1、皮尔逊（P）型曲线1、皮尔逊型曲线的概率密度函数皮尔逊型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图 4-4-3） ，数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:（4-4-8 ）式中：（ ） 的伽玛函数；、a0分别为皮尔逊型分布的形状尺度和位置未知参数，0， 0 。显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。可以推论，这三个参数与总体三个参数、Cv、CS 具有如下关系：（4-4-9）2、皮尔逊型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率 P 所相应的随机变量取值 xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:（4-4-10）求出等于及大于 xp 的累积频率 P 值。直接由式（4-4-1
2、0）计算 P 值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :（4-4-11）式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数 CS，其它两个参数 、Cv 都包含在 中。 ，x 是标准化变量， 称为离均系数。 的均值为 0，标准差为 1。因此，只需要假定一个 CS 值，便可从式（4-4-11）通过积分求出 与 之间的关系。对于若干个给定的 CS值， 的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表 1“皮尔逊型频率曲线的离均系数 值表“。由 就可以求出相应频率 的 x 值： （4-4-12）附表 1 皮尔逊型频率曲线的离均系数 值表（摘录） P（ %）Cs 0.1 1
3、5 20 50 80 95 99 99.90.0 3.09 2.33 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 -2.33 -3.090.1 3.23 1.67 2.0 0.84 -0.02 -0.85 -1.62 -2.25 -2.950.2 3.38 2.47 1.70 0.83 -0.03 -0.85 -1.59 -2.18 -2.810.3 3.52 2.54 1.73 0.82 -0.05 -0.85 -1.55 -2.10 -2.670.4 3.67 2.62 1.75 0.82 -0.07 -0.85 -1.52 -2.03 -2.540.5 3.81 2.68 1.
4、77 0.81 -0.08 -0.85 -1.40 -1.96 -2.400.6 3.96 2.75 1.80 0.80 -0.10 -0.85 -1.45 -1.88 -2.270.7 4.10 2.82 1.82 0.79 -0.12 -0.85 -1.42 -1.81 -2.140.8 4.24 2.89 1.84 0.78 -0.13 -0.85 -1.38 -1.74 -2.020.9 4.39 2.96 1.86 0.77 -0.15 -0.85 -1.35 -1.66 -1.904.53 3.02 1.88 0.76 -0.16 -0.85 -1.32 -1.59 -1.793、
5、皮尔逊型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的 CS 值，查 值表得出不同的 P 的 值，然后利用已知的 、C V，通过式（4-4-12）即可求出与各种 P 相应的 值，从而可绘制出皮尔逊 型频率曲线。当 CS 等于 CV 的一定倍数时,P-型频率曲线的模比系数 KP = ,也已制成表格,见附表 2“皮尔逊型频率曲线的模比系数 KP 值表“。频率计算时，由已知的 CS 和 CV 可以从附表 2 中查出与各种频率 P 相对应的 KP 值，然后即可算出与各种频率对应的 =KP 。有了 P 和 的一些对应值，即可绘制出皮尔逊型频率曲线。附表 2 皮尔逊型频率曲线的模比系数 KP 值表 （摘录，C S
6、= 2CV）P（%） Cs 0.1 1 5 20 50 75 90 95 990.05 1.16 1.12 1.08 1.04 1.00 0.97 0.94 0.92 0.890.10 1.34 1.25 1.17 1.08 1.00 0.93 0.87 0.84 0.780.20 1.73 1.52 1.35 1.16 0.99 0.86 0.75 0.70 0.590.30 2.19 1.83 1.54 1.24 0.97 0.78 0.64 0.56 0.440.40 2.70 2.15 1.74 1.31 0.95 0.71 0.53 0.45 0.300.50 3.27 2.51 1
7、.94 1.38 0.92 0.64 0.44 0.34 0.210.60 3.89 2.89 2.15 1.44 0.89 0.56 0.35 0.26 0.130.70 4.56 3.29 2.36 1.50 0.85 0.49 0.27 0.18 0.080.80 5.30 3.71 2.57 1.54 0.80 0.42 0.21 0.12 0.040.90 6.08 4.15 2.78 1.58 0.75 0.35 0.15 0.08 0.021.00 6.91 4.61 3.00 1.61 0.69 0.29 0.11 0.05 0.014.4.5 频率与重现期的关系频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率 p 的设计值 xp。由于“频率“较为抽象，水文上常用“重现期“来代替“频率“。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。根据研究问题的性质不同，频率 P 与重现期 T 的关系有两种表示方法。1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时，一般设计频率 P50，则:（4-4-14）式中：T重现期，年；频率，。（2）当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，设计频率 P50，则（4-4-15）
