证明设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内 f“(x)0，则 f(x)在a,b上的图形是凹的。设 x1 和 x2 是a,b内任意两点，且 x10，所以 f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)0，即f(x0+h)+f(x0-h)/2f(x0)，亦即f(x1)+f(x2)/2f(x1+x2)/2，所以 f(x)在a,b 上的图形是凹的。f(x)=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以 f(x1)=0充分性证明，由于 f(x)=0,f(x)单调增（广义的） ，这里要用拉格朗日定理了f(x)-f(x1)/x-x1=f(a),其中 x1ax.f(x2)-f(x)/x2-x=f(b),其中 xbx2.所以 f(a)=f(b),即 f(x)-f(x1)/x-x1=f(x2)-f(x)/x2-x显然与凹定义等价证毕
