1、- 1 -2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷数学试题（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 全集 UR，集合 10Ax， 30Bx，那么集合 ()UCAB（ ）A.13x B. C. 1 D.3x2已知数列 满足 ， ，则 的前 10 项和等于( )na10na243naA. B.C. D. 106()1()910(3)10()3已知实数 满足约束条件 ,则 的最大值等于 ( )yx,02yxyxzA9 B12 C27 D364用数学归纳法证明：“ ,在验证),1(1 *212 Nnaannn
2、1 时，左端计算所得的项为( )A1 B C D232a5非零向量 ， ， ，若向量 ，则 的最大值为（ b,m|nb| bac21|c）A B C D以上均不对n21|21|21nm6若 在区间 上有极值点,则实数 a的取值范围是( )32()xaf函 数 43A B C D 102,310,107,34172,47已知 为三条不同的直线， 和 是两个不同的平面，且cba, .下列命题中正确的是（ ）A.若 与 是异面直线，则 与 都相交cba,B.若 不垂直于 ，则 与 一定不垂直acC若 ，则b/- 2 -D若 则,cab8设 为正实数，则“ ”是“ ”成立的( ), b1abA充分不必
3、要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件9 的外接圆的圆心为 O，半径为 2， 0ACB且 |ABO，则向量 CA在 B方向上的投影为 （ ）A. 3 B.3 C. 3 D. 3 10设等差数列 满足： ，公差na222236645sicoscosins1in()aaa若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项(1,0)d9nS的取值范围是( )A B C D74,6343,274,6343,2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题纸相应位置上） 11已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_。12若存
4、在实数 满足 ，则实数 的取值范围是_. 1,23x2xaa13已知函数 )sin()(f（其中 R， 0， )的部分图象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变，也可得到 f(x)函数的图像，则函数 g(x)的解析式是_.22正视图 侧视图 俯视图- 3 -16 题图14已知首项为正数的等差数列 中， ,则当 取最大值时，数列na213a的公差 = nad15函数 的定义域为 ，若 且 时总有 ，则称)(xfAx21, )(21xff 21x为单函数，例如:函数 是单函数下列命题：)()(Rf函数 是单函数；()2Rxf指数函数 是单函数；)
5、若 为单函数， 且 ，则 ；)(f A21,21x)(21xff在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；若 为单函数，则函数 在定义域上具有单调性。)(xf )(f其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （本小题满分 12 分）已知 分别在射线 （不含端点 ）上运动，AB、CMN、C，在 中，角 、 、 所对的边分别是 、23MCNCa、 bc（1）若 、 、 依次成等差数列，且公差为 2求 的值；a c（2）若 ， ，试用 表示 的周长，3ABABC并求周长的最大值 MN ACB- 4 -18 题图1
6、7 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ， ， .猜想nx21nnx1*N数列 的单调性，并证明你的结论nx218 （本小题满分 12 分）在多面体 中， ， ， 平ABCDEBACDE/A面 ，BCDE， 为 的中点.2F（1）求证： 平面 ；/（2）若 ，求二面角 的正切 A值的大小.来源:学19 （本小题满分 13 分）已知等差数列 的公差为 ,首项na1为正数，将数列 的前 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比na4数列 的前 3 项,nb（1）求数列 的通项公式 与前 项和 ； nnS（2）是否存在三个不等正整数 ,使 成等差数列且 成等pm, pnmS,比数列.20 （
