1、线性代数综合练习题（一）一、单项选择题 1. 对于 阶可逆矩阵 ， ，则下列等式中（ ）不成立.nAB(A) (B) 11B)/1()/(1BA(C) (D) 2. 若 为 阶矩阵，且 ，则矩阵 （ ）.An03A1)(E（A） （B） （C） （D） 2E22A2AE3. 设 是上（下）三角矩阵，那么 可逆的充分必要条件是 的主对角线元素为（ A）.(A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设 ， ， ，3)(ijaA 13123132aa10P，那么（ ）.102P（A） （B） （C） （D） 2PA12 BAP21 BAP125. 若向量组 线性相关，则
2、向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示.m,1（A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若 ，其秩 （ ）.210534)(AR（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7. 若方程 中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）.bX（A） 必有无穷多解 （A ） 必有非零解 0X（C） 仅有零解 （D） 一定无解08. 若 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） 124T9. 若满足条件（ ） ，则 阶方阵 与 相似.nB（A） （B） （C） 与 有相同特征多项式 )(RAA（D） 与 有相同的特征值且 个特
3、征值各不相同二、填空题1. 若向量组 线性无关，则向量组 是线性 .321,32121,2. 设 为 4 阶方阵，且 ， 是 的伴随阵，则 的基础解系所含的解A3)(AR 0XA向量的个数是 .3. 设 为 阶正交阵，且 ，则 .n04. 设 ， ， 线性相关，则 .2,115,k1,63k5. 设 ，则 .3054A1)(EA6. 设三阶方阵 有特征值 4，5，6，则 ， 的特征值为 TA， 的特征值为 .1三、计算题1. 计算行列式baba2. 已知矩阵 ，求 .201A10A3. 设三阶方阵 满足 ，其中ii)3,(， ， ，求 .T),1(T1,2T)2,1(A4. 取何值时，非齐次线
4、性方程组1605321xx（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设 为 阶可逆阵， .证明 的伴随阵 .AnEA2 A2. 若 ， 都是 阶非零矩阵，且 .证明 和 都是不可逆的.B0B第二章练习题（二）一、填空题1. 设 为 阶矩阵，且 ，则 .An2A*123A2. 阶实矩阵 若 ，则 称为正交矩阵.设 都是 阶正交矩阵，若ET B,n，则 .0B3. 设 ，则 .102A)9()3(21A4. 设 3 阶矩阵 满足关系式：B,，且 ，A61 71430则 .B5. 已知 ，其中 ，则 .A201B6. 设 都是 3 阶方阵，其中 ，若有 3 阶可逆方
5、阵 ，使得, 10P，则行列式 .PBAEA7. 设 为 3 维列向量， 是 的转置，若 ，则 。T1TT8. 设 为 阶可逆矩阵， 为 阶可逆矩阵，则分块对角矩阵 也可逆，且AmBn BOAC其逆矩阵 。1C二、选择题1 设 为 阶方阵， 且 ，则（ ）.BA,nOAB（A） （B） 或 （C） （D）0OA22)(BA2. 设 是 阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若 ，则 （ ）.)1( 23(A) (B) (C) (D) 123n123n23n23n3. 设 阶矩阵 非奇异， 是矩阵 的伴随矩阵，则（ ） 。)(AA（A） （B） 1n 1)(n（C） （D）2)( 24. 设 为 阶矩阵，且
6、 可逆，则下列运算不正确的是（ ） 。P,nP（A） （B） B1 P1（C） （D）E1 T)(1BE5. 设 是同价可逆方阵，则 （ ） 。, 1)(A（A） （B） （C） （D）AA6. 设 维行向量 ，矩阵 ， ，其中n)2,0,21(TT为 阶单位矩阵，则 等于（ ） 。E（A） （B） （C） （D）OEET7. 已知 都是 阶矩阵，其中 均可逆，若 ，则 等于（ ,nB, CBA2） 。（A） （B） 1)2( 1)2(（C） （D）CEBE8. 下列命题中，正确的是（ ） 。（A）如果矩阵 ，则 可逆且 A1（B）方阵 的行列式 B（C）如果矩阵 不可逆，则 都不可逆 ,（D
