1、求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数 f g（x）的解析式，求原函数 f（x）的解析式.令 g（x）= t ，求 f（t ）的解析式，再把 t 换为 x 即可 .例 1 已知 f（ ）= ，求 f（x）的解析式.112解： 设 = t ，则 x= （t 1） ，xf（t）= = 1+ +（t1）= t 2t+11)(2tt 2)(t故 f（x）=x 2x+1 （x1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围 ,即为函数的定义域.二、配凑法例 2 已知 f（ +1）= x+2 ，求 f（x）的解析式.解： f（ +1）= +2 +11= 1，x2)( 2)( f（ +1）= 1
2、（ +11） ，将 +1 视为自变量 x，则有xxf（x）= x 21 （x1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的 定义域的变化，否则容易出错.练习：1）已知 f（x+ ）= + ，求 f(x)。32）已知 f（x+ ）= + +1，求 f(x)。x283) 已知 求 .21(),()fx4) f（sinx）= cos(2x)，求 f(x）函数解析式。-sin2三、待定系数法例 3 已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（ x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：设二次函数 f（x）= ax 2+bx+c，则 f（0）= c= 0 f（x+1）= a +b（x+1
3、）= ax 2+（2a+b）x+a+b 2)1(由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得解得 故 f（x）= x2+7x.82b.7,1ba评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式 .练习：1）已知，f(x)是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（ x-1）=2x+17 ，求 f(x)的表达式2）已知，f(x)是二次函数，且满足 f（x+1）+f（x-1 ）=2x 2 -4x+4，求 f(x)的表达式3） (x)是 x 的二次函数， g(x) = 2 (x)，且 g(x + 1)g(x) = 2 xf xf 1x，求函数 (x)和 g(x)的解析式2解：设 (x) = ax
4、+ bx + c (a0)，则 g(x) = 2 (ax + bx + c)f2 x由 g(x + 1) g(x) = 2 x 得：1x2 a (x + 1) + b(x + 1) + c2 (ax + bx + c) = 2 x ，1x x21x即 ax + (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 这是关于 x 的恒等式，比较系数，得.02,4cba.21,8cba (x) = 2x 8x + 12 ，g(x) = 2 (x 4x + 6)f 1x24) 已知 是二次函数，若 且 试求 的表()x(0),f()(1ffx()fx达式。解析：设 (a 0)2()fabxc
5、由 得 c=00,f由 得(1)(1xfx221abcabcx整理得 2 2()()xx得 2122001()aabcbcfxx四、消去法（构造方程）例 4 设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（ ）= x （x0） ，求 f（x）函数解析式.1分析：欲求 f（x） ，必须消去已知中的 f（ ） ，若用 去代替已知中 x，便可得到另1一个方程，联立方程组求解即可.解： f（x）+2 f（ ）= x （x0） 1由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x0） 1解 构成的方程组，得 f（x）= （x0）.32练习： 1）设函数 f（x）满足 2f（x）+ f（ ）= 3x （x0） ，求 f（x
6、）函数解析式.12）f（x）+2f（-x）=x+1 ，求 f（x）函数解析式设 (x)满足 2x (x)3 ( ) = x + 1，求函数 (x) 的解析式f2f解：用 替换式中的 x，得 2 ( )3 (x) = + 1，即 2 ( )x1f2xfx3x (x) = + x ，f3）、两个方程联立，消去 ( )得： (x) = x fx1f5325x五、特殊值法例 5 设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有 f（xy）= f（x） y（2xy+1） ，求 f（x）函数解析式 .分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（xy）= f （ x） y
7、（2xy+1） ，得到f（x）函数解析式，只有令 x = y.解： 令 x = y ，由 f（xy）= f（x） y（2xy+1） 得f（0）= f（x） x（2xx+1） ，整理得 f（x）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例 6 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2xx 2，求 f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当 x0 时，f（x）=2x x 2 的顶点（1，1） ，它关于原点对称点（1，1） ，因此当 x0 时，y= 1= x2 +2x.故 f（x）=)(2评注: 对于一些函数图象对称性问题 ,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.x0，x0.
