1、高考复习序列-高中数学数列2一、数列的通项公式与前 n 项的和的关系（注：该公式对任意数列都适用）1,2nnsa （注：该公式对任意数列都适用）1()S （注：该公式对任意数列都适用）2nna （注：该公式对任意数列都适用）+1-1=+1+二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列1 通项公式与公差：定义式： dan1一般式： qpna推广形式： ；()nmmad； nS2项 和 与 公 差 的 关 系 ：前 前 项和与通项 的关系： nna前 n 项和公式： .1()2nas1()2nd21()nadn前 n 项和公式的一般式： BASn ,1其 中应用：若已知 ，即可判断 为某个等差数列 的
2、前 n 项和，并可求出首项及公差的值。f2f与 的关系： （注：该公式对任意数列都适用）naS1(2)nna例：等差数列 ， （直接利用通项公式作差求解）n 常用性质：若 m+n=p+q ，则有 ；特别地：若 的等差中项，则有mnpqaa,mnpa是2 n、m、p 成等差数列；mna等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” （如 ， ）仍是等差123,456,789数列； 为公差为 d 等差数列， 为其前 n 项和，则 ， ， 也成等差数列,nanS232,mmSS43mA、 构成的新数列公差为 D=m2d， 即 m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、 对于任意已知 Sm， Sn， 等差数列
3、 公差 ，即 也构成一个公差为 等差数列。nandn2d3若项数为偶数，设共有 项，则 偶 奇 ； ；2nSnd1nSa奇偶若项数为奇数，设共有 项，则 奇 偶 ； 。 1na中 奇偶例：已知等差数列 ，其中 na10100,SS则解析：法一，用等差数列求和公式 求出()2nad,1法二， ， 成等差数列，设公差为 D，则：10S10203102.,D45法三, 63. 等比数列的通项公式： 一般形式： ；1*()nnaqN推广形式： ，nmnanma其前 n 项的和公式为： ，或 .1(),nnqs1,nnaqs数 列 为 等 比 数 列na2 11 1002, nnn nnqanNaq 4
4、1aq0nN*、 ， nnSAqB 常用性质： 若 m+n=p+q ，则有 ；特别地：若 的等比中项，则有 mnpqa ,mnpa是n、m 、p 成等比数列;2mnpa 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” （如 ， ）仍是123,a456,789等比数列； 为等比数列， 为其前 n 项和，则 ， ， 也成等比数列（仅当当nanS232,mmSS43m或者 且 不是偶数时候成立） ；1q设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列nbnTk23,kT4 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.a 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列.n na判断或证明一个数列是等
5、差数列的方法：定义法：是等差数列）常 数 ） （ Nndan(1 na中项法：是等差数列)221nn（ n一般通项公式法：是等差数列),(为 常 数bkanna一般前 项和公式法：是等差数列),(2为 常 数BASnn判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）qan1na（2）中项法： 为等比数列； )0(221nnn（3）通项公式法： 为等比数列； 为 常 数 ）qk,a（4）前 项和法： 为等比数列。 n为 常 数 ）（Snn)( n为等比数列。为 常 数 ）（ k,5数列最值的求解（1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；0adnS10adnS
6、（2） 最值的求法：若已知 ， n的最值可求二次函数 2ab的最值；nS可用二次函数最值的求法（ ） ；或者求出 n中的正、负分界项，即：N若已知 ，则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。naS 10na1n例 1：等差数列 中， ，则前 项的和最大。12910Sa，【解析】： 项 ） 项 和 最 大（ 或 前前， 100201121021 129191 aa aS例 2设等差数列 的前 项和为 ，已知 nnS013123Sa，求出公差 的范围，d指出 中哪一个值最大，并说明理由。1221S， 【解析】： 37240,5216 421121313 121 dSdS daSa ，根 据 已 知
7、同 理 ： 由 ，可知，n=12 是前 n 项和正负分界项，013123 a及， 故 所以， 最大,7,60nan6S变式：若等差数列的首项为为 31，从第 16 项开始小于 1 ，则此数列公差 d 的取值范围是 解析： ，但要注意此时还要一个隐含条件 ，联立不等式组求解。165a3、若数列的前 n 项和 ，则 ， 数值最小项是第 项。nS102ns【解析】：法一（导数法）：根据等差数列前 n 项和的标准形式 ，可知该数列为等差数列，BAn2令SaadSann 1212 ,2,7,9012121 ,取得最小值，时时 ， 即当 40)(,4)(,)( nfnffn其中 ，可见当 n=3 时 取得
8、最小。1334， 分 别 求 出 ns法二（列举法）：对于 可用列举法，分别求出 n=1、2时的,01 且 数 值 较 大 时且 数 值 较 小 da6的值，再进行比较发现。ns4、已知数列 ， na的 最 小 值 为则 naan,2,311【解析】：法一（均值不等式）：由累加法： ，令3-221 nan时 取 得 最 小 值 。， 可 见， ，取 得 最 小 值 ，时 ， 即可 见 当 663)(5)( 653,1nffn n 法二（列举法）：实在没招时使用该法。5、 已知等差数列 的前 n 项和 。na 的 最 小 值 为则 nn SS,25,0,11【解析】： 49-)7(48-)6(,
9、73206 320)(,320)(,10,323 111， 故 取，而 时 取 得 最 小 值 ， 即当令 ff nfnfSnnS aadmdn6、7数列通项公式的求法：类型 1：等差数列型 )(1nfan思路：把原递推式转化为 ，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112na， na解：由 得 则12ana212*1)(naan以 上 逐 次 累 加 ，所以数列 的通项公式为n2n变式： 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。13na1na解： 两边除以 ，得 ，则 ，此时 ，故数列123nna1232n13223)(nf是以 为首项，以 为公差的
10、等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以2n 1a数列 的通项公式为n()2nn评注：本题 前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式na、1转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出123na132na2na，进而求出数列 的通项公式。()nn类型 2：等比数列型 nnaf)(1把原递推式转化为 ，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaa，解：因为 1231n n8所以 1231()n naaa 用式式得 则 ；故1.nn1(2)n1