7、）如果 阶矩阵 或 不可逆，则 必不可逆n9. 设 都是 阶可逆矩阵，且满足 ，则下列等式正确的是（ ） 。A, EA2)(（A） （B） （C） （D）1BEBA2)(10. 设 为 阶矩阵， 分别为 对应的伴随矩阵，分块矩阵,n,，则 的伴随矩阵 （ ） 。BOACC（A） （B） （C） （D） AOABOO三、计算题1. 广州、武汉是甲乙两种货物的发货地。发往北京、天津、南京。已知发货情况如下表，试用矩阵表示北京、天津、南京站要接收广州、武汉来货的总量各多少吨？甲货（百吨）： 乙货（百吨）：到站发站 北京 天津 南京到站发站 北京 天津 南京广州 1a213a广州 1b1213b武汉
8、22武汉 222. 求 的逆矩阵 .12035A1A3. 已知 ， ，求满足等式 的矩阵 .24310A120BBCA234. 设 是 阶非零实矩阵，其元素 与 的代数余子式 相等，求 。A)2(nijaAijA5. 设 ，问 为何值时， 满足 。ts12,BAts,BA,6. 已知矩阵 求与 相乘可交换的矩阵。10AA7. 设 ，求 及 。2034A20A48. 已知 ，求 。2041AnA四、证明题1. 设 阶矩阵 适合 ，试证 是可逆矩阵.nAO2AE2. 设 ，其中 是 阶单位矩阵， 是 非零列矩阵， 其中是 的转置，TEAn1nT证明（1） 的充要条件是 ；2 1T（2）当 时，是
9、不可逆矩阵.1TA3. 设 是 3 阶可逆矩阵，如果它的各行元素之和都相等，证明： 的各列元素的代数余子A A式之和也相等，且不为零.4. 设 都是 阶矩阵，且满足 ， 和 ，证明 为BA,nA2B2 BA2)(零矩阵。5. 设 为同阶矩阵， 非奇异，且 ，证明： .（是正CB,AACB1CABm1整数）.6. 设 阶矩阵 满足 ，且 ，证明 .nA2EA0线性代数综合练习题（三）一、选择题1. 设 是 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩为 ，则AnmBnArABC1r（ ）.（A） （B） （C） （D） 的关系依 而定1r1r1r1与2. 若 为正交阵，则下列矩阵中不是正交
10、阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） A24TA3. 值不为零的 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）.n（A） 保持不变 （B） 保持不为零（C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设 和 都是 阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若 和 都是对称阵，则 也是对称阵（B） 若 ，且 ，则00A（C） 若 是奇异阵，则 和 都是奇异阵（D） 若 是可逆阵，则 和 都是可逆阵B5. 向量组 线性相关的充要条件是（ ）.s,21（A） 中有一个零向量s（B） 中任意向量的分量成比例s,21（C） 中有一个向量是其余向量的线性组合s（D） 中任意一个向
11、量是其余向量的线性组合s,216. 设方阵 的秩分别为 ，则分块矩阵 的秩 与 的关系是（ ）.BA21,r),(BAr21,（A） （B） （C） （D）不能确定21r21二、 填空题1. 设三阶方阵 的特征值为 1，2，3，则 .2. 设 为正定二次型，则 的取值323121321),( xtxxxf t范围为 .3. 设 ，则 .2105A1A4. 阶行列式 .nbaabaDn 005. 设 阶方阵 的元素全为 1，则 的 个特征值为 .AAn6. 设 是非齐次线性方程组 的 个解，若 也是s,21 Xs skk21它的解，则 .skk三、计算题1. 解矩阵方程 ，其中 ， .BAX10
