学而思 小升初专项训练_行程篇(1) 教师版.doc

1、学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 39 名校真题 测试卷 4 （行程篇一）时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_1 （06 年清华附中考题）大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走 1.5 小时，小轿车出发后 4 小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行 5 千米，那么出发后 3 小时就追上了大货车.问：小轿车实际上每小时行多少千米？ 2 （06 年西城实验考题）小强骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。由于途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速

2、度只有骑车的 1/3，结果用了 36 分钟才到学校。小强家到学校有多少千米? 3 （05 年 101 中学考题）小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前 的路程中乘车，车速是小灵通步行速74度的 10 倍其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先到家？4 （06 年三帆中学考题）客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3 小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有 30 千米已知货车的速度是客车的 ，甲、乙两城相距多少千米？435 (02 年人大附中考题)小明跑步速度是步行速度的 3 倍，他每天从家到学校都是步行。有一天

3、由于晚出发 10 分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 40 【附答案】1 【解】根据追及问题的总结可知：4 速度差=1.5 大货车；3（速度差+5）=1.5 大货车，所以速度差=15，所以大货车的速度为 60 千米每小时，所以小轿车速度=75 千米每小时。2 【解】小强比平时多用了 16 分钟，步行速度：骑车速度=1/3：1=1：3，那么在 2 千米中，时间比=3：1，所

4、以步行多用了 2 份时间，所以 1 份就是 162=8 分钟，那么原来走 2 千米骑车 8 分钟，所以 20分钟的骑车路程就是家到学校的路程=2208=5 千米。3 【解】不妨设爷爷步行的速度为“1” ，则小灵通步行的速度为“2” ，车速则为“20” 到家需走的路程为“1” 有小灵通到家所需时间为 120.5，爷爷到家所需时间为20+ 1 0.5，所以爷爷先到家7435164 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了 1 份，多 30 千米；所以客车走了 304=120 千米，所以两城相距 1202=240 千米。5 【解】后一半路程和原来的时间

5、相等，这样前面一半的路程中现在的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了 2 份时间就是 10 分钟，所以原来走路的时间就是 1023=15 分钟，所以总共是30 分钟。学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 41 第四讲 小升初专项训练 行程篇（一）一、小升初考试热点及命题方向行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题

6、目的分析能力。二、2007 年考点预测2007 年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查行程，命题的热点在于相遇和追及的综合题型，以及环形跑道上的二次相遇问题，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷。三、基本公式【基本公式】：路程速度时间【基本类型】相遇问题：速度和相遇时间相遇路程；追及问题：速度差追及时间路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度船速水速 逆水速度船速水速静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个就可求另外 2 个）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂

7、的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；四、典型例题解析1 典型的相遇问题希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！公式需牢记做题有信心！学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 42 【例 1】 （）甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。提示：环形跑道的相遇问题。【解】：因为相遇前后甲，乙的速度和没有

8、改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒，方法有二。法一：以甲为研究对象，甲以原速 跑了 24 秒的路程与以（ +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400 米，V甲 V甲24 +24（ +2 ）=400 易得 = 米/ 秒V甲 甲 甲 173法二：由跑同样一段路程时间一样，得到（ +2）= 二者速度差为 2；二者速度和（ + ）=甲 乙 V甲 乙，典型和差问题。由公式得：（ 2）2= ， = 米/秒40240V甲 甲 173【例 2】 （）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4

9、 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？【解】：因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。 （704）（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了14 分钟，他第一次走了 144=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）18=2196（米）【例 3】 （）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米，如果

10、乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C点 16 千米。甲车原来每小时向多少千米？ （13 届迎春杯决赛题）【解】：设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。DE121628（千米） 。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D 或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T285 小时,甲用 6 （小时） ，走过 1228528千米，所以甲

11、原来每小时行 12 30（千米）522 典型的追及问题【例 4】 （）在 400 米的环行跑道上，A ，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 43 【解】：甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒） ，休息 10 秒；乙跑 100/4=25（秒） ，休息 10