7、本小题满分 13 分）如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为 立方分米设圆锥纸筒底面半径为 r 分米，高为 h 分米（1）求出 r 与 h 满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时 的值hrFC BADE- 5 -20 题图21(本小题满分 13 分)已知函数 .()ln1)()fxx（1）求 的单调区间；(fx（2）已知数列 的通项公式为 ，na2()nnaN求证： （ 为自然对数的底数） ；54234e（3）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值。kZ2(1)xf1xk2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷数学试题
8、（理科）答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 全集 UR，集合 10Ax， 30Bx，那么集合 ()UCAB（ A ）A.13x B. C. 1 D.3x2已知数列 满足 ， ，则 的前 10 项和等于( C )na10na243naA. B.C. D. 106()1()910(3)10(3已知实数 满足约束条件 ,则 的最大值等于 ( B )yx,02yxyxzA9 B12 C27 D364用数学归纳法证明：“ ,在验证),1(1 *212 Nnaannn1 时，左端计算所得的项为( C )- 6 -A1
9、 B C Da121a32a5非零向量 ， ， ，若向量 ，则 的最大值为（ B b,m|nb| bc2|c）A B C D以上均不对n21|21|21nm6若 在区间 上有极值点,则实数 a的取值范围是( 32()xaf函 数 43D )A B C D102,3102,107,4172,47已知 为三条不同的直线， 和 是两个不同的平面，且cba, .下列命题中正确的是（ C ）A.若 与 是异面直线，则 与 都相交cba,B.若 不垂直于 ，则 与 一定不垂直acC若 ，则b/D若 则,8设 为正实数，则“ ”是“ ”成立的( D ),aab1baA充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不
10、充分也不必要条件 D充要条件9 的外接圆的圆心为 O，半径为 2， 0ACB且 |ABO，则向量 CA在 B方向上的投影为 （ A ）A. 3 B.3 C. 3 D. 3 10设等差数列 满足： ，公差na222236645sicoscosins1in()aaa若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项(1,0)d9nS的取值范围是( B )A B C D74,6343,274,6343,2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题纸相应位置上） - 7 -11已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_。612若存在实数 满足
11、 ，则实数 的取值范围是1,23x2xaa_ _. )20,(13已知函数 )sin(xf（其中 Rx， 0， )的部分图象如下图所示,如果对函数 g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变，也可得到 f(x)函数的图像，则函数 g(x)的解析式是 .)34sin(x14已知首项为正数的等差数列 中，na,则当 取最大值时，数列 的公21a3a差 =d-3 15函数 的定义域为 ，若 且)(xfAx21,时总有 ，则称 为单函数，例如 :函数2121x)(f是单函数下列命题：)()(Rf函数 是单函数；2f指数函数 是单函数；)()x若 为单函数， 且 ，则 ；(xf
12、A21,21x)(21xff在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；若 为单函数，则函数 在定义域上具有单调性。)(f )(f其中的真命题是_( 写出所有真命题的编号)22正视图 侧视图 俯视图- 8 -16 题图三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （本小题满分 12 分）已知 分别在射线 （不含端点 ）上运动，AB、CMN、C，在 中，角 、 、 所对的边分别是 、23MCNCa、 bc（1）若 、 、 依次成等差数列，且公差为 2求 的值；a c（2）若 ， ，试用 表示 的周长，3ABABC并求周长的最大值 解：（1） 、 、 成等
13、差，且公差为 2，abc、 . 又 ， ，4c23MN1cos， ， 221ab 2241c（4 分）恒等变形得 ，解得 或 .又 ， . 29140c7c24c7（6 分）（2）在 中， ， ABCsinsisinBCAB， ， . 32sinii2sin3（8 分）的周长 ABCfABC2sini3， 132sincossi3（10 分）又 ， , 0,323当 即 时， 取得最大值 26f23（12 分）MN ACB- 9 -18 题图17 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ， ， .猜想nx21nnx1*N数列 的单调性，并证明你的结论nx2解：由 及 ，1nnx1得 ， ， ，