12、35021B2. 求下列矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：A14013253. 已知矩阵 ，求 .201A10A4. 向量组 讨论 取何值,)152(,)6,1(,)01,(,)12( TTTT 时， （1） 能由 线性表示，且表示式唯一， （2） 能由 线性表示，3 32且表示式不唯一， （3） 不能由 线性表示.321,四、证明题1. 设 是 阶方阵 的两个特征值， ， 是对应的特征向量，证明21,nA2121,p不是 的特征向量.21p2. 设 是 阶方阵，若存在正整数 ，使线性方程组 有解向量 ，且Ank0XAk，证明向量组 是线性无关的.01k 12
13、1,A线性代数综合练习题（四）一、选择题1. 设 均为 阶方阵，若由 能推出 ，则 应满足下列条件中的（ CBA,nACBA） 。（A） （B） （C） （D） 00002. 设 为 阶方阵，且 ，则（ ） 。n（A） 中必有两行（列）的元素对应成比例（B） 中至少有一行（列）的元素全为零（C） 中必有一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合（D） 中任意一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合3. 设方阵 ， 的秩分别为 ，则分块矩阵 的秩 与 的关系是（ ） 。21,r),(BAr21,（A） （B） （C） （D）不能确定21r4. 设 ， ， ，3)(ija 13123
14、132aa10P，那么（ ） 。102P（A） （B） （C） （D） 2PA12 BAP21 BAP125. 设 都是 阶非零矩阵，且 ，则 和 的秩（ ） 。,n0（A）必有一个等于零 （B）都小于 n（C）一个小于 ，一个等于 （D）都等于n6. 设 、 为 阶方阵，且 与 相似， 为 阶单位阵，则（ ） 。BAE（A） （B） 与 有相同的特征值和特征向量EA（C） 与 相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数 ， 相似tBtEA与二、填空题1. 已知 ，则 。201B1B2. 若对 ，有 ，则 。tA41)(ARt3. 向量组（）： ， （）： ， （）： ，如果32,4321,5321
15、,R()=R（）=3, R（）=4, 则 的秩= 。45321,4. 设 为非齐次线性方程组 的 个解，若 也是s,21 bAXs scc21该线性方程组的一个解，则 .scc215. 已知 阶可逆矩阵 的每行元素之和均为 ，则数 一定是 的nA)0(aEA1特征值。6. 设 为正定二次型， 则 的取3231212321321),( xtxxxf t值范围为 。三、计算题1. 设 ， ，且 ，求 。52031A021BBXA2. 求向量组 ， ， ， ， 的秩和一个最1200312415135大无关组，并把其他向量用该最大无关组线性表示。3. 对于线性方程组 讨论 取何值时，方程组无解、有惟一
16、解和有15422321x无穷多解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。4. 设二次型 ，32321321 4),( xxxf （1）求一个正交变换化二次型为标准形，（2）设 为上述二次型的矩阵，求A0A四、证明题1. 设 是 阶方阵 的两个特征值， ， 是对应的特征向量，证明21,nA2121,p不是 的特征向量.21p2. 设 为 个线性无关的 维列向量， 是和 均正交121,n n21,121,n的 维列向量，证明 线性相关。n21,线性代数综合练习题（五）一、填空题1. 已知 ，则 。6540321A1A2. 设四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为 ，则行列式 B4321,EB1。3. 方
17、程 的规范正交解为 。0231x4. 设矩阵 的秩为 2，则 。k2156k5. 设 ， ， 是 的一个正交基，则T01T12T2133R在此基下可线性表示为 。T43二、选择题1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ） 。（A）若 ，则 或 （B）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准0BA0形（C）矩阵的标准形不惟一 （D ）若 为初等矩阵， ，则PPBA)(R2. 下列命题正确的是（ ）（A） 维列向量组 可以线性无关n)(,21nm（B）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩（C） 维列向量组 必线性相关)(,21（D）若方阵 ，则 可逆。0P3. 设 为 阶方阵， 是 阶正交阵，且 ，则下列结论
