有一对虚根,系统处于临界状态;如果的上下两个系数的符号不同
10、,则说明这里有一个符号变化过程,则系统不稳定,不稳定根的个数由符号变化次数决定.,例5-4: 设某系统的特征方程式为 s4+2s3+s2+2s+1=0 试用劳斯判据判别系统的稳定性.,2)排劳斯阵列,解:,1)从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件.,符号改变2次,故有 2个实部为正的特征根.,s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0 () 1 s1 s0 1,解: 劳斯阵列表为,例5-5 设某系统特征方程为s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性.,s3 1 1 s2 2 2 s1 0 () s0 2,由于的上下两个系数(2和2)
11、符号相同,则说明无正实根,有一对虚根存在.,两种特殊情况之二 (2)若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零,则说明 特征方程具有大小相等而位置径向相反的根.至少要下述几种情况之一出现,如:大小相等,符号相反的一对实根,或一对共轭虚根,或对称于虚轴的两对共轭复根.在这种情况下可做如下处理: a.利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数的; b.求辅助多项式对s的导数,将其系数构成新行,代替第k行; c.继续计算劳斯阵列表; d.关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得.,例如:,例5-6 设某系统特征方程为s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0 试
12、用劳斯判据判别系统的稳定性.,解: 劳斯阵列表为,s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 1 6 8 s3 0 (4) 0 (12) 0 s2 3 8 S1 4/3 s0 8,辅助多项式,5.3.2 赫尔维兹稳定性判据,若系统特征方程式为 a0sna1sn-1an-1san= 0 a00,系统稳定的充要条件: 主行列式n及对角线上各子行列式1,2 n-1均0, 即:,有时称主行列式n为赫尔维兹行列式.,可以证明劳斯判据和赫尔维茨判据是等价的,即,例5-7: 设控制系统的特征方程式为s4+8s3+17s2+16s+5=0 试用赫尔维兹判据判断系统的稳定性.,解: 由方程系数可知
13、满足稳定的必要条件.各系数排成行列式及各阶子行列式,40,故该系统稳定.,5.4 乃奎斯特稳定性判据,劳斯稳定性判据的不足: 必须知道系统的闭环传递函数 定性不能从量上判断系统的稳定程度对含有延迟环节的系统无效 不能对改善系统稳定性给出提示,Nyquist及Bode稳定性判据几何判据根据开环频率特性判断闭环稳定性,5.4.1 映射定理,线性系统传递函数的一般形式:,映射定理表达的是s平面上一条封闭曲线, 经过F(s)的映射,在F平面上所具有的特性. 即sF(s).,辐角定理:,对于一个复变函数,式中zi(i=1,2,m)为F(s)的零点, pj(j=1,2,n)为F(s)的极点.,柯西辐角原理
14、: S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点.当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时,在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈.N, Z, P的关系为: N=ZP.,若N为正,表示CF顺时针运动,包围原点;,若N为0,表示CF顺时针运动,不包围原点;,若N为负,表示CF逆时针运动,包围原点.,函数F(s)是复变量s的单值函数,s可在整个S平面上变化,对于其上每一点,除有限(n)个极点外,函数F(s)都有唯一的一个值与之对应.,例 设:,对于一个复变函数,F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面.其中S平面上的全部零点都映射
15、到F(s)平面上的原点;S平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点.除了S平面上的零、极点之外的普通点,映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点.,注意,虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的,然而逆过程往往并非如此.例如已知,这个函数在有限的S平面上除S=0,1, 2以外均解析,除此三点外,S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点,但是F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点.最简单的说明方式就是将方程改写成.,例设: ,当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线,从(-1，j1)到(-1，j0),映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1