11、(2)na所以 13222 !()43.naa 由 ， ，则 ，又知 ，则1231()()n n 212na取 得 1a1a，代入得 。所以， 的通项公式为2a!1452na n!.n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1()2)nna1(2)na，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。1322naa 2n时 ， n类型 4：待定系数法处理 或 型数列qpann1 nnqpa1把原递推式 转化为 转化思路：,1ann ;),(1ttnn 为 等 比 数 列， 则 数 列此 式 与 原 式 比 较 ， 得 到令 taqpttpt nnn -),-( 11例，数列 n
12、nn aa求,32,11解：令 ，所以 即 是公比为 2 的等1-32),(1 tttnn比 较 原 递 推 式 ， 21na1na比数列， =（ ） ，或令 ， 是公比为 2 的等比数列，所以1na-nb，nnn bbb2,2*11 其 中变式 1：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11356nna， na思路：等式两边同时除于 ；原递推式变成 令 ，15n ,53*21nn nb9 nnnnnnn nnnnn abb abtbt 5215252*11 6,31)(532 111 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，最后再求出数列13na)-(1tptnn的通项公式。na变
13、式 2：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为 ,1qpnn变式 3：已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na513nna17na思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为 ,1qpnn变式 4：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na思路：换元 ，则 ，再代入原递推式，再转化为24nnb2()4nb ,1qpnn类型 5 已知 递推式 求naS、 nafS这种类型一般利用 导出 ，消去 ，得到 与 的递推式，再利用前1,1nn 1nnSnna1面的方法求解出 （知识迁移： ）na2,1an
14、n例，已知数列 前 n 项和 ，求：（1） ， （2）通项 。24nnS的 关 系与 na1 na解：（1） 22121*2 11)4()4( 111 nnnnnn naaaS10（2）由上式： ，22211 nnnn aa令 ，即有 ，而， ，nab1nb11S所以， 2，公差为 2,的等差数列，1n为 122, nnnab类型 6： 求2()nafA na用作商法：,2(1)nf数列求和的常用方法然数和公式： ；1122n ；6n 2331124n一、利用等差等比数列的求和公式求和1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )1(1)(1 qqnnn例 1
15、 已知 ，求 的前 n 项和.3logl23x nxx32解：由 ，由等比数列求和公式得 21logll1l 3323 1 （ 利用等比数列求和公式 ） nnxxS32n1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n ，nN *,求 的最大值.1)3()nSf解：由等差数列求和公式得 ， 21Sn )2(1n11 1)32()nSnf 6432 n643150)8(12n 当 ，即 n8 时，50)(maxf二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前 n项和，其中 a n 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和：
16、 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . nn xxxx )1(432得 （错位相减）nn xS )12(21)( 1432 再利用等比数列的求和公式得： nnnxSx)1( 2)()1(2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,2,64,23解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS26243 1431nn - 1432 2)2( nnS 12n 1nn三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加
17、，就可以得到 n 个 .)(1a12例 5 求 的值 89sini3sin2i1sin 222 解：设 . 2S将式右边反序得 1sin2i3sin8sin9si 2222 又因为 ，+得 co),0co(xxx89 )89cos(si)s2si1(si2 22222 S S44.5题 1 已知函数（1）证明： ；（2）求 的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以 .四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例
18、 5 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa13解：设 )231()71()4()12naaSn将其每一项拆开再重新组合得)41()(2 ann当 a1 时， 3(Sn2)n时， )1(1ann)13(1an五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） 2;)(ann（4） )1(1)(1CAnBCABan babann ;1例 6 求数列 的前 n 项和.,1,32,解：设
19、nna1则 132nSn )()()1( n例 7 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab14解： 2121nnan )(82bn 数列b n的前 n 项和)1()413()1()(8 nS )1(n8六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 8 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 )180cos(S n （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0例 9 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 1032313logloglaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (l)l 659 l9l 33310