18、不成立的是（ ） 。AnCnACBT（A） 与 相似 （B） 与 有相同的特征向量BA（C） 与 有相同的特征值 （D） 与 等价4. 已知三阶矩阵 的特征值为 其对应的特征向量分别是 ，,4,3,21321,取 ，则 （ ）),(132PAP（A） （B） （C） （D） 4020440230245. 二次型 （ 是对称矩阵）正定的充要条件是（ ） 。AXfT)(（A）对任何 ，有 （B ） 的特征值为非负数A（C）对任何 ，有 （D）对任意 ，有00T 0X0AT三、计算题1. 设非齐次线性方程组 ，3212x（1） 取何值时，方程组（a）有唯一解；（b）无解；(c) 有无数多个解。并且方
19、程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解。（2）设该方程组的系数矩阵为 ，试问 取何值时，存在三阶非零矩阵 ，使得 。AB0A2. 设 ， ，12A102B（1） 求一正交相似变换矩阵 ，使 ，其中 为对角矩阵；PA（2） 求 。n3. 设三阶实对称矩阵 的特征值为 对应的特征向量为 ，A,1,23211（1） 求 对应的特征向量；232（2） 求矩阵 。A4. 判断下面向量组的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示。， ， ，1200312415四、证明题1. 设 与 为 阶矩阵， ，则 与 相似。ABn0ABA2.
20、 设 为正定矩阵，证明： 。A1EA线性代数综合练习题（六）一、选择题1. 设 是 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是（ ） 。Anm0AX（A） 的列向量组线性相关 （B） 的列向量组线性无关 （C） 的行向量组线性相关 （D） 的行向量组线性无关 2. 线性无关的充要条件是（ ）s,21 )(（A） 都不是零向量（B） 任意两个向量的分量不成比例（C） 至少有一个向量不可由其余向量线性表示（D） 每个向量均不可由其余向量线性表示3. 设矩阵 其中 且 ，则 为（ ） 。ab0b12aA（A）正定矩阵 （B）负定矩阵 （C）初等矩阵 （D）正交矩阵 4. 为 阶方阵， 是 的特征值，
21、则必有（ ） 。n),21(niA（A） 互异 （B） 不等于零),(i ),21(ni（C） （D）nna 212115. 若存在一组数 使得 成立，则向量组021mkk 021mkk（ ）n,21（A）线性相关 （B）线性无关（C）可能线性相关也可能线性无关 （D）部分线性相关二、填空题1. 设 ， 为非零矩阵， ，则 。1342tAB0ABt2. 设 阶方阵 的 个特征值为 1，2， ，则 。nnE3. 设列向量组 ， ， 线性相关，则 。23113t4. 已知正交矩阵 的两个列向量 ， ，则 。A012102 A5. 若 ， ，则 。3012B6154CBC三、计算行列式1. 6427
22、81932. 12154321nnnD 四、确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解。 1252335432154321xx五、解矩阵方程 求 ，其中BAX， 01214032B六、求向量组 ， ， ， ， 的最大线性无1200312415135关组，并把其他向量用最大线性无关组线性表示。七、设 阶矩阵 满足 ， 为 阶单位矩阵，nA2En求证： 。R)()八、设矩阵 ，问当 为何值时，存在可逆矩阵 使得 ，3241kA PA1其中 为对角矩阵？并求出相应的对角矩阵。线性代数综合练习题（七）一、选择题1. 设 、 为 阶矩阵，则下面必成立的是（ ） 。ABn（A） （B） 11)(BA（C）
23、（D）2. 设 为 阶矩阵，且 ，则 （ ） 。n0kA1)(AE（A） （B ）E 12kA（C） （D）12k3. 设向量组 的秩为 3，则（ ） 。m,1（A）任意三个向量线性无关 （B） 中无零向量m,21（C）任意四个向量线性相关 （D）任意两个向量线性无关4. 线性方程组 ， 有解的充要条件是（ ） 。1mnbx)0(（A） （B ）)|()ARAR)(（C） （D） )|b5. 阶矩阵 与对角矩阵相似的充要条件是（ ） 。n（A） 的 个特征值互不相同 （B） 可逆（C） 无零特征值 （D） 有 个线性无关的特征向量An二、填空题1. 各列元素之和为 0 的 阶行列式的值等于 。