12、秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒；这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。答：甲追上乙需要时间是 140 秒。3 相遇与追及的综合题型【例 5】 （）甲、乙两车的速度分别为 52 千米时和 40 千米时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。【解】：方法 1：甲乙两车最初的过程类似追及，速度差追及时间路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是 1小时的甲车和卡车的路程和，速度和相遇时间路程和，得到速度和为 72 千米时，所以卡车速度为72-40=

13、32 千米时。方法 2: 526-407=32 千米时【拓展】:甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米时和 48 千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。39 千米/小时。 提示:先利用甲，乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为 24 千米/小时【拓展】:快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用 6 分、10分、12 分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为 24 千米时和 19 千米时，求中速车的速度。4 多次折返的行程问题【例

14、6】 （）一个圆的圆周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是 1 秒、3 秒、5 秒、，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？ 方法一：找路程规律思 路：通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律。【解】：两只蚂蚁相距 1.262=0.63 米=63 厘米，相向爬行 1 秒距离缩小 5.5+3.5=9（厘米） ，如果不调头需要 639=7（秒）相遇。 第 1 轮爬行 1 秒，假设向上半圆方向爬，距离

15、缩小 91 厘米； 学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 44 第 2 轮爬行 3 秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小 9（3-1）=92 厘米； 第 3 轮爬行 5 秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小 9（5-2）=93 厘米； 每爬行 1 轮距离缩小 91 厘米，所以爬行 7 轮相遇，时间是 77=49（秒） 答：它们相遇时，已爬行的时间是 49 秒。方法二：思 路：对于这种不断改变前进方向的问题，我们先看简单的情况：在一条直线上，如上面图形，一只蚂蚁先从 0 点出发向右走，然后按照经过

16、1 秒、3 秒改变方向.由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格.第一次改变方向时，它到 A ，走 1 格，OA =1 格；1第二次改变方向时，它到 A ，走 3 格，OA =2 格；22第三次改变方向时，它到 A ，走 5 格，OA =3 格；3第四次改变方向时，它到 A ，走 7 格，OA =4 格；44第五次改变方向时，它到 A ，走 9 格，OA =5 格.55我们不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离 0 点都远了一格.当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候. 另外我们从上面的分析可知，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧.这样，通过相遇问题，我们可以求出

17、它们改变方向的次数，进而求出总时间.【解】：由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短：5.5+3.5=9 厘米.所以，到相遇时，它们已改变方向： 1.2610029=7 次.也就是在第 7 次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时： 1+3+5+7+9+11+13=49 秒.5 上山下山的行程问题【例 7】 （）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？【解 1】：甲如果用下山速度上山，乙到

18、达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 1*1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2小时。甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）【解 2】：相遇时甲已经下山 600 米，走这 600 米的时间，如果甲用上山速度只能走 600/1.5=400 米，所以上山速度一小时甲比乙多走 600+400=1000 米。乙到山顶时甲下到半山腰，甲走 1/2 下山路的时间，如果用来上山，只能走 1/2/1.5=1/3 的上山路，所以乙走完上山路的时间里，甲可以走上山路的 1+1/3=

19、4/3 倍，说明上山速度甲是乙的 4/3 倍。学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 45 甲上山速度是 1000/（4/3-1）=4000（米） ，下山速度是 4000*1.5=6000（米） ，上山路程是 4000-400=3600（米） ，出发 1 小时后，甲还有下山路 3600-600=3000（米） ，要走 6000/3000=0.5（小时）一共要走 1+0.5=1.5（小时）6 流水行船问题关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度船速水速 逆水速度船速水速静水速度（顺

20、水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个量求另外 2 个量【例 8】 （）一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行120 千米也用 16 时。求水流的速度。【解】：两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这表明顺流行 60千米与逆流行 40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了 120801.5240（千米） ，由此得到顺流速度为 2401615（千米时） ，

21、逆流速度为151.5=10（千米时） ，最后求出水流速度为（1510）22.5（千米时） 。【例 9】 （）某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。【解】：物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速作用抵消） ，甲的船速为 1 =15 千米/ 小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相5遇时间为：4515=3 小时【拓展】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的

22、 B 站驶去，与此同时乙轮船自 B 站出发逆水向 A 站驶来。7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离。【解】：因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则 7.2 时后乙船到达 A 站，2.5 时后甲船距 A 站 31.25 千米。由此求出甲、乙船的航速为 31.252.512.5（千米时） 。 A，B 两站相距12.57.2=90（千米） 。【例 10】 （）江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小

