1、2.2.4 点到直线的距离课堂探究探究一 点到直线的距离1求点 P(x1，y 1)到直线 AxByC0 的距离的计算步骤：(1)给点的坐标赋值：x 1？，y 1？；(2)给 A，B，C 赋值：A？，B？，C？；(3)计算 d 12；(4)给出 d 的值2P(x 1，y 1)到几种特殊形式的直线方程的距离可以用公式求，也可以直接写出【典型例题 1】 求点 P(3，2)到下列直线的距离：(1)3x4y10； (2)y6； (3)y 轴思路分析：直接利用点到直线的距离公式求解即可解：由点到直线的距离公式 d 02AxByC，得(1)点 P(3，2)到直线 3x4y10 的距离 d 234()1 85
2、；(2)点 P(3，2)到直线 y60 的距离 d 20()618；(3)点 P(3，2)到 y 轴的距离等于点 P(3，2)到直线 x0 的距离，d23103.点评 直线方程先化为一般式 AxByC0，再使用点到直线的距离公式 d02AxByC不易出错，当直线与坐标轴平行或重合时，不必使用点到直线的距离公式，如点 P(3,2)到直线 x5 与直线 y1 的距离分别为 2 与 3.【典型例题 2】 求过点 A(2,1)且原点到该直线的距离为 2 的直线方程思路分析：对于过一点 A(2,1)的直线，应先考虑直线的斜率不存在时是否适合，再设斜率存在时，直线的斜率为 k，利用直线的点斜式方程写出直线
3、方程，并化为一般式方程，最后用点到直线的距离公式求解解：(1)当过点 A(2,1)的直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，直线到原点的距离为 d|x0|20|2，所以 x2 适合要求(2)当过点 A(2,1)的直线的斜率存在时，设斜率为 k，则直线方程为 y1k(x2)，化为一般式方程为 kxy2k10.所以原点到直线的距离为 d 201k2，即 21k2，整理得 4k24k14k 24，所以 k 34，所以直线方程为 y1 34(x2)，即 3x4y100.综上可知，所求直线的方程为 x2 或 3x4y100.点评 过一定点求直线方程多用待定系数法，且注意验证过该点且斜率不存在的直线是
4、否满足题意探究二 两条平行线之间的距离对于两平行直线间的距离公式，应注意以下几点：(1)直线的方程必须是一般式，而且方程中 x，y 项的系数分别对应相等，对于不同系数的应先化为相同后再求距离(2)两条平行直线间的距离，也可以转化为在一条直线上的一个点到另一条直线的距离来求，即转化为点到直线的距离(3)两条平行线间的距离是这两条直线上的点之间的最小距离，也就是它们的垂线段的长【典型例题 3】 求与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程思路分析：根据两条直线平行可设出所求直线方程 5x12yc0，再根据两直线间的距离求 c.解法一：设所求直线的方程为 5x12yc0(c6
5、)在直线 5x12y60 上取一点 P0 1,2，点 P0到直线 5x12yc0 的距离为 225(1)c 63，由题意得 613c2.所以 c32 或 c20.故所求直线的方程为 5x12y320 和 5x12y200.解法二：设所求直线的方程为 5x12yc0，由两平行直线间的距离公式得 2 265(1)，解得 c32 或 c20.故所求直线的方程为 5x12y320 和 5x12y200.探究三 易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题 4】 求经过点 P(3,5)，且与原点距离等于 3 的直线 l 的方程错解：设所求直线方程为 y5k(x3)，整理，得 kxy3k50.所以原点到该直线的距离 d 231k3.所以 15k80.所以 k 85.故直线 l 的方程为 1xy3 150，即 8x15y510.错因分析：没有考虑斜率不存在的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为 y5k(x3)，整理，得kxy3k50.所以原点到该直线的距离 d 2351k3.所以 15k80.所以 k 15.故所求直线方程为 y5 81(x3)，即 8x15y510.当直线的斜率不存在时，直线方程为 x3 也满足题意故满足题意的直线 l 的方程为 8x15y510 或 x3.