24、n2. 设三阶矩阵 ，则 。432A1A3. 设矩阵 ， ，则 ， ，3122BBA（ 为正整数） 。kBA)( k4. 设 ， ，则 。2)(43R3021P)(PAR5. 设向量组 线性无关，则向量组 ， ，21,2132线性 。136. 设三阶可逆矩阵 的特征值分别为 2、3、5，则 ， 的伴随矩阵 的AAA特征值为 。7. 设实二次型 为正定二次型，则3231212321321),( xxkxxf 参数 的取值范围是 。k三、计算题1. 设 ，求矩阵 。 693471582010XX2. 当 取何值时，线性方程组23211x有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。3. 设
25、四维向量组 ， ， ， ， ，求0121032345462该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。4. 求一个正交变换 ，将实二次型PYX32321321 4),( xxxf 化为标准形，并判断该二次型是否正定。四、证明题1. 设 为 阶矩阵，如果 ，则 。AnEA2 nEAR)()(2. 设 阶矩阵 ， （ 为正整数） ，则 不能与对角矩阵相似。n0Ak A线性代数综合练习题（八）一、填空题1. 设 ，则 A 的伴随矩阵 。543021A*2. 若向量组 线性无关，则向量组 是线性 。321,32121,3. 设二次型 为正定二次型，则 取值范围为 。221
26、4),(xkxfk4. 设矩阵 的秩为 2，则 = 。kA25065. 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 nXnm； 元非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 XAnm。二、选择题1. 设 与 为 阶非零矩阵，且 = 0 ，则 与 的秩（ ）ABnAB（A）必有一个等于零 （B）都小于 n（C）一个小于 ，一个等于 （D）都等于n2. 设 为 阶实矩阵， 是 的转置矩阵，则对于线性方程组（）： 和T 0AX（）： ，必有（ ）0XT（A） （）的解是（ ）的解， （）的解也是（）的解；（B） （）的解是（）的解，但（ ）的解不是（）的解；（C） （）的解不是（）的解， （）的解也不是
27、（）的解；（D） （）的解是（）的解，但（ ）的解不是（）的解。3. 设 为 阶矩阵，且 ，则必有（ ）,nEABC（A） （ B） （C） （D）ECEAEBAEBCA4. 设向量组 则该向量组的一个,421,30,147,02,15最大无关组为（ ）（A） （B） （ C） （D ）321, 421, 521,5421,5. 若满足条件（ ） ，则 阶方阵 与 相似。nA（A） (B) （C ） 与 有相同的特征多项式)(RB（D） 与 有相同的特征值且 个特征值各不相同B三、计算 阶行列式 。n0110 n四、求下面齐次线性方程组的基础解系： 0367824532412xx五、设 ， ，
28、求 。3210ABA2六、 设 3 阶对称矩阵 的特征值为 6，3，3，与特征值 6 对应的特征向量为 ，求A 1。A七、求一个正交变换使化下列二次型成标准形：。32321321 4),( xxxf 八、设 是一组 维向量，证明： 线性无关的充分必要条件是任n,21 n,21一 维向量都可由它们线性表示。线性代数综合练习题（九）一、选择题1. 设 为 阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ） 。An（A） （B） （C） （D） TTATAT2. 已知向量组 线性相关，则（ ） 。,21m（A） 可由 线性表示 （B） 不可由 线性表示 m,21（C）若 ，则 可由 线性表示mr),(21 m,21（D）若 线性无关，则 可由 线性表示 3. 设 ，则当 （ ）时， 。tA10t 2)(Ar（A） 1 （B） （C） 2 （D） 4. 齐次线性方程组 有非零解的充要条件是（ ） 。0X（A） 的列向量组线性无关 （B） 的列向量组线性相关（C） 的行向量组线性无关 （D） 的行向量组线性相关A