23、时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上） ，6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【解】：此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 155=3 千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 3*1=3 千米。这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水

24、速度*1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 46 度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10货船的静水速度=1/10 小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距 3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/101/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。 （解释一下）又已知在静水中

25、货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）2=15 千米。【例 11】 （）一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 时，回来时顺水，比去时每时多行驶 8 千米，因此第 2 时比第 1 时多行驶 6 千米。求甲、乙两地的距离。【解 1】：下图中实线为第 1 时行的路程，虚线为第 2 时行的路程。由上图看出，在顺水行驶一个单程的时间，逆水比顺水少行驶 6 千米。 距【解 2】：1 小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了 B 地.我们在 B 之前设置一个C 点，是小船逆水行驶 1 小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是 C 至 B 距离的 2 倍，它

26、等于 6 千米，就知 C 至 B 是 3 千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶 8 千米，在图中再设置 D 点，D 至 C 是 8 千米.也就是 D 至 A 顺水行驶时间是 1 小时.现在就一目了然了.考虑第二小时从 B 到A 过程，D 至 B 是 5 千米顺水行驶，与 C 至 B 逆水行驶 3 千米时间一样多.因此顺水速度逆水速度=53.由于两者速度差是 8 千米.立即可得出A 至 B 距离是 123=15（千米）.答：A 至 B 两地距离是 15 千米.小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）典型的相遇问题。参见例 1，2，3学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164

27、116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 47 2）典型的追及问题。参见例 43）相遇与追及的综合题型。参见例 54）多次折返的行程问题。参见例 65）上山下山的行程问题。参见例 76）流水行船问题。参见例 8，9，10，11【课外知识】美国作家欧；亨利在他的小说最后一片叶子里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。 ”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。最后一片叶子始终没掉下

28、来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。温馨提示：人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希望之处，生命就生生不息！作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，6，7类型 1；题 2，4，5类型 3；题 3，8类型 2； 1、 （）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？乙丙相遇时间：（6075）2（67.560）=36（分钟）。东西两镇之间相距多少米？（67.575）36=5

29、130（米）2、 （）在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？设用字母 a 表示甲速，用字母 b 表示乙速（ab）。（a+b）4=（ab）12ab=21（甲、乙速度比是 21）学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 48 3、 （）晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走 60 米，则要迟到 5 分钟，如果每分钟走 75 米，则可提前 2 分钟到校.求晶晶到校的路程？（盈亏问题）（

30、605+752）（7560）=30（分钟） ，60（30+5）=2100（米）4、 （）小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了 10 分钟到达学 校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的 4 倍，那么小马虎从家到学 校共用多少时间？50 分。解：由下图看出，爸爸把书包交给小马虎后，小马虎到学校用 10 分，爸爸返回家用 10 分，这段路小马虎走了 40 分。所以小马虎从家到学校共用 1040=50（分）。5、 （）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10 分钟前我超过一个骑自行车的

31、人。 ”这人继续走了 10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的 3 倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 7 倍解：由下图看出，汽车追上骑车人后 10 分遇到步行人，此时骑车人到达 B 地；又过 10 分，步行人与骑车人在 B 点相遇。所以，汽车 10 分的路等于步行 10 分加骑车 20 分的路，也等于步行1020370（分）的路。所以汽车速度是步行速度的 7010=7（倍）。6、 （）甲、乙同时从 A， B 两地相向走来。甲每时走 5 千米，两人相遇后，乙再走 10 千米到 A 地，甲再走 1.6 时到 B 地。乙每时走多少千米？4 千米。提示：从起点到相遇所

32、用时间 105=2 小时 乙的速度 51.62=4 千米/小时7、 （）甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，它们相遇时距 A，B 两地中心处 8 千米，已知甲车速度是乙车的 1.2 倍，求 A，B 两地的距离。176 千米。8、 （）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：62164116学而思教育 07 年寒假小升初专项训练班讲义 六年级精英班 第四讲 教师版 Page 49 后乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米，丙车每分钟走多少米？680 米。提示：先求长跑运动员的速度。