16、，-j0), 相角的变化为:,在这种映射关系中,有一点是十分重要的,即:不需知道围线CS的确切形状和位置,只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目,就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次;反过来,根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数,也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息.,sF(s)的映射,1. F (s) =sz z为复数,如果C不包围z, 则C顺时针方向运动, 但不包围原点,C 不包围z,如果C 顺时针包围z, 则C 顺时针包围原点1圈.,C 包围z,2.,如果C顺时针包围z个零点,那么C顺时针绕原点转z圈,3.,如果C不包围p, 则C顺时针方向运动,但不
17、包围原点,如果C顺时针包围p, 那么C 逆时针包围原点1圈.,4.,如果C顺时针包围p个极点, 那么C 逆时针绕原点转p圈,F(s)有m个零点,n个极点,在s平面上的C顺时针包围了其中的z个零点和p个极点,则在F平面上的C顺时针包围原点z p圈.映射定理,5.4.2 乃奎斯特稳定性判据,令,开环传递函数,则闭环传递函数,假设C曲线顺时针包围整个s平面的右半平面,其中包围F(s)的z个零点和p个极点, 则映射到F(s)平面的C曲线顺时针包围原点N=z-p圈.,闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0,分子是闭环传递函数的特征多项式,分母是开环传递函数的特征多项式,F(s)右零点个数为0,C曲线逆时针
18、包围原点的圈数为开环传递函数的右极点个数p,C曲线包围F(s)的 右零点个数z=0,假设闭环稳定,闭环右极点个数为零,C顺时针包围原点的圈数为零,而逆时针包围原点的圈数=开环右极点个数.这就是闭环稳定的充要条件.,闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0,F(s)右零点个数为0,C曲线逆时针包围原点的圈数为开环传递函数的右极点个数p,C曲线包围F(s)的 右零点个数z=0,这里需要解决两个问题: 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线,并且它是满足柯西辐角条件的? 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N,并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系?, 正虚轴：,第1个问题:先假设F
19、(s)在虚轴上没有零、极点.按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面,这条曲线又叫D曲线.它可分为三部分:, 右半平面上半径为无穷大的半圆:, 负虚轴：,F(s)对原点的包围,相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围;即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样.,第部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1;,F(s)的极点就是Gk(s)的极点,因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数.,由Gk(jw)可求得F(jw), 而Gk(jw)是开环频率特性.,第2个问题:如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N,并将它和开环频率特性Gk(jw
20、)相联系?,奈奎斯特所构造的的F(s)1Gk(s), Gk(s)为开环传递函数.,第部分的映射,一般在Gk(s)中,分母阶数比分子阶数高,所以当s=ejq 时,Gk(s)0,即F(s)=1.若分母阶数=分子阶数,则Gk(s)K (零极点形式的开环增益),即F(s)=1+K.,第部分的映射是第部分的映射关于实轴的对称.,Nyquist稳定判据在s平面作包围右半平面的D形曲线,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数,意味着F(s)没有零点,则闭环系统稳定. 充要条件,例5-8: 一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.,解:作出系统开环传递函数