14、32x854236由 猜想：数列 是递减数列 6n（4 分）下面用数学归纳法证明：(1)当 时，已证命题成立1n(2)假设当 时命题成立，即 ，易知 ，k22kx0kx那么 31242kkkxx= )(23kk= )1)(322kkx= 0)1(3221kkkk x即 2)1()1(2kkx也就是说，当 时命题也成立n结合(1)和(2)知命题成立 （12 分）18 （本小题满分 12 分）在多面体 中， ， ， 平ABCDEBACDE/A面 ，BCDE， 为 的中点.2F（1）求证： 平面 ；/（2）若 ，求二面角 的正切 A值的大小.来源:学证明：（）取 中点 ，连接 .ACGFD,因为 是
15、 的中点，所以 是 的中位线，FBABCFC BADE- 10 -则 ，所以 ， （2BCFG21,/DEFG,/分）则四边形 是平行四边形，所以 ，故 平面 . DE/ACD（4 分）（）过点 作 垂直 的延长线于点 ，MEM因为 平面 ，所以 ，则 平面 ，ABCBAE过 作 ，垂足为 ，连接 ，易证 平面 ，HHBH所以 ，则 是二面角 的平面角. D（7 分）设 ，则 ，aDEa2在 中， ， ，所以 . （10BBEaB27分）又因为 ，所以 ，则 （12MHA6.642tnHM分）19 （本小题满分 13 分）已知等差数列 的公差为 ,首项为正数，将数列na1的前 项抽去其中一项后
16、，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 的前 3na4 nb项,（1）求数列 的通项公式 与前 项和 ； nnnS（2）是否存在三个不等正整数 ,使 成等差数列且 成等比pm, pnmS,数列.解：（1）设前 4 项为 .3,21,aa则 或)()(2)3(1)(a或 或 （3 分）2（6 分）9,5nSn解 得（2） pmpnmS2,成 等 比 数 列 ， 则若（9 分）4)(94)(22 但 （12 分）222 )()9()9(,)( npnp 等号不成立m故不存在三个不等正整数 ，m,使 成等差数列且 成等比数列. （13 分）pn, pnS- 11 -20 题图20 （本小题满分 13 分）
17、如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为 立方分米设圆锥纸筒底面半径为 r 分米，高为 h 分米（1）求出 r 与 h 满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时 的值hr解：（1）设圆锥纸筒的容积为 ，则 ，V213rh由该圆锥纸筒的容积为 ，则 ，即 ，23故 r 与 h 满足的关系式为 ； 2rh（4 分）（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小， 设该纸筒的侧面积为 ，则 ，其中 为圆锥的母线长，Srll且 ，2lrh所以 （ ） ， (7 分)22223()()Srhh0设 （ ）
18、 ，239()3fh0由 ，解得 ，318036h当 时， ；当 时， ；06 ()f ()0fh因此， 时 取得极小值，且是最小值，此时 亦最小；h ()Sfh(11 分)由 得 ，所以最省时 的值为 23r2362hrhr2(13 分)21(本小题满分 13 分)已知函数 .()ln1)()fxx（1）求 的单调区间；)fx- 12 -（2）已知数列 的通项公式为 ，na21()nnaN求证： （ 为自然对数的底数） ；54234e（3）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值。kZ2(1)xf1xk解：（1）因 ，所以 。()ln)f()1xf当 时， ；当 时， 。,0x0x,()0f所
19、以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 ()f (1),)（3 分）（2）由（1）知，当 时， ，即 。0x()0fxln(1)x因为 ，所以 。21(nnaN22lkkka令 ，这 个式子相加得,3k 2 2322111ll()()3nna n 2) 4()n111()()43n n.5)224n即 ，所以 。 （8 分）235ln()4na 434nae（3）令 ，则 。2(1)l) (1)xfxg2ln()1)xg令 ，则 ，故 在 上单调递增，(lnh()0hh,而 ， ，3)1042ln所以 存在唯一零点 ，即 。(x0(3,)x0l20x当 时， ，即 ；0,)()h()g- 13 -当 时， ，即 。0(,)x0()hx()0gx所以 在 上单调递减，在 上单调递增，g010,故 。0min0 00(ln1)()()xxx 由题意有 ，又 ， ，所以 的最大值是 3。 in0(kgkZ(3,4)k（13 分）版权所有：高考资源网()