21、乃氏图,如图5-10所示,没有包围(-1,j0).显然开环传递函数没有右极点,根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定.,例5-9: 一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.,解:开环传递函数有1个右极点.作出开环乃氏图,如图5-11所示,顺时针包围(-1,j0)点1圈.根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定的条件是逆时针包围(-1,j0)点1圈.因此系统闭环不稳定.,例5-10: 一个闭环控制系统,如图5-12(a)所示,判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定.,解:开环传递函数为 K/(Ts-1), 有1个右极点.作出开环乃氏图如图5-12(b)所示,它与实轴的交点为(-K,j0).只有
22、当(-K,j0)在(-1,j0)的左边时,乃氏图才逆时针包围(-1,j0)1圈.因此系统闭环稳定的条件是K1. 开环传递函数为一阶或二阶环节的系统,只要其增益为正,它的乃氏图就不可能包围(-1,j0)点,因而闭环一定稳定.,例5-11: 一个单位反馈系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.,解:系统开环右极点个数为0.画出开环乃氏图,如图5-13所示.由图5-13可见,乃奎斯特曲线并不封闭,所以”包围原点几圈”也就无从说起.要解决这个问题,只有修改D曲线,使其不穿过原点.如图5-14所示,可以令D曲线从原点的左边或右边以半圆绕过去,称之为D曲线.,令D曲线从原点的左边或右边以半圆绕过去,称之为D曲
23、线.,为了避免乃奎斯特稳定性判据判断错误,D曲线在原点处所绕的半圆,必须半径趋于零,即只把原点这一个点绕过去.而当开环为I型及I型以上系统时,闭环是不可能在原点出现极点,说明如下.,系统的闭环传递函数为,设开环传递函数为型,假设闭环在原点处有极点,即 有公因子s 则 中有公因子s,从而必须至少bm=0. 则开环传递函数的分子、分母中都有s因子,可以消去,从而开环的型 次降为-1.,可以用 来描述小半圆部分的轨迹,其中, 0为半圆的半径;如果从右边绕,则从-90 到90;如果从左边绕,则从-90到-270.需要考 虑的是用 代替s=0后,这一段小半圆经过 开环传递函数的映射,在乃氏图上的轨迹.,
24、开环没有右极点,乃氏图不包围(-1,j0)，稳定,开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈，稳定,5.4.3 乃奎斯特稳定性判据应用于最小相位系统,最小相位系统,即在式(5-9)中, 对最小相位系统,使用 乃奎斯特稳定性判据时更简单的方法.只需画出从0+到无穷大部分的 乃氏图,再想象一个点沿着乃氏图的方向前进,如果在最接近(-1,j0)点的一段曲线上, (-1,j0)是在前进方向的左边,则系统闭环稳定,否则闭环不稳定.,5.5 应用乃奎斯特稳定性判据分析延时系统的稳定性,5.5.1 延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性,例5-12:在图5-17所示的系统中,若 ,则开环
25、传递函数和开环频率特性为其开环乃氏图如图5-18所示.,5.5.2 延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性,系统的开环传递函数为:,闭环系统的特征方程为:,令F(s)为:,于是就研究G1(jw)是否包围的情况,进而判定闭环系统的稳定性.,例5-13: 图5-20所示为镗铣床的长悬臂梁式主轴的工作情况,下面分析其动态特性.,图5-20 铣床切削工件示意图,图5-21 主轴系统力学模型,切削时产生不稳定的现象同延时环节的存在密切相关,因考虑到切削过程的特点,这种不稳定表现为自激振动.,主轴端部的运动微分方程为:,其传递函数为:,(1)机床主轴系统的传递函数,(2)切削过程的传递函数.,图
26、5-22 系统方块图,图5-23 切削过程,系统的开环传递函数为:,则 ,即,令,闭环系统的稳定性判据归结为:Gm(jw)的乃氏图是否包围Gc(jw)的乃氏图的问题.,图5-24 Gm(j)和Gc(j)切削过程,图5-25 s的走向,(1)若Gm(j)不包围Gc(j),即Gm(j)与Gc(j)不相交,如曲线,则系统绝对稳定.因此系统绝对稳定的条件是Gm(j)中的最小负实部的绝对值小于km/2kc. 无论提高主轴的刚度km,还是减少切削阻力系数kc,都可提高稳定性,但对提高稳定性最有利的是增加阻尼.(2)若Gm(j)包围Gc(j)一部分,即Gm(j)与Gc(j)相交,如曲线,则系统可能不稳定,但
27、在一定条件下也可稳定. 如果在工作频率下,保证避开ab的范围,也就是适当选择系统仍可稳定.所以,在此条件下系统稳定的条件为:选择适当的主轴转速n(在单刃铣刀时,1/n)，使Gm(j)不包围Gc(j)点.,5.6 由伯德图判断系统的稳定性,Nyquist稳定判据的充要条件:在s平面作包围右半平面的D形曲线,如果开环传递函数Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数,则闭环系统稳定.,F(s)有m个零点,n个极点,在s平面上的C顺时针包围了其中的z个零点和p个极点,则在F平面上的C顺时针包围原点z p圈.,当闭环稳定时, z=0, 此时N=-p, p为开环系统的右极点个数.
28、,当闭环系统稳定时,为了简单起见,通常只画出从0到+的 曲线,当仅用正半部分奈氏曲线判别系统的稳定性时,有如下式子成立:,系统稳定时,当从 变化时,开环频率特性曲线 逆时针包围点 的次数NN如果等于开环右极点数的一半P/2,则闭环系统是稳定的,否则系统不稳定.,从 变化时, 封闭曲线在 平面内包围点 的次数.,开环Bode图与Nyquist图对应关系,幅值穿越频率c Nyquist轨迹与单位园交点的频率; 相位穿越频率g Nyquist轨迹与负实轴交点的频率;,当G(jw)H(jw)曲线的形状较复杂,NN不易找准时,常利用“穿越”概念求NN.,穿越开环 Nyquist轨迹在点(-1,j0)以左
29、穿过负实轴,称为穿越. 正穿越若沿方向,开环 Nyquist轨迹自上而下(相位增加)穿过点(-1, j0)以左的负实轴,称为正穿越. 对数相频曲线,自下而上穿过-180线. 负穿越若沿方向,开环 Nyquist轨迹自下而上(相位减小) 穿过点(-1, j0)以左的负实轴,称为负穿越. 对数相频曲线,自上而下穿过-180线. 半次正穿越若沿方向,开环 Nyquist轨迹点(-1, j0)以左的负 实轴开始向下,称为半次正穿越. 对数相频曲线,自-180线开始向上. 半次负穿越若沿方向,开环 Nyquist轨迹点(-1, j0)以左的负 实轴开始向上,称为半次负穿越. 对数相频曲线,自-180线开
30、始向下.,正穿越一次,对应于Nyquist轨迹逆时针包围点(-1, j0)一圈; 负穿越一次,对应于Nyquist轨迹顺时针包围点(-1, j0)一圈; 因些,开环Nyquist轨迹逆时针包围点(-1, j0)圈数=正负穿越次数差,Nyquist稳定性判据可以修改为,当=0+时,若GH对(-, -1)实轴段正负穿越次数差= P/2,即N+- N- = P/2,则系统稳定.否则,系统不稳定.,Nyquist稳定判据的充要条件:在s平面作包围右半平面的D形曲线,如果开环传递函数Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数,则闭环系统稳定.,当从 0+变化时,开环频率特性曲线
31、GH逆时针包围点(-1,j0)的次数NN如果等于开环右极点数的一半P/2,则闭环系统是稳定的,否则系统不稳定.,当=0+时,若GH对(-, -1)实轴段正负穿越次数差= P/2,即N+- N- = P/2,则系统稳定.否则,系统不稳定.,设0型或I型系统开环特征方程有p个右根,且开环静态放大倍数大于零,如果在所有L()0频率范围内,相频特性曲线()在(-)线上正负穿越之差为p/2次,则闭环系统稳定.,由伯德图判断系统的稳定性,设0型或I型系统开环特征方程有p个右根,且开环静态放大倍数大于零,如果在所有L()0频率范围内,相频特性曲线()在(-)线上正负穿越之差为p/2次,则闭环系统稳定.,已知
32、p0,即开环无右特征根,在L()0范围内,正负穿越之差为0,系统闭环稳定.,已知p=1,即开环传递函数有一个右极点,在L()0的频率范围内,半次正穿越,系统闭环稳定.,已知p2,即开环传递函数有两个右极点,在L()0的范围内,正负穿越之差为1-2=-122,系统闭环不稳定.,已知p2,即开环传递函数有两个右极点,在L()0的范围内,正负穿越之差为2-11=22,系统闭环稳定.,dB,w,2,3,-,若一个自动控制系统,其开环特征方程均为左根(p=0),闭环系统稳定的充分必要条件是其乃氏图不包围(-1,j0)点.,对数频域稳定判据: (1)若对数幅频曲线穿越零分贝线时的相角大于-180,系统稳定
33、.反之,系统不稳定. (2)若相频曲线穿越-180线时的对数幅频特性的值为负则系统稳定.反之,系统不稳定.,例5-14: 已知系统的开环传递函数为试用伯德图确定闭环后的稳定性.,图5-27 例5-24伯德图,由图可知,在0-wc的范围内,相频特性并不和-180相交,而系统的开环传递函数在s的右半平面没有极点,所以闭环系统稳定.,例5-15: 某反馈控制系统开环传递函数为试判断使系统稳定的K值范围.,图5-28 例5-15的伯德图和乃氏图,5.7 控制系统的相对稳定性,定性定量,5.7.1 采用劳斯判据看系统相对稳定性,如果系统闭环特征根均在s左半平面,且和虚轴有一段距离,则系统有一定的稳定裕量
34、.,虚轴左移,令z=s+,将s=z-代入系统特征式,得到z的方程式,采用劳斯判据,可知距离虚轴以右是否有根.,解: 令 z = s+1,即s=z1,代入系统特征式,(z1)4+10 (z1)3 +35 (z1)2 +50 (z1) +24=0得 z4+6z3+11z2+6z=0 则劳斯阵列表为,例5-17: 设控制系统的开环传递函数为判断系统的相对稳定性.,s4 1 11 0 s3 6 6 s2 10 0 s1 6 s0 0,z的多项式系数无相反符号,劳斯阵列第一列未变号,系统在s=-1以右没有根.,5.7.2 采用奈奎斯特判据看系统相对稳定性及其相对稳定性指标,采用乃氏判据判别系统的相对稳定
35、性主要针对系统开环传递函数没有右极点.如果系统稳定,Nyquist图离(-1, j0)越近,稳定程度越低.Nyquist图离(-1, j0)越远,稳定程度越高.这就是相对稳定性.定量表示用相位裕量和幅值裕量., 对于开环稳定系统:,为相角穿越频率.,开环幅相频率特性 (奈氏图)与负实轴相交时的幅值的倒数,用 表示.,Kg1 时闭环系统稳定; Kg=1 时闭环系统临界稳定; Kg1 时系统不稳定.,1、幅值裕量:,2、相角裕量:, 对于开环稳定系统:,对于开环不稳定的系统不能用相角裕度和增益裕度来判断系统的稳定性.,在工程上一般取相角裕度为30-60度,幅值裕度大于6dB.,相角裕量为正值,系统
36、稳定;,相角裕量为负值,系统不稳定.,为剪切频率.,例5-18: 设某系统开环传递函数如下,试分析当阻尼比很小时(=0),该闭环系统的稳定性.,图5-32 例5-18的乃氏图和伯德图,解:当很小时的GH将具有如图5-32的形状,其相位裕量虽较大,但幅值裕量却太小.这是由于在很小时,二阶振荡环节的幅频特性峰值很高所致.也就是说,GH的剪切频率c虽然低,相位裕度较大,但在频率c附近,幅值裕度太小,曲线很靠近GH平面上的(-1,j0).所以,如果仅以相位裕量来评定该系统的相对稳定性,就会得出系统稳定程度高的结论,而系统的实际稳定程度绝不是高,而是低.若同时根据相位裕量及幅值裕量Kg全面地评价系统的相
37、对稳定性,就可避免得出不合实际的结论.,由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系,相位裕度=3060表明开环对数幅频特性在剪切频率c上的斜率应大于-40dB/dec.因此,为保证有合适的相位裕量,一般希望这一段上的斜率(也叫剪切率)等于-20dB/dec.如果剪切率等于-40dB/dec,则闭环系统可能稳定,也可能不稳定,即使稳定,其相对稳定性也将是很差的.如果剪切率为-60dB/dec或更陡,则系统一般是不稳定的.由此可知,对于最小相位系统一般只要讨论系统的开环对数幅频特性就可以判别其稳定性.,例5-19: 设某单位反馈控制系统具有如下的开环传递函数:试分别求取K=10及100时的相位裕量和幅值裕量Kg(dB).,K=10时,据波特图可知:相位裕量为21,幅值裕量为8dB,故系统稳定.,K=100的对数幅频特性比K=10的对数幅频特性上移了20dB.,据K=100的波特图可知:相位裕量为-30,幅值裕量为-12dB,故系统不稳定.,第 五 章 作 业 5-4、5-5、5-6(1)(2)、5-9、5-11、5-21,